Закручивающее отображение

Это вычисление станет совершенно понятным с геометрической точки зрения, после того как в следующем параграфе мы получим некоторые факты относительно закручивающих отображений. [c.349]

Для орбит периода три аналог первой орбиты из предложения 9.2.1 получается из рассмотрения вписанного треугольника наибольшего периметра. Подобная конструкция работает и для орбит периода четыре. Для больших периодов существуют различные виды орбит, например такие, как соответствующие вписанным выпуклым пятиугольникам или же соответствующие пятиугольникам типа звезды. Существуют также аналоги орбит второго типа. Построение таких орбит в более общей ситуации — для сохраняющих площадь закручивающих отображений — является основной задачей следующего параграфа. [c.352]

Отметим также, что композиция двух закручивающих отображений не всегда оказывается закручивающим отображением. Даже степень закручивающего отображения не обязательно является таковым. С другой стороны, мы хотим изучать асимптотическое поведение таких отображений и потому должны рассматривать эти степени. Как мы увидим, это не приводит к появлению технических проблем, но с концептуальной точки зрения выглядит [c.355]

Хотя мы ввели понятие закручивающего отображения, имея в виду прежде всего биллиарды, это понятие охватывает множество интересных примеров, возникающих из различных источников. [c.356]

Пример (интегрируемые закручивающие отображения и возмущения). Закручивающее отображение называется интегрируемым, если оно имеет вид [c.356]

Все окружности 5 х у инвариантны относительно интегрируемых закручивающих отображений, на которых они действуют, как поворот на монотонную функцию д. Поэтому для каждого рационального значения д получается инвариантная окружность с числом вращения д у), и, таким образом, имеется бесконечное множество семейств периодических орбит, разделенных окружностями с иррациональными числами вращения. Интервал закручивания в этом случае имеет вид (Нтд(у), lim д(у)). [c.356]

Примером интегрируемого закручивающего отображения является биллиардное отображение для биллиарда в круге, которое рассматривалось в предыдущем параграфе. С другой стороны, биллиардное отображение для биллиарда внутри эллипса не является интегрируемым закручивающим, хотя этот биллиард и может рассматриваться как вполне интегрируемая механическая система. [c.356]

Пример (вынужденные колебания). Рассмотрим нестационарное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно циклической координаты хе S вида х = h(x, t), или, что то же самое, систему уравнений x = v, г) = Л(х, i), где h 5 х R —> М — ограниченная непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для достаточно малых значений V — t отображение /,,, S х R—+ S" х R, определяемое решениями данного обыкновенного дифференциального уравнения на интервале времени (t, t ), является закручивающим. Поэтому отображение /,,, является произведением закручивающих отображений для любых i, t. [c.357]

Определение 9.3.3. Пусть F — поднятие сохраняющего площадь закручивающего отображения /. Если пара (х, а ) R х R такова, что существует точка (х, Л,(х, х )) 6 ( х х (0,1)) П ( х х (0,1)), то мы обозначим через Н х,х ) площадь области в S, находящейся справа от (или под ) ( а х(0,1)) и слева от а х(0,1). Отображение х, х )- Н х, х ) называется производящей функцией для отображения /. [c.359]

Если х, у ) — Р(х, у), то Л,(ж, х ) = у и /13(3 , а ) = у. Поэтому для сохраняющих площадь закручивающих отображений мы получаем такие же уравнения движения, как уравнения (9.2.3) для биллиардов [c.360]

Лемма 9.3.11. Если Н — производящая функция закручивающего отображения Аз, Аз О, то [c.368]

Докажите, что композиция закручивающих отображений является отображением с положительным наклоном. [c.371]

Покажите, что теорема 9.3.7 выполняется для композиции /г /] двух закручивающих отображений. [c.371]

Покажите, что теорема 9.3.7 выполнена для композиции любого конечного множества закручивающих отображений. [c.371]

Покажите, что биллиардное отображение для внешнего биллиарда является закручивающим отображением относительно введенных в тексте координат, сохраняющим меру Лебега, с интервалом закручивания [О, тг]. [c.371]

Покажите, что продолжение /, полученное в предложении 9.3.5, может быть сделано совпадающим со стандартным интегрируемым закручивающим отображением х, у)у- х + у, у) вне некоторого (большого) компактного множества. [c.371]

В гл. 13 мы продолжим начатый в 9.3 анализ специального класса систем с двумерным фазовым пространством — закручивающих отображений (определение 9.3.1) и найдем их орбиты, демонстрирующие по сути дела одномерное поведение. Руководящей идеей будет структурная теория гомеоморфизмов окружности из гл. И, которая не была еще доступна в гл. 9. [c.389]

ГЛАВА 13 Закручивающие отображения [c.426]

Следствие 13.1.3. Рассмотрим сохраняющее площадь закручивающее отображение / С С и сохраняющий порядок отрезок орбиты Ут) ч Уп) > ОО т < п оо, отображения /, который со- [c.427]

Часть 3. Гл. 13. ЗАКРУЧИВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [c.428]

Определим число вращения множества Обри — Мазера или инвариантной окружности как число вращения любой из орбит, определенное в конце 13.1. Теперь можно доказать один из центральных результатов теории закручивающих отображений. [c.429]

Теорема 13.2.9. Пусть / С С — сохраняющее площадь закручивающее отображение и а — иррациональное число из интервала закручивания. Тогда / обладает не более чем одной инвариантной окружностью вида гарЬ(у ) с числом вращения а. Если такая инвариантная окружность существует, то у / нет множества Обри —Мазера с числом вращения а вне этой окружности и, следовательно, не может существовать более одного такого множества Обри —Мазера. [c.430]

Предложение 13.2.11. Пусть / С— С— сохраняющее площадь закручивающее отображение и р/д — рациональное число из интервала закручивания. Тогда существует сохраняющее порядок замкнутое f-инвариантное множество с рациональным числом вращения, которое либо является инвариантной окружностью, состоящей из периодических орбит, либо содержит непериодические точки. Кроме того, в последнем случае оба конца каждого дополнительного интервала непериодические. [c.432]

Каждая из четырех частей книги может служить в качестве основы курса, приблизительно соответствующего тоовню аспиранта второго года. Этот курс может быть односеместровым или более длинным. Данная книга может служить источником множества специализированных курсов, посвященных таким, например, темам, как вариационные методы в классической механике, гиперболические динамические системы, закручивающие отображения и их приложения, введение в эргодическую теорию и гладкую эргодическую теорию и математическая теория энтропии. Для того чтобы облегчить выбор материала для курса как студентам, так и преподавателям, мы изобразили основные взаимозависимости между главами в виде диаграммы на рис. 1. Сплошная стрелка А —> В показывает, что основная часть материала из главы А используется в главе В (это отношение является транзитивным). Пунктирная стрелка А — — В показывает, что материал из главы А используется в некоторых частях главы В. [c.14]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Определение 9.3.1. Сюръективный диффеоморфизм f С - С открытого цилиндра = S х (0,1) называется сохраняющим площадь закручивающим отображением, если [c.355]

Если закручивающее отображение определено на замкнутом цилиндре С= 5 X Ю, 1], то можно определить полный интервал закручивания, т. е. интервал (Тд, т,), где и т, —числа вращения (см. определение 11.1.2) сужения отображения / на множества S" х 0 и S" х 1 , подсчитанные для одного и того же поднятия этого отображения на универсальное накрывающее. Это множество может оказаться большим, чем определенный выше интервал закручивания. Однако в случае, когда сужения отображения на компоненты границы являются вращениями, эти множества равны. Мы обсудим этот факт подробнее в упражнении 13.2.6, после того как введем понятие числа вращения. [c.356]

Если / является закручивающим отображением с поднятием F и величи- [c.357]

Рассмотрим, в частности, математический маятник, на который действует периодическая сила, описываемый уравнением x + sin2irx = g t). Обозначим через Т период функции д. Если Т достаточно мало, то отображение сдвига за время Т для свободного маятника х - - sin 2irx = О (см. п. 5.2 в) является закручивающим, и потому это также верно для случая достаточно малых сил д. Вообще говоря, отображение сдвига за время, равное периоду, может быть представлено как произведение закручивающих отображений. [c.357]

Предложение 9.3.5. Пусть f S хS х (0,1) —гладкое сохраняющее площадь закручивающее отображение. Тогда для любого е > О yt e meyem такое сохраняющее площадь закручивающее отображение / 5 X R, что f = f на S х е, - е) и всякого поднятия F отображения f имеет место равенство lim F,(a , у) - а = оо. [c.361]

Теорема 9.3.7. Пусть / 3- 3 — сохраняющее площадь закручивающее отображение и р/д — рациональное число из интервала закручивания (р ид взаимно простые). Тогда для отображения / существуют две биркгофовы периодические орбиты типа р, д). [c.362]

Предложение 9.3.14. Пусть f S — S —сохраняющее плои адь закручивающее отображение, p/q — рациональное число из интервала закручивания г m е N. Тогда на минимальной биркгофовой периодической орбите f типа р, д) достигается минимум функционала L на множестве состояний типа (тр, mq). [c.369]

С системой (как, например, устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболических периодических точек см. п. 6.2 а), одноммны, так что эти фундаментальные факты применимы к данным объектам. Ьолее того, некоторые орбиты систем большей размерности ведут себя так, как будто они произошли из одномерных ситуаций (см. гл. 13, множества Обри — Мазера для закручивающих отображений). [c.388]

В этой главе мы возвращаемся к анализу закручивающих отображений, который был начат в 9.2 и 9.3. Главный результат этих параграфов состоял в доказательстве существования по крайней мере двух специальных периодических орбит для любого рационального числа вращения из интервала закручивания (теорема 9.3.7). Эти орбиты (биркгофовы периодические орбиты типа (р, д)) могут рассматриваться с двух различных точек зрения. С одной стороны, они представляют собой критические точки функционала действия (9.3.7), минимум и минимакс типа перевала, на пространстве периодических состояний. Минимальные биркгофовы периодические орбиты характеризуются тем свойством, что каждый из их отрезков минимизирует функционал действия (9.3.12), определенный на пространстве состояний с теми же самыми концами. С другой стороны, эти орбиты сохраняют порядок, т. е. их угловые координаты находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами вращения на угол 2тр д, сохраняющем порядок (см. замечание после определения 9.3.6). [c.426]

В настоящей главе мы расширим оба аспекта этого анализа таким образом, чтобы включить в него орбиты с иррациональными числами вращения. При этом будет интенсивно использоваться структурная теория гомеоморфизмов окружности, разработанная в гл. 11. В 13.2 мы сконцентрируем внимание на изучении свойства сохранения порядка, а в 13.3-13.4 — на вариационном описании. Наиболее впечатляющий результат, который мы получим, состоит в том, что в то время как для гомеоморфизмов окружности орбиты типа Данжуа, замыкания которых — минимальные нигде ни плотные множества, появляются только для отображений низкой регулярности (теорема 12.1.1), для закручивающих отображений подобные орбиты, замыкания которых (множества Обри — Мазера) проектируются в нигде не плотные канторовы множества на окружности, для произвольно гладких систем являются скорее правилом, чем исключением. Обоснованием этого замечания служат, в частности, результаты 13.5. [c.426]

В этом параграфе будет доказано, что любая сохраняющая порядок орбита закручивающего отображения может быть отедставлена как часть графика липшицевой функции, причем константу Липшица этих функций можно зафиксировать в любом замкнутом кольце в х (0,1). Как и в 9.3, мы будем часто переходить к поднятиям на универсальное накрывающее. [c.426]

Это следствие показывает, что замыкание Е упорядоченной орбиты содержится в графике липшицевой функции <р 5 —>(0,1). Заметим, что ограничение проектируется в гомеоморфизм проекции Е на 5, который мы можем также продолжить по линейности на дополнительные к этому множеству интервалы, получая при этом гомеоморфизм окружности. Таким образом, можно определить число вращения упорядоченной орбиты как число вращения индуцированного гомеоморфизма окружности. Мы также видим, что внутренняя динамика упорядоченных орбит закручивающего отображения двумерного кольца по существу одномерна. В следующем параграфе будет показано, что в любом закручивающем отображении таким образом представлена динамика одномерных отображений со всеми числами вращения из интервала закручивания. [c.427]

Определение 13.2.4. Пусть / С С — закручивающее отображение. Замкнутое инвариантное множество Е сС называется упорядоченным множеством, если оно взаимно однозначно проектируется в подмножество окружности и / сохраняет циклический порядок на Е. Множество Обри —Мазера — это минимальное упорядоченное инвариантное множество, взаимно однозначно проектирующееся на нигде не плотное канторово подмножество окружности 5 . [c.428]

Замечание. Закручивающее отображение может обладать несколькими инвариантными окружностями с равными рациональными числами вращения. Так обстоит дело в случае эллиптического биллиарда (см. рис. 9.2.3), где две ветви гетероклинических петель образуют пару инвариантных окружностей с числом вращения 1 /2. Отображение сдвига за время t (для малого Ь) математического маятника (п. 5.2 в) демонстрирует подобное явление для нулевого числа вращения. [c.430]

До настоящего времени для любого данного сохраняющего площадь закручивающего отображения мы предъявляли упорядоченные (биркгофовы) периодические орбиты, которые являлись орбитами типа 1 согласно терминологии таблицы из п. 11.2 в, непериодические орбиты типа или плотные орбиты на инвариантной окружности типа и орбиты в множествах Обри—Мазера, которые имеют тип П . Таким образом, мы показали, что для закручивающих отображений существуют все типы орбит, существующие для гомеоморфизмов окружности, за исключением орбит типа Ш , которые мы сможем построить только в 4 в результате более серьезного применения вариационного подхода. [c.433]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...