Мера самосопряженная спектральная

Лемма. Ограниченный нормальный оператор Т, действующий в комплексном гильбертовом пространстве Н, однозначно определяет регулярную счетно-аддитивную самосопряженную спектральную меру Р на борелевских множествах комплексной плоскости. Мера Р обращается в нуль на резольвентном множестве р (Г) оператора Т и обладает тем свойством, что [c.146]

Ограниченный оператор Т, действующий в гильбертовом пространстве, называется нормальным, если хт =Т Т. В частности, самосопряженные или унитарные операторы нормальны, и приводимое ниже следствие представляет собой модификацию сформулированной выще леммы для частного случая самосопряженных операторов. Спектральная мера допускает обобщение до проекционной меры (на стр. 77 эта ситуация была рассмотрена для случая действительнозначных мер). Рассмотрим это утверждение подробно. Пусть 9 есть а-алгебра (т. е. а-кольцо с единицей), а Ж) — множество всех операторов проектирования на Ж. Самосопряженной спектральной мерой называется [c.146]

Е( )—спектральная мера самосопряженного оператора [c.10]

Одним из важных спектральных свойств вполне непрерывных операторов является то, что, за исключением, быть может, точки а = О, они имеют только точечный спектр. Кроме того, спектр вполне непрерывного оператора представляет собой счетное множество, которое в качестве единственной возможной точки сгущения имеет нуль ([8241, стр. 281), а степень вырождения каждого собственного значения, за исключением собственного значения, равного нулю, конечна ([824], стр. 278). Если оператор С ф является самосопряженным и в то же время вполне непрерывным, то спектр должен содержать по крайней мере одну точку, отличную от нуля ([9471, стр. 182). [c.194]

Лля самосопряженного оператора Я спектральная теорема позволяет строить его функцию (р Н), если ср измерима и п.в. конечна по спектральной мере Е = Ен- Область определения Т> р Н)) состоит из элементов / Н, для которых [c.41]

Установим дифференцируемость спектральной меры Е ) самосопряженного оператора Е( ), окаймленной какими-либо операторами Гильберта—Шмидта. Напомним, что в силу теоремы Лебега монотонная функция ( (Л)/,/) при любом / ЕН дифференцируема для п.в. Л Е М. В то же время Е Х + е) -Е (Л-- ) = 1 при Л Е т(Я) и любом б > 0. Поэтому слабой (операторной) производной спектральная мера не может иметь.ни в одной точке спектра. Положение меняется при окаймлении Е операторами Гильберта—Шмидта. [c.235]

Напомним, что, приступая к обобщению С -алгебры Я, мы стремились найти такую С -алгебру ( обобщенных наблюдаемых ), которая допускала бы спектральную теорему. Девис [62] доказал в этой связи, что спектральная мера, ассоциированная с самосопряженным элементом конкретной -алгебры Б, принадлежит 2. Этот результат непосредственно следует из того, что если 2 — конкретная 2 -алгебра и О — компактное хаусдорфово пространство (например, спектр элемента Л=- Л еБ), то любое С -представление л (5 (О)->Б допускает единственное расширение до ст-представления 2 (О) в 2. [c.192]

В ряде случаев бывает полезен другой вариант спектрального метода, в котором в качестве базиса используются собственные функции оператора, в некотором смысле близкого к данному (например, в качестве такого оператора может быть использована самосопряженная часть рассматриваемого несамосопряжен-ного оператора, отвечающая той же электродинамической задаче, но без учета потерь). При этом для Ьк дз) и Ск уже не получается явных выражений дифференциальные уравнения для Ьк(дз) оказываются связанными, а для Ск получается система линейных -алгебраических уравнений. В дальнейшем мы остановимся на этих вопросах более подробно. Сейчас отметим только, что многие практически интересные задачи электродинамики систем с потерями порождают несамосопряженные операторы, которые являются слабыми возмущениями самосопряженных операторов. По своим спектральным свойствам они весьма близки к самосопряженным операторам. Специфика несамосопряженных задач проявляется в них не в полной мере или не проявляется вовсе. Поэтому для них при наличии достаточ.чо строгого обоснования могут быть использованы обычные схемы решения. [c.30]

Резольвента самосопряженного оператора—интеграл Коши—Стилтьеса по его спектральной мере. Поэтому исследование таких интегралов играет в теории рассеяния важную роль. Следующие два утверждения называются теоремами Привалова. Их доказательства можно найти в книге [17. [c.29]

Пусть Ti—какой-либо самосопряженный оператор с областью определения V[H) в сепарабельном гильбертовом пространстве Ti. Через Ен Х) будем обозначать спектральную меру оператора Я, называемую также его разложением единицы или спектральным семейством. Обозначение зависимости различных объектов от Н часто опускается. Лля спектральной меры можно пользоваться обычной терминологией теории меры. Операторная мера Е Х) определена на всех борелевских множествах X С Ш. Иногда мы применяем также обозначение Е(Х) = ((—оо, Л)), так что Е Х)—производящая функция меры Е Х). Носитель supp Ен спектральной меры на- [c.35]

Напомним, что подпространство И гильбертова пространства Н называется приводящим для самосопряженного оператора Я, если оно (а тогда и HOHi) инвариантно относительно спектральной меры оператора Н. Ясно, что вместе с Hi его ортогональное дополнение также приводит Я. [c.36]

Напомним, что, по определению, элемент h имеет максимальный спектральный тип относительно самосопряженного оператора Я, если все меры тп ]/) f Ti, абсолютно непрерывны относительно меры m ]h). В сепарабельном пространстве Н такой элемент h обязательно найдется (см., книгу [4]), хотя и не единственным образом. Лля меры т(- /г) максимального спектрального типа равенства Е Х) О и т(Х /г) = О равносильны. Отсюда вытекает, что сг Н) — supp m(- h). Тип меры m(- /i) называется спектральным типом операторной меры Е ) или самого оператора Я. [c.37]

Спектральная мера Еи Х) унитарного оператора и определена на борелевских множествах X единичной окружности С С. Точки Т обозначаем, как правило, буквой 1 (или I/), /х = 1 через Х обозначаем лебегову меру множества X С Т, Т = 2тг. Совершенно аналогично самосопряженному случаю по отношению к этой мере определяются абсолютно непрерывные и сингулярные элементы. Это позволяет буквально перенести изложенную в 3 классификацию спектра на унитарный случай. [c.81]

Теорема 8. Пусть Но—произвольный самосопряженный оператор с простым спектром, v—какой-либо циклический для Но вектор и Н = Ну = НоТогда при произвольном вещественном у Ф О сингулярные части спектральных мер операторов Но и Н (спектр Н также оказывается простым) сосредоточены на дизъюнктных борелевских множествах. [c.276]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...