Устойчивость по Пуассону

Доказанная теорема дает полное описание всех движений, целиком находящихся в достаточно малой окрестности гомоклинической структуры. Совокупность этих движений достаточно сложна. При достаточной малости окрестности б гомоклинической структуры все эти движения седлового типа. Среди них бесчисленное множество пе зио-дических движений, отвечающих всевозможным периодическим последовательностям вида (7.80), асимптотических к этим периодическим, устойчивых по Пуассону непериодических. Несмотря на необычайную сложность этого множества движений оно не изменяет своей структуры при малых гладких возмущениях правых частей дифференциальных уравнений, поскольку его описание с помощью [c.324]

Кроме этого примера, других результатов по нелокальным бифуркациям на бутылке Клейна нет. Тем не менее, возможность полного описания бифуркаций в типичных однопараметрических семействах (теорема типа п. 2.2) кажется более осуществимой, чем на других поверхностях, поскольку на бутылке Клейна не могут существовать нетривиальные устойчивые по Пуассону траектории [16], [172]. [c.106]

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

Теорема. В сколь угодно малой окрестности векторного поля V (в пространстве С -гладких векторных полей на R ) существуют векторные поля, обладающие нетривиальными (т. е. отличными от особых точек и предельных циклов) устойчивыми по Пуассону траекториями. [c.150]

Зафиксируем окрестность точки v и обозначим через множество векторных полей, лежащих в ней и обладающих бесконечным неблуждающим множеством (нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями). [c.150]

Являются ли гладкими бифуркационные поверхности, отвечающие системам с нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями, или хотя бы соответствующие бифуркационные кривые в общих двупараметрических семействах — неизвестно. [c.151]

В общем случае П. т. утверждает, что у динамич. системы с конечной инвариантной мерой для почти всех точек X А при р(А) > 0 траектория (х) возвращается в А найдётся такое т > 1, что f x) А. При не-к-рых предположениях относительно Я П. т. усиливается траектории возвращаются в А бесконечное число раа, т. е. устойчивы по Пуассону. [c.174]

Нетрудно видеть, что всякое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. Действительно, по всяким е > О и /о > О можно указать такие точки и /г- о+ Ь [c.16]

Так как почти все точки лежат на нерезонансных торах, то движение линии узлов устойчиво по Пуассону. [c.196]

Проекции фазовых траекторий на плоскости ж, х вновь и вновь пересекают прямые X = а ж X = Ъ. При этом возможны шесть различных способов перехода, соответствующих преобразованиям Т Га, Ни и 8%. Изучение этих точечных отображений показало, что в пространстве параметров системы существует счетное число областей, соответствующих существенно различным сложным периодическим движениям. Предельным точкам этого счетного множества областей отвечают системы, у которых рабочим режимом работы является устойчивое, по Пуассону, непериодическое движение. [c.145]

Предлагается достаточно простая методика доказательства устойчивости по Пуассону незамкнутых траекторий динамических систем. В частности, в некоторых исследуемых системах с переменной диссипацией с нулевым средним показано наличие семейств таких длиннопериодических траекторий при некоторых условиях траектория движения точки D (центра пластины (рис. 0.1)) устойчива по Пуассону [33, 34, 103, 199, 221,246,271.289]. [c.33]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСТОЙЧИВЫЕ ПО ПУАССОНУ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.113]

Напомним, что траектория в фазовом пространстве устойчива по Пуассону, если через конечное время она возвращается в любую достаточно малую окрестность любой своей точки [15, 33]. [c.114]

Достаточные условия существования устойчивых по Пуассону траекторий формулируются в следующей теореме. [c.114]

Замечание 2. Если рассмотреть замыкание Z устойчивой по Пуассону траектории х, (/) как множества в пространстве Л" х , то во множестве 2 рассматриваемое семейство замкнутых траекторий всюду плотно. В свою очередь, если рассмотреть замыкание семейства замкнутых траекторий как множества в пространстве К х , то во множестве устойчивая по Пуассону траектория х,(0 также всюду плотна. [c.115]

Как будет показано в главах 4, 6, у некоторых неавтономных систем в 7 и в 7 существуют устойчивые по Пуассону траектории. [c.116]

Замкнутые траектории на фазовом цилиндре. При / 2 0 у системы (8.8) на фазовом цилиндре отсутствуют замкнутые характеристики, огибающие фазовый цилиндр, что соответствует принципиальному отсутствию длиннопериодических и устойчивых по Пуассону плоских траекторий центра >1 пластины тела в ограниченных областях плоскости х, у . [c.304]

В математической литературе траектория, все точки которой являются а- (со-) предельными для нее самой, называется устойчивой по Пуассону. На плоскости, на сфере ж на цилиндре устойчивая по Пуассону траектория может быть либо состоянием равновесия, либо замкнутой траекторией. Рассмотренная выше траектория Lo на торе при к иррациональном является примером невозможного на плоскости типа траектории (а- и со-устойчивой по Пуассону незамкнутой траекторией). [c.465]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Как описать однопараметрические деформации квазиоб-щих систем, не являющихся системами первой степени негру-бости, в частности, бифуркации, в результате которых появляются и исчезают нетривиальные устойчивые по Пуассону траектории (По-видимому, здесь не обойтись без символической, динамики типа теории нидинг-последовательностей [135], [165].) [c.111]

Арансон С. X., Об отсутствии незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий и траекторий, Двоякоаснмптотическнх к двойному предельному циклу, у динамических систем первой степени негрубости на ориентируемых двумерных многообразиях. Мат. сб., 1968, 76, вып. 2, 214—230 [c.210]

Читая сейчас эти работы, необходимо иметь в виду, что термины хаотические движепия и странный аттрактор появились значительно позднее, а тогда такие движения назывались непериодическими устойчивыми по Пуассону центральными движениями, или короче — движениями, устойчивыми по Пуассону. [c.23]

Эта терминология восходит к книге Д. Биркгофа Динамические системы , переведенной на русский язык в 1941 г., и книге В. В. Немьщкого и В. В. Степанова Качественная теория дифференциальных уравнений , вышедшей в 1947 г. Сам термин — движение, устойчивое по Пуассону (в направлении возрастания времени),—означает, что движение х 1) ограничено, и для любых 0 и б > О существуют неограниченно возрастающие моменты времени о < < 2 <. .., для которых [c.23]

Области пространства параметров, отвечающие существованию движений, устойчивых по Пуассону, были обнаружены и при Х11>1, 1Яг1 > 1, что по современной терминологии заведомо соответствует наличию стохастического аттрактора. Пример такого отображения показан на рис. 1.20. Получившее известность отображение Лоренца является его частным случаем, когда Л = 1 а —Ъ) иЯ1 = Яг>1. [c.25]

В теоретических исследованиях горьковской школы теории нелинейных колебаний 1964—1970 гг. [262, 263, 266, 268, 288, 289, 370, 371, 374] было понята роль гомоклинических и гетеро-клпнических кривых А. Пуанкаре в образовании непериодических устойчивых по Пуассону движений, и тем самым выяснены их общий характер и важная роль, которую они должны играть в теории нели-тчшых колебаний и временной эволюции динамических систем. [c.27]

О < а < 1) и (самый интересный случай) быть неограниченным, но бесконечно много раз подходить сколь угодно близко к своему начальному значению (т.е. к нулю). В связи с этим естественно поставить вопрос о нахождении условий, при которых будет иметь место возвращаемость интеграла I t) (устойчивость по Пуассону). Первый шаг в его решении — исследование дискретного аналога этой задачи, которое позволит установить, что возвращаемость имеет место, если функция / дважды непрерывно дифференцируема. [c.177]

Разработаны также методы качественного исследования диссипативных систем и систем с антидиссипацией, позволившие получить условия бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых автоколебаний, а также условия отсутствия любых таких траекторий. Метод исследования плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения удалось распространить на высшие размерности. Получены достаточные условия устойчивости по Пуассону некоторых классов незамкнутых траекторий динамических систем. [c.9]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

Следствие. Множества 2 и совпадают. И прямое, и обратное включения следуют из плотности семегктва замкнутых кривых и устойчивости по Пуассону. [c.116]

Траекториями динамических систем на поверхностях кроме траекторий тех же типов, что и на плоскости, могут быть еще незамкнутые, устойчивые по Пуассону, а также незамкнутые и неустойчивые по Пуассону траектории, имеющие в качестве предельных а- и со-устойчивые по Пуассону (незамкнутые, самопредельные). В связи с наличием у динамических систем на поверхностях новых типов траекторий вопрос о схеме динамической системы на поверхности решается только для простейших случаев. Понятие грубости динамической системы на поверхности имеет то же значение, что и в плоской области, а необходимые и достаточные условия грубости системы с небольшими модификациями те же, что и в плоской области. [c.467]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...