Рэлея— Бенара конвекция

Этот поучительный пример хаотического потока возник из гидродинамических уравнений, описывающих конвекцию Рэлея—Бенара. Слой жидкости конечной толщины подогревается снизу таким образом, что между верхней холодной и нижней горячей поверхностями поддерживается постоянная разность температур. Движение жидкости описывается уравнением Навье—Стокса. Предполагая поток двумерным, его можно охарактеризовать двумя переменными функцией тока г ) и отклонением В распределения температуры от стационарного (линейного по вертикали). [c.76]

Это соответствует стационарной конвекции в задаче Рэлея— Бенара. [c.78]

Рассмотрим в качестве примера задачу Рэлея — Бенара о тепловой конвекции (рис. 7.31, а). Слой жидкости толщиной к в поле тяжести подогревается снизу при постоянной разности температур АГ = —То. Движение жидкости описывается уравнениями [c.475]

Рис. 7.31. Конвекция Рэлея—Бенара.

Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в 1.5 и выше в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос в какой мере эта модель представляет поведение жидкости в задаче Рэлея—Бенара На первый взгляд обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя людами для двух функций состояния жидкости 1 ) и 0. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98 [ (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает отсутствие турбулентного движения ). В этом состоит существенное отличие от трехмерной конвекции Рэлея—Бенара, в которой турбулентность наблюдается экспериментально. [c.477]

Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение [112]. Оно существует и для модели Лоренца в некотором интервале параметров [293 ]. Подобный переход к турбулентности наблюдался во многих экспериментах, включая конвекцию Рэлея—Бенара [273 ] и так называемую химическую турбулентность [352] (см. также дополнение А). Однако в этих случаях перемежаемость связана с переходом между [c.484]

Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к и,/ш2 = 2,99 б — ра рушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9]. [c.67]

По-видимому, самой знаменитой сейчас моделью является система Лоренца, которая возникла в результате попытки моделирования динамики атмосферы. Представим себе слой жидкости, находящийся под действием силы тяготения, который подогревается снизу, так что поперек слоя поддерживается разность температур (рис. 3.1). Когда эта разность становится достаточно большой, возникают циркуляционные, подобные вихрям, движения жидкости, в которых теплый воздух (жидкость) поднимается, а холодный — опускается. Верхушки параллельных рядов конвективных валов можно иногда увидеть, пролетая над слоем облаков. Двумерное конвективное течение можно описать с помощью классического уравнения Навье — Стокса (1.1.3). Это уравнение раскладывается по фурье-гармоникам вдоль двух пространственных направлений, а на поверхности и на дне слоя жидкости задаются граничные условия. При малых разностях температур АГ жидкость неподвижна, но при некотором критическом значении ЛГ возникает конвективное, т.е. циркуляционное течение. Это движение называют конвекцией Рэлея — Бенара. [c.76]

КОНВЕКЦИЯ РЭЛЕЯ — БЕНАРА УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА [c.165]

Конвекция Рэлея — Бенара Циркуляционное движение жидкости, возникающее под действием градиента температур и гравитационных сил. Модель хаотического движения Лоренца была предложена для моделирования некоторых особенностей динамики тепловой конвекции. [c.269]

После работ Бенара и Рэлея в течение длительного времени изучалась теоретически и экспериментально лишь конвективная неустойчивость плоского горизонтального слоя жидкости. В 1946 г. работами Г. А. Остроумова было положено начало систематическому исследованию явлений конвективной неустойчивости в полостях других форм. Наиболее обстоятельно исследованы конвективные явления, и, в частности, условия возникновения конвекции в вертикальных круговых каналах [ -2]. Относящийся к этому вопросу обширный экспериментальный и теоретический материал содержится в монографии Г. А. Остроумова [3]. [c.67]

Появление странных аттракторов в трехмерных потоках, таких, как модель Лоренца, указывает на один из возможных механизмов возникновения гидродинамической турбулентности. Это стимулировало исключительно точные экспериментальные измерения вблизи перехода от ламинарного к турбулентному течению в реальных жидкостях. Модель Лоренца была получена фактически из задачи о конвекции Рэлея—Бенара в подогреваелюм снизу слое жидкости с учетом только трех мод движения. Хаотическое движение в трехмерной модели Лоренца представляет возможную картину турбулентности и в некоторых реальных гидродинамических системах, которая оказывается проще, чем первоначальные представления Ландау [251 I. Динамика диссипативных систем рассматривается в гл. 7, включая одномерные и двумерные отображения, а также гидродинамические приложения. [c.20]

Модель Рюэля—Тэкенса исследовалась численно на примере простого двумерного отображения [100]. Были обнаружены переходы от устойчивого фокуса к предельному циклу, затем к двухчастотному движению и, наконец, к странному аттрактору. В этой связи важно отметить, что в отличие от модели Лоренца с тремя модами в модели конвекции Рэлея—Бенара, использующей 14 мод, также обнаружен квазипериодический аттрактор на некоторой двумерной поверхности в 14-мерном фазовом пространстве [98]. [c.480]

Некоторые экспериментальные данные, по-видимому, подтверждают модель Рюэля—Тэкенса. Так, в спектрах мощности появляется сначала одна, затем вторая и, возможно, третья независимая частота. На пороге появления третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами [125], так и конвекция Рэлея—Бенара [5]. На рис. 7.32 из популярной статьи Суинни и Голуба [396] показаны спектры скорости жидкости для течения Куэтта (слева) и для конвекции Рэлея—Бенара (справа). В обоих случаях перед переходом к непрерывному спектру наблюдается сначала одна, а затем две независимые частоты и /з. Однако это зависит, вообще говоря, от начальных условий и иногда частоты/i и /а оказываются синхронизованными ). В другом эксперименте по течению Куэтта [158] наблюдались по крайней мере четыре независимые частоты. Это указывает на то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух бифуркаций Хопфа, как в модели Рюэля—Тэкенса. [c.481]

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. [Некоторые эксперименты по конвекции Рэлея—Бенара обнаруживают эти бифуркации, а также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого разрешения в эксперименте Рэлея—Бенара с водой, показанные на рис. 7.33 [155, 157], демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.26, отношение амплитуд развитых субгармоник должно быть равным у х 6,6. На рис. 7.33,г [c.482]

Методы, которые мы обсуждаем до сих пор, предполагают (1) известной размерность пространства, в котором лежит аттрактор, и (2) возможным измерение всех переменных состояния. Однако во многих экспериментах удается проследить или измерить временную эволюцию только одной переменной состояния. Кроме того, в непрерывных системах, содержащих жидкие или твердотельные среды, число степеней свободы или минимальное число значащих мод, дающих вклад в хаотическую динамику, может быть априори не известно. Одно из важных приложений фрактальной математики как раз и состоит в том, что она позволяет определить наименьщее число дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющих передать качественные особенности динамики нещ)ерывных систем. На этом пути удалось добиться некоторых успехов в задачах термогидродинамики, например в конвекции Рэлея—Бенара (см. [123]). [c.238]

Экспериментальные исследования тепловой конвекции Р> лея—Бенара в замкнутом объеме обнаружили, что предвестниками хаотического состояния являются последовательности удвоения периода. Эти эксперименты проводились с гелием, водой и ртутью для широкого диапазона значений безразмерных чисел Прандтля и Рэлея. Бремя проведения этих опытов приходится на конец 70-х годов. Например, Либхабер и Маурер [108] наблюдали колебания с удвоением периода при конвекции гелия. Ряд экспериментальных статей опубликовала группа из Французской национальной лабора- [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...