Состояние равновесия эллиптической областью

Глава состоит из четырех параграфов. В 17 проводится рассмотрение окрестности состояния равновесия, к которому стремится хотя бы одна полутраектория. Устанавливается, что окрестность такого состояния равновесия может быть разделена на области трех различных типов правильные параболические, эллиптические и гиперболические области. Параболические, эллиптические и гиперболические области, а такн<е элементарный прямоугольник (см. 3) называются элементарными областями . 18 посвящен доказательству того, что между всякими двумя элементарными областями одинакового типа может быть установлено отображение, переводящее траектории в траектории (этот факт геометрически является совершенно наглядным). [c.316]

В настоящей главе всегда рассматривается только такая окрестность, состояния равновесия О, которая кроме О не содержит целиком ни одной особой траектории. Поэтому все рассматриваемые в этой главе эллиптические области таковы, что образующие их траектории Ь являются неособыми траекториями. [c.328]

В математической литературе эллиптической областью часто называется область, через все точки которой проходят траектории при I —- -оо и г ——оэ, стремящиеся к состоянию равновесия О, среди которых могут быть как орбитно-устойчивые, так и орбитно-неустойчивые траектории. [c.328]

Лемма 10. Если у состояния равновесия О существует эллиптическая область ga, образованная траекторией Ь, то у этого состояния равновесия либо существует еще одна отличная от ga эллиптическая область, либо хотя бы одна со- и одна а-сепаратриса. [c.329]

Одна из входящих в границу сектора g полутраекторий положительна, а другая отрицательна, и эти полутраектории не являются сепаратрисами. Поэтому в силу следствия из леммы 5 либо существуют лежащие в секторе g а- и со-сепаратрисы состояния равновесия О, либо в этом секторе лежит петля о. В последнем случае эллиптическая область ga отлична от области ga, так как эти области содержатся соответственно в двух областях g и g, не имеющих общих точек. Лемма доказана. [c.329]

Пусть теперь даны две различные замкнутые эллиптические области сг и дс- Пусть Ь Ь — отличные от состояний равновесия траектории, а О и О — состояния равновесия, входящие в границу 5. Пусть между точками Ь и Ь установлено топологическое соответствие (рис. 208, а, б). [c.345]

Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей состояния равновесия, не являющегося центром. Пусть, как и выше, > О таково, что окрестность 17 О) не содержит целиком ни одной особой траектории. В случае, который мы рассматриваем, когда состояние равновесия О не является центром и, следовательно, к нему стремится хотя бы одна полутраектория, могут представиться следующие две возможности. [c.346]

У состояния равновесия О существует сепаратриса или эллиптическая область. [c.346]

Мы будем также говорить, что циклический порядок полутраекторий ) или (Ь) определяет циклический порядок сепаратрис и правильных эллиптических областей состояния равновесия О. [c.348]

Пусть до1, -. . , — все различные эллиптические области состояния равновесия О. Мы можем, следовательно, выписать сепаратрисы и эллиптические области состояния равновесия в их циклическом порядке [c.348]

Такой сектор является согласно введенной в п. 2 17 терминологии эллиптическим сектором (рис. 197). Так как в число полутраекторий (L) по самому их выбору входят полутраектории, выделенные из траекторий всех различных эллиптических областей состояния равновесия О, то всякая, лежащая внутри окружности С петля принадлежит какому-нибудь эллиптическому сектору. [c.349]

Вместо того, чтобы рассматривать все различные между собой эллиптические области состояния равновесия О, очевидно, можно рассматривать все лежащие одна вне другой петли или все положительные и отрицательные полутраектории этих петель (Lf , LV, , 3 н [c.352]

Более наглядный способ задания схемы — схематический рисунок. На рисунке схематически наносятся в том циклическом порядке, в котором они расположены, сепаратрисы этого состояния равновесия с указанием на них направлений (с их обозначениями) и по одной траекто-, рии каждой из различных эллиптических областей (с указанием на них направлений по t). [c.352]

Когда схемы двух состояний равновесия тождественны (с сохранением ориентации и направления по 1), то, очевидно, п = т , п = т<,, и при надлежащей нумерации полутраекторий и эллиптических областей состояния равновесия 0-таблица, описывающая схему состояния равновесия О, может быть получена пз таблицы, описывающей схему состояния равновесия О, добавлением волнистой черты в обозначении полутраекторий и эллиптических областей. [c.353]

Очевидно и обратно, если таблицы, описывающие схемы состояний равновесия, отличаются только обозначением полутраектории и эллиптических областей (например, добавлением волнистой черты), схемы этих состояний равновесия тождественны. В случае, когда схема задается графически (рисунком), очевидно, рисунок один и тот же, только изменяются обозначения для траекторий. [c.354]

Следствие. Если и — две полутраектории, стремящиеся к состоянию равновесия О, между которыми не лежит ни одной особой полутраектории, стремящейся к точке О, то между L и не могут лежать две различные эллиптические области. [c.357]

Следовательно, к = 2т + 1 = 3, т = 1, а = —3 <0, и = 1, = = —1 <0 и А = + 4 (ш + 1) а2т+1 = 25 > 0. Так как здесь к — нечетное число, а < О, то = и, Х > О и к — нечетное число, то в силу теоремы 66 состояние равновесия О системы (40) является состоянием равновесия с эллиптической областью. Топологическая структура состояния равновесия таким образом установлена. Легко видеть, что ось х является интегральной кривой системы [c.409]

Тогда А = 2то -г 1 = 3, то = 1, Oft = —2 < О, п = 1, = 4 > О, п — нечетное число и X = 0. При этих условиях согласно теореме 66 заключаем, что точка О (О, 0) является состоянием равновесия с эллиптической областью системы (42). [c.409]

Если у данного состояния равновесия существует замкнутая узловая эллиптическая область, то непременно существуют также две содержащиеся внутри С параболические области, сопровождающие эту замкнутую область. Эти области непосредственно примыкают к замкнутой узловой области, образованы частями перерезанных окружностью траекторий замкнутой узловой области ) (рис. 35). [c.61]

II. Если существует эллиптическая область, примыкающая к состоянию равновесия О, то к нему примыкает по крайней мере еще одна эллиптическая или гиперболическая область. [c.61]

III. Между двумя различными эллиптическими областями состояния равновесия всегда существует стремящаяся к этому [c.61]

Следствие 1. Все достаточно малые окрестности данного состояния равновесия разделяются на одно и то же число эллиптических, параболических и гиперболических областей. [c.62]

При исследовании общего случая пластического плоского напряженного состояния В. В. Соколовский 2) обнаружил, что уравнения равновесия (37,1) вместе с уравнением (37.70а) можно преобразовать подобно тому, как были преобразованы соответствующие уравнения для плоского деформированного состояния в п. 7 настоящей главы. Он нашел, что при плоском напряженном состоянии могут встретиться такие случаи, когда в различных областях одного и того же диска дифференциальные уравнения принадлежат к гиперболическому и эллиптическому типам, в результате чего действительные характеристики будут существовать только в зонах, соответствующих первому типу уравнений ). [c.627]

Равновесие хрупких тел с трещинами. Построение теории разрушения хрупких материалов связано с изучением напряженного состояния в окрестности поверхности разрыва поля перемещения ( трещин ) в упругом теле. Наиболее простой является задача о плоском напряженном состоянии в плите с прямолинейным разрезом, нагруженной силами, перпендикулярными разрезу, концы которого достаточно удалены от краев плиты. В линеаризованной постановке классическое решение, получаемое предельным переходом из решения задачи о напряженном состоянии в окрестности эллиптического отверстия, приводит к бесконечным напряжениям в концах трещины (угловых точках области). Без добавочных предполо- [c.69]

Здесь порядок, в котором выписаны полутраектории и эллиптические области, соответствует циклическому порядку, в котором они расположены вокруг состояния равновесия. При записи схемы мы можем начинать с любой траектории или L f или с любой э.члиптическо области [c.352]

Следовательно, у состояний равновесия О так же как и у О перечислены все а-сепаратрисы .. . , Ь% ), все сс-сспарагрпсы (Ь[ , Ь ,. . . , т,), все различные между собой эллиптические области ( 01, - , И указан циклический порядок, в котором все эти [c.353]

При тождественности схем двух состоянии равновесия О п О соответствующие друг другу полутраектории и эллиптические области этих состояний равновесия будем называть полутраекториями и эллиптическими областями, соответствующими друг другу по схеме. При тождественности локальных схем состояний равновесия О и. О существует также взаимно однозначное соответствие по схеме между полутраекториями и // +, Ь , выделенными из петель соответствующих друг другу по схеме эллиптетеских областей. Соответствующим друг другу по схеме полутраекториям и областям систем В ти В будем ириписыпать одинаковые номера. [c.354]

Пусть gai и g(j2 — две последовательные в циклическом порядке эллиптические области состояния равновесия О, так что между областями gai И go2 не лежит уже бо.льше ни одной эллиптической области. [c.356]

Лемма 4. Между двумя последовательными в циклическом порядке эллиптическими областями gaj и состояния равновесия О непременно лежит по крайней мере одна стремящаяся к состоянию раеновесия О особая полутраектория. [c.356]

Пусть, как и выше, С/ (О) — Бо-окрестность состояния равновесия О, кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволинейные секторы gi, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разделяют окрестность Ugg (О), подразделяются особыми полутраекториями, не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криво.линей-ные секторы. Принимая во внимание лемму 5 17, нетрудно убедиться в том, что между двумя последовате.льными в циклическом порядке особыми полутраекториями лежит а) со-параболическии ссктор, если обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе полутраектории отрицательны б) эллиптическая или гиперболическая область, если одна из этих полутраекторий положительна, а другая отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные эллиптические об.ласти состояния равновесия. [c.357]

Определение ХХП1. Мы скажем, что дана полная схема состояния равновесия О, не являющегося центром, если указан циклический порядок, в котором расположены вокруг состояния раеновесия О все стремящиеся к нему особые полутраектории и все его эллиптические области, и при этом указано, какие из полутраекторий являются угловыми полутраекториями. Полная схема состояния равновесия может быть записана таблицей вида [c.357]

Порядок, в котором полутраектории и эллиптические области выписаны в этой таблице, соответствует циклическому порядку, в котором они расположены вокруг состояния равновесия О. Как и в случае локальной схемы состояний равновесия, запись схемы определена с точностью до циклической перестановки. В сог.ласии со сказанным выше (см. п. б)), [c.357]

В случае, когда дуга — со-параболическая, будем эти части дуги называть со-дугами и обозначать через а-,, а в случае, когда дуга 1, — а-параболическая, будем эти части называть а-дугами и обозначать через bj. Дуги и bj кроме концов не пересекаются, таким образом, ни с одной особой полутраекторией. В частности, дуга или bj может совпадать со всей параболической дугой Нетрудно видеть, что хотя бы один из концов дуги Я или hj принадлегкит особой полутраекторип. Дуги a , hj, а также определенные выше эллиптические дуги, седловые дуги траекторий и седловые дуги без контакта будем называть каноническими дугами канонической кривой Е. Рассмотрим параболическую область, граница которой состоит пз дуги Я (или Ь]) двух полутраекторий, проходящих через концы дуги a (или hj) и состояния равновесия О. Всякую такую область, а также определенные выше эллиптическую и гиперболическую [c.358]

В обозначении полутраекторий и эллиптических областей. Соответствук>-щие друг другу по соответствию 0 полутраектории и эллиптические области будем называть соответствующими друг другу по схеме. При тождествен ности схем состояний равновесия, очевидно, существует также соответствие по схеме между полутраекториями Ь + и L +, L f и L -, выделенными из петель. Рассмотрим канонические окрестности Н и Н состоянии равновесия О и О, пусть Е и Е — ограничивающие пх канонические кривые. Как и в случае состояния равновесия О, особые полутраектории, стремящиеся к состоянию равновеспя О, не являющиеся его сепаратрисами, разделяют каноническую окрестность Н на канонические области, а каноническую кривую Е на канонические дуги <5 и ч- [c.360]

В 22 рассматривается случай, когда оба характеристических числа равны нулю (б = 0). В этом с.лучае могут представиться семь возможностей — седло, узел, фокус, центр, седло — узел, а также выроячденное состояние равновесия (два гиперболических сектора) и состояние равновесия с эллиитическо областью (имеющее один эллиптический и один гиперболический сектор). Применяемый в этой главе метод исследования принад.лежит Бендиксону [33]. [c.362]

Возможные топологические структуры состояния равновесия О (О, 0) системы (А) устанавливаются в следующих теоремах 66 и 67. Будем называть состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из двух гиперболических секторов, вырожденным состоянием равновесия. Если же каноническая окрестность точки О состоит из одного гиперболического и одного эллиптического сектора, то мы будем называть точку О состоянием раеновесия с эллиптической областью. [c.397]

Нам остается теперь псрс11ти от системы (А,) к исходной системе (А), применив лемму 1 и замечание 1. Из этой леммы и замечания следует, что в рассматриваемом случае, т. е. при п<Ст, п =7 О и 02,11-1 <С О состояние равновесия О (О, 0) системы (А) является топологически.м узлом, если п четно, состоянием равновесия с эллиптической областью, если к —нечетно. При этом если > О (Ьп < 0), то эллиптическая область расположена ниже (выше) гиперболической (Грис. 239) для случая > 0). [c.401]

Пусть теперь а2, +1 < 0. Тогда У % < , и оба числа к и ко имеют одинаковые знаки. Из соотиошений (22) следует, что в этом случае одно из состояний равновесия С>1 и Оо является простым седлом системы (А, +,), а другое — простым узлом, причем если > О, то седло лея. ит на оси Г[т+1 выше узла, а если < О, то ниже. Дальнейшее рассуждеиие проводится в точности так же, как в случае 2) (т. е. в случае, когда п < т, 02т+1 < 0). Мы приходим, таким образом, к следующему заключению если Ь ф О, Я > О, агт + 1 < О и т = п, то точка О (О, 0) системы (А) является топологическим узлом при п четном и состоянием раеновесия с эллиптической областью прп п нечетном (рис. 239). [c.402]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

Теорема 18. Всякая достаточно малая окрестность состояния равновесия О системы (А), не являюи аяся центром или топологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических замкнутых узловых), параболических узловых) и гиперболических седловых) областей в частных случаях области некоторых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно [c.62]

Принципы механического подхода к изучению внутренних явлений, протекающих в нагруженном материале, наиболее полно выражены в теории трещин, объясняющей низкую прочность реальных тел наличием в материале мельчайших трещин. Начало исследований в области трещин было полошено 50 лет назад С. Е. Инглисом [565], решившим методами теории упругости задачу о равновесии тела с изолированной эллиптической полостью при однородном поле напряжений. Задача о критических напряжениях при однородном плоском напряженном состоянии с учетом молекулярных сил сцепления, действующих у края трещин, впервые была решена Гриффитсом [559]. Механизм разрушения пластичных материалов при наличии трещин исследован Оро-ваном и Ирвином [566, 609]. [c.65]

В последние годы появились работы [2.66—2.69] и [3.14, 3.16, 3.36], свидетельствующие об интенсивных разработках, проводимых А. С. Космодамианским и его сотрудниками в области многосвязных и периодических задач растяжения и изгиба пластин в различных аспектах. В частности, здесь рассмотрена периодическая плоская задача для внешности подкрепленных [2.67] и не подкрепленных [3.14] эллиптических отверстий, упругое равновесие плоскости с периодической системой упругих ) включений [3.15] и т. д. В статье [3.36] рассмотрена периодическая задача о растяжении изотропной пластинки с квадратными вы-peзa пl, подкрепленными жесткими кольцами. В работе [2.66] доказывается квазирегулярность систем алгебраических уравнений, получаемых при рассмотрении напряженного состояния [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...