Асимптотические геодезические

Асимптотические геодезические 160 Асимптотический пучок, 164 Аттрактор 135 [c.308]

Заканчивая изложение общих методов интегрирования уравнений без моментной теории, упомянем работу [109]. В ней показано, что эти уравне ния можно решить при помощи квадратур для случая, когда одно из семейств асимптотических линий срединной поверхности совпадает с семейством геодезических линий. [c.195]

Существенные результаты для случая га = 3, но при ограничительном предположении, что система дифференциальных уравнений есть система уравнений классической динамики (каноническая система) и, следовательно, обладает интегральным инвариантом, получил Ж. Адамар Он дал классификацию возможных в этом случае траекторий, которые совпадают с геодезическими линиями поверхности отрицательной кривизны. Эти геодезические линии, как оказалось, могут быть трех категорий. Первую составляют замкнутые линии, иначе говоря, периодические орбиты, и геодезические, асимптотические к замкнутым геодезическим. Вторую составляют линии бесконечного удаления или, если угодно, отбрасывания на бесконечность. Они расположены на бесконечных полах поверхности. Третью и последнюю категорию образуют геодезические, которые остаются целиком в конечной области, и таких линий заведомо существует бесконечно много. [c.136]

Из этих свойств траекторий в фазовом пространстве вытекают аналогичные предложения о геодезических на самом многообразии. Физики называют эти свойства стохастичностью асимптотически при больших t траектория ведет себя так, как если бы точка была случайной. Например, свойство перемешивания означает, что вероятность после выхода из А оказаться в В через большое время t пропорциональна объему Б и т. п. [c.279]

Теорема (О. С. Щербак, 1984). Для препятствия общего положения график функции времени локально диффеоморфен многообразию 2 нерегулярных орбит группы в фокальной для пучка точке асимптотической касательной к геодезической пучка в параболической точке поверхности. Явная параметризация 2 [c.464]

Геодезические 71 ( ) и y2 t) в Н называются асимптотическими при >0, если [c.160]

В некоторых точках поверхности препятствия направление геодезической из описанного выше семейства совпадает с асимптотическим направлением поверхности. Для семейства общего положения такие точки образуют гладкую кривую (кривая а на рис. 95). Лучи, срывающиеся с поверхности в этих точках, образуют ребро возврата лагранжева многообразия срывающихся лучей. В некоторых изолированных точках кривой а геодезическая семейства касается этой кривой. [c.196]

Рис. 95. Поле асимптотических направлений и пучок геодезических

Наиболее сложная особенность Н4) встречается в точке прямой, касающейся поверхности препятствия в параболической точке и имеющей асимптотическое направление. (В типичной задаче об обходе препятствия направление геодезической исходного семейства экстремалей на поверхности препятствия и асимптотическое направление совпадают в некоторых изолированных параболических точках.) [c.274]

Главные члены асимптотических формул для собственных функций выводятся методом параболического уравнения. Для решения возникающей здесь краевой задачи для параболического уравнения используется методика, ранее разработанная для задачи о замкнутой геодезической (см. 1—3 гл. 8). Завершается глава построением следующих приближений для собственных колебаний многозеркального резонатора. [c.265]

Произведя замену 1 на —1 можно аналогичным образом определить отрицательно асимптотические геодезические и отрицательные ори-сферы 8 . Плоскость, касательная к орисфере 8 и) и содержащая гд, есть (п — 1)-плоскость Хи многообразия Т(Т1У ). Исходя из определений, получаем [c.65]

Теорема П20Л1. Асимптотические геодезические. Пусть 7(и, t) = У t) — геодезическая, параметризованная длиной своей дуги, g — точка полуплоскости. Тогда [c.171]

Теорема П20Л8. Пусть и, ) и 7 (w Ь ) — две взаимно асимптотические геодезические, параметризованные дугой При подходящем выборе начала отсчета на и У имеем [c.174]

В частности, ф гомеоморфно отображает 5 на Я(оо). При этом образ асимптотического пучка—это разбиение В на непере-секающиеся кривые, сходящиеся к некоторой точке в. Предельной сферой называется подмногообразие в Я, ортогональное пучку асимптотических геодезических (точнее, это означает, что через каждую точку этой поверхности проходит ровно одна геодезическая из пучка в направлении, ортогональном этой поверхности). Можно показать, что предельные сферы существуют и обладают следующими свойствами [c.160]

Первые исследования изотропной бесконечности [17, 60-62] основывались на выборе подходящих асимптотических координат. В дальнейшем Пенроузом [48] была предложена конформная техника для описания изотропном бесконечности безотносительно к выбору координат. Ключевым пунктом в определении асимптотически-простого и асимптотически-простого в слабом смысле простраиства-временк, в котором не все изотропные геодезические уходят на бесконечность, было введение конформного фактора П П = О на изотропной бесконечности. [c.147]

Обобщенный принщ1п Ферма был впервые сформулирован Келлером (см. работу [26], указанную в литературе к гл. 5) при получении асимптотических выражений для лучей, дифрагированных на препятствиях произвольной формы. Ценность этого принщша состоит в том, что он сразу позволяет обобщить формулы, полученные выше для кругового Щ1линдра, на случай излучения произвольного вида. При этом мы по-прежнему можем считать что поле в темных областях является суммой вкладов ползущих волн, которые на поверхности Щ1линдра распространяются по кривым, удовлетворяющим принципу Ферма. Следовательно, каждый луч из конгруэнции, падающий по касательной на поверхность цилиндра, должен описывать на ней геодезическую линию, а именно спираль. Ползущая волна на поверхности цилиндра полностью определяется семейством спиральных траекторий, образованных поверхностными волнами, распространяющимися с комплексным показателем преломления, определяемым выражением (6.6.3) [c.427]

Орбиты У-систем очень неустойчивы две орбиты с близкими начальными условиями экспоненциально разбегаются друг от друга. Это свойство приводит к асимптотической независимости будущего и прошлого У-автоморфизмы эргодичны, являются перемешиванием , обладают бесконечным лебеговским спектром и положительной энтропией, словом, они представляют собой /(Г-системы. У-системы образуют открытое множество в пространстве классических систем. Следовательно, все системы, близкие к У-системе, обладают такими же стохастическими свойствами. В частности, это относится к геодезическим потокам на компактных римановых многобразиях отрицательной кривизны. Таков первый пример У-систем. [c.57]

Xi = n(D,). Утверждается, что группы гомологий i(Ai) накрывают почти всю группу Н (М), за исключением, быть может, элементов из Н (М), принадлежащих некоторому конечному множеству одномерных подгрупп. Это можно вывести из одной теоремы Е. В. Гайдукова (1966) для любого нетривиального класса свободно гомотопных путей на М существует геодезическая полутраектория y t), выходящая из точки х и асимптотически приближающаяся к некоторой замкнутой геодезической из данного гомотопического класса. Если скорость y(0) не является критической, то y(t) замкнута. Исключительные одномерные подгруппы в Л 1Л), о которых говорилось выше, порождаются как раз замкнутыми геодезическими, на которые наматываются не совпадающие с ними асимптотические полутраектории. Поскольку непрерывное отображение [c.266]

Мы видим, что с помощью методов теории динамических систем можно получить важную информацию о геометрических свойствах компактных многообразий отрицательной кривизны, а именно плотность, асимптотическое число И распределение замкнутых геодезических, существование всюду плотных геодезических, всюду плотность устойчивых и неустойчивых орисфер и ряд других. [c.159]

Всюду в ЭТОЙ главе мы рассматривали лишь некоторую окрестность кривой С только в малой (хотя и не зависящей от k) окрестности С можно строить регулярное поле геодезических на S, играющее важную роль в 2, только вблизи С была доказана единственность стационарной точки интеграла /п в 3. Однако зона полутени — это окрестность бесконечной поверхности, отделяющей освещенную область от зоны тени. Естественно построить асимптотические формулы для Мотр + пад и в той части полутени, которая удалена от кривой С на расстояние, большее некоторой положительной константы, не зависящей от k. Для этого преобразуем, считая, что т onst > О, [c.402]

Этот результат очевиден из теоремы, также доказанной в элементарной геометрии если две хорды окружности пересекают одна другую под прямым углом, то произведения их частей равны друг другу. Это сразу приводит к теореме Эннепера, в соответствие с которой геодезическое кручение любой асимптотической линии, проходящей через гиперболическую точку поверхности, равно G ( ). [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...