Канонические дуги канонической кривой

Канонические дуги канонической кривой 353 [c.576]

Замечание 2. Пусть заранее задано топологическое отображение канонических кривых Е и Е друг на друга, при котором соответствующие друг другу по схеме дуги этих кривых, а также соответствующие [c.355]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

У соответствующих друг другу в силу 1) канонических окрестностей и канонические области одинакового типа эллиптические, параболические и гиперболические) соответствуют друг другу и соответствуют друг другу также дуги канонических кривых и а, входящие в границы, этих секторов т. е. эллиптические и параболические дуги, седловые дуги траекторий и седловые дуги без контакта), а также концы этих дуг. При этом а) соответствующие друг другу концы соответствующих друг другу параболических дуг принадлежат либо соответствующим друг другу особым элементам траекториям или полутраекториям), либо соответствующим друг другу эллиптическим дугам б) концы соответствующих [c.486]

Соответствие между принадлежащими системам D и Г) каноническими областями, каноническими кривыми и их дугами — существующее в силу леммы 1, а также между концами этих дуг, будем тоже называть соответствием по схеме и обозначать топ же буквой 0. Мы будем такн е пользоваться не требующими пояснении обозначениями О (gi) = gi, 6 (Yi) = О (Oi) G i, e ( i) = a, a также 0 (a) == g, 0 (b) == b, [c.488]

Рассмотрим теперь у систем D в D области между сопряженными каноническими кривыми и между сопряженными каноническими дугами. Как и выше (см. 28, п. 8), эти области будем у системы D обозначать через аа, а у системы D — теми же буквами, но со штрихами [c.489]

Используя указанное выше разделение круга С на криволинейные секторы различных типов, мы построим некоторую область вокруг состояния равновесия, которую будем называть его канонической окрестностью. Граница этой окрестности является простой замкнутой кривой, состоящей из конечного чис.ла дуг траекторий и дуг без контакта, и называется канонической кривой. [c.349]

Лемма 3. Если положительное направление обхода канонической кривой Е индуцирует на эллиптической дуге 8 направление совпадающее с направлением по I (или противоположное направлению по 1), то направление положительного обхода петель, принадлежащих области //, также совпадает с направлением по I (противоположно направлению по 1). [c.351]

Замечание. Пусть 5 — простая замкнутая кривая, состоящая из витка траектории, отличной от траекторий ЬР (т. е. не особой) и дуги без контакта, целиком лежащая в какой-нибудь канонической окрестности континуума К - . Очевидно, все полутраектории Lt пересекают дугу без контакта, входящую в состав этой кривой. При этом циклический порядок этих точек пересечения на кривой 5 тот же, что II циклический порядок этих точек на любом цикле без контакта континуума [c.442]

Лемма 1. Если схемы динамических систем В и В тождественны и 2 и соответственно их правильные системы канонических окрестностей, то между каноническими областями, их секторами, каноническими кривыми и их дугами существует следующее индуцированное, взаимно однозначное соответствие [c.486]

После этих предварительных общих замечаний перейдем к подробному доказательству основной теоремы. Отметим прежде всего, что топологическая тождественность разбиения на траектории соответствующих друг другу по схеме канонических окрестностей доказана в теореме 72, а топологическая тождественность областей типа Наш и Sa , оо и после элементарного проведения вспомогательных дуг (в случае областей Еаю этими дугами являются дуги траекторий, соединяющие циклы без контакта, а в случае Zoo эти дуги являются дугами без контакта, соединяющими граничные замкнутые кривые, существующие в силу леммы 7 19) сводится к лемме 8 18 (о топологической тождественности разбиений элементарных четырехугольников). [c.490]

Выберем Г() > О настолько малым, чтобы условия 1) и 2) выполнялись, и построим каноническую замкнутую кривую Е состояния равновесия О, проходящую через точки Р ,. . ., Рп (рис. 345). При этом в качестве седловых дуг без контакта возьмем достаточно малые дуги окружности Сд. Существование кривой Е, удовлетворяющей указанным условиям, показано в 19, п. 2. [c.560]

В случае, когда дуга — со-параболическая, будем эти части дуги называть со-дугами и обозначать через а-,, а в случае, когда дуга 1, — а-параболическая, будем эти части называть а-дугами и обозначать через bj. Дуги и bj кроме концов не пересекаются, таким образом, ни с одной особой полутраекторией. В частности, дуга или bj может совпадать со всей параболической дугой Нетрудно видеть, что хотя бы один из концов дуги Я или hj принадлегкит особой полутраекторип. Дуги a , hj, а также определенные выше эллиптические дуги, седловые дуги траекторий и седловые дуги без контакта будем называть каноническими дугами канонической кривой Е. Рассмотрим параболическую область, граница которой состоит пз дуги Я (или Ь]) двух полутраекторий, проходящих через концы дуги a (или hj) и состояния равновесия О. Всякую такую область, а также определенные выше эллиптическую и гиперболическую [c.358]

В обозначении полутраекторий и эллиптических областей. Соответствук>-щие друг другу по соответствию 0 полутраектории и эллиптические области будем называть соответствующими друг другу по схеме. При тождествен ности схем состояний равновесия, очевидно, существует также соответствие по схеме между полутраекториями Ь + и L +, L f и L -, выделенными из петель. Рассмотрим канонические окрестности Н и Н состоянии равновесия О и О, пусть Е и Е — ограничивающие пх канонические кривые. Как и в случае состояния равновесия О, особые полутраектории, стремящиеся к состоянию равновеспя О, не являющиеся его сепаратрисами, разделяют каноническую окрестность Н на канонические области, а каноническую кривую Е на канонические дуги <5 и ч- [c.360]

При тождественности полных схем состояний равновесия О 0 индуцируется естественное взаимно однозначное соответствие между каноническими областями канонических окрестностей Нл1 Н, каноническими дугами кривых Е и Е и концами этих дуг, именно 1) Соответствующими друг другу каноническими областями являются области, в границы которых входят соответствующие друг другу по схеме особые полутраекторип. Соответствующие друг другу области имеют одинаковый характер. [c.360]

Замечание. Если заранее задано топологическое отображение канонических кривых Е и Е, при котором соответствующие друг другу по схеме канонические дуги и соответствующие друг другу но схеме концы их отображаются друг в друга, то всегда существует отобрагкение [c.360]

Замечание 2. Траектория, проходящая через конец злемен-тарной со (а)-дуги, не может пересечь свободный а (о))-цикл или а (со)-дугу в точке, отличной от ее концов. Это, очевидно, следует из того, что конец элементарной дуги либо принадлежит особому элементу, либо принадлежит эллиптической дуге канонической кривой состояния равновесия. [c.461]

Прежде чем переходить к рассмотрению сопряженных ю- и а-дуг, рассмотрим наряду с со- и а-дугами со-седловые и а-седловые дуги, являющиеся дугами канонических кривых о-состояний равновесия выбранной правильной системы канонических окрестностей. Напомним, что седловая дуга, через которую трактории входят в соответствующую седловую область, называется ю-седловой дугой, а седловая дуга, через которую траектории выходят из этой области, называется а-седловой дугой. Очевидно, в то время, как элементарные со- и а-дуги ограничивают области притяжения или области отталкивания (со- и а-иараболпческие области и канонические окрестности со- и а-предельпых континуумов), в которые всякая траектория входит и уже больше не выходит, седловые дуги такие области не ограничивают. Однако но отношению к особым траекториям, отличным от состояния равновесия, онп в известном смысле играют роль, аналогичную элементарным дугам. Имеет место следующая лемма, сформулированная для со-дуг и ю-седловых дуг полностью аналогичная лемма имеет место для а-дуг и а-седловых дуг. [c.467]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим а) все простые замкнутые кривые (С), (о), (Г), являющиеся несвободными циклами без контакта в) все параболические дуги без контакта (/), входящие в канонические кривые (а) состояган равновесия, не являющихся узлами в) все граничные дуги без контакта (X). [c.459]

Области между сопряженными каноническими кривыми и между сопря/кенными элементарными дугами. Рассмотрим ири сделанном ьыборе правильной системы канонических окрестностей точки области С, не лежащие в канонических окрестностях и на их грающах. [c.478]

Доказательство. Пусть Р — точка рассматриваемого особого элемента, не лежащая ни в какой из канонических окрестностей или на ее грашще (т. е. не лежащая и на канонической кривой). Если у этого особого элемента (т. е. у орбитно-неустойчивой траектории, иолу-траектории, угловой полутраектории или угловой дуги) существует точка, являющаяся концом а- или ш-дуги (в частности, граничной), то в С1глу непрерывной зависимости решения от начальных условии нетрудно убедиться в справедливости утверждения леммы. В частност1г, утверждение леммы всегда справедливо в случае, когда точка Р лс/югт на угловой дуге, угловой полутраекторпи или орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой принадлежит границе области G. (Во всех этих случаях на особом элементе есть точка, принадлежащая границе области G, являющаяся концом граничной элементарной дуги.) [c.480]

Замечание 1. Из настоящей леммы, в частности, следует, что ес.ли рассматриваются две разлтгчные системы иравилыи х канонических окрестностей спстемы D, то между окрестностями, областями, кривыми и дугами этих двух систем существует взаимно однозначное соответствие, описанное настоящей леммой. [c.487]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...