Понятие грубости динамической системы

Понятие грубости динамической системы может быть введено при значительно более широких предположениях относительно правых частей системы (А), именно при предположении, что правые части имеют лишь непрерывные частные производные (см. 8 гл. 8). [c.132]

В гл. 7 целесообразность введения понятия грубости динамической системы оправдывалась естественными соображениями, касающимися свойств динамических систем, описывающих реальные задачи. Однако в силу указанных свойств грубых систем это понятие естественно возникает также в силу внутренней математической необходимости ). [c.148]

Понятие грубости при более общих предположениях относительно правых частей динамической системы. Мы рассматривали выше динамические системы, правые части которых — аналитические функции. Однако понятие грубости динамической системы может быть введено совершенно так же и в случае, когда относительно правых частей Р х, у) и Q x, у) рассматриваемых динамических систем сделаны более общие предположения. [c.148]

Понятие грубости динамической системы в многомерных системах не играет той роли, которую оно играет для двумерных динамических систем. Именно, метеорологом Лоренцем для целей предсказания погоды была выведена очень простая система трех дифференциальных уравнений [c.470]

Понятие грубости динамической системы [c.76]

Аттрактор Лоренца и его негрубость сохраняются и вообще при всех достаточно малых изменениях правых частей уравнения (1). А отсюда, очевидно, следует, что не существует сколь угодно близкой к системе (1) грубой системы и, следовательно, грубые системы не всюду плотны в пространстве трехмерных систем. Так как для двумерных систем всюду плотность грубых систем в пространстве динамических систем была чрезвычайно важным свойством, то в этом кардинальном вопросе разница между двумерными ц многомерными динамическими системами очень существенна ). Тем не менее понятие грубости динамических систем трех и большего числа измерений — в простейшем случае систем Морса — Смейла или даже в еще более упрощенной ситуации, например, в случае систем Морса — Смейла с конечным числом ячеек, все же сохраняет свое значение. Большое значение (как математическое, так и для приложений) имеет также рассмотрение бифуркаций многомерных динамических систем через негрубые системы. Мы сделаем по этому поводу некоторые краткие замечания. [c.471]

Эквивалентом популярному ныне понятию робастности является понятие грубости по Андронову [91]. Грубость по Андронову показывает, насколько чутко объект исследования отзывается на внешние воздействия, как при этом изменяются, движение, колебания и т. д. Робастные системы — это системы, характеристики которых слабо реагируют на изменение динамических параметров. [c.93]

До сих пор мы рассматривали при том или другом определении расстояния между динамическими системами пространство всевозможных динамических систем. Однако в ряде вопросов представляет интерес рассмотрение относительной грубости, именно грубости по отношению к некоторому классу динамических систем, т. е. по отношению к некоторому подмножеству пространства динамических систем На или -Йд). Таким понятием относительной грубости мы воспользуемся при выделении простейших негрубых систем (см. следующую главу), так называемых систем первой степени негрубости, а также при классификации негрубых систем по степени сложности, или степени негрубости. Отметим, что с точки зрения такой классификации негрубых систем консервативные системы (см. гл. 7) являются системами бесконечной степени негрубости, другими словами, системами степени негрубости более высокой, чем любая конечная степень негрубости. Таким образом, в пространстве На (или Н 2) консервативные системы являются с точки зрения такой классификации чрезвычайно редкими системами. [c.150]

В случае, когда правые части динамической системы (А) — многочлены, так что систему можно рассматривать на сфере Пуанкаре (см. гл. 6), бифуркациям от бесконечности соответствуют бифуркации от экватора сферы Пуанкаре. При этом, очевидно, необходимо ввести понятие грубости системы на сфере Пуанкаре и условия грубости и негрубости экватора. Однако в настоящей книге эти вопросы не рассматриваются. [c.195]

Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля ). Определение грубости и первой степени негрубости системы на цилиндре в области, ограниченной двумя циклами без [c.212]

Перенесение понятия грубости на многомерные системы встретило затруднения. Выяснилось, что грубые системы могуг быть весьма сложными в пространстве параметров многомерной динамической системы мо существовать целые области негрубых систем. (Подробнее см. в книге [И, гл. 3] и цитированной в ней литературе.) [c.77]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Траекториями динамических систем на поверхностях кроме траекторий тех же типов, что и на плоскости, могут быть еще незамкнутые, устойчивые по Пуассону, а также незамкнутые и неустойчивые по Пуассону траектории, имеющие в качестве предельных а- и со-устойчивые по Пуассону (незамкнутые, самопредельные). В связи с наличием у динамических систем на поверхностях новых типов траекторий вопрос о схеме динамической системы на поверхности решается только для простейших случаев. Понятие грубости динамической системы на поверхности имеет то же значение, что и в плоской области, а необходимые и достаточные условия грубости системы с небольшими модификациями те же, что и в плоской области. [c.467]

А. А. Андронов п Л. С. Понтрягпн дали строгое математическое определение понятия грубости для систем второго порядка согласно этому определению динамическая система, описываемая дифференциальными уравнениями [c.44]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Понятие динамической системы первой степени негрубости, так же как и понятие грубости, может быть дано при более общих предположениях относительно правых частей. Однако, как и всюду, мы предполагаем правые части аналитическими ввиду того, что этот слут ай является наиболее интересным с точки зрения приложений. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...