Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа

Необходимые, а также достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа обсуждаются в работе [10]. [c.170]

В таблице 3.1 приведены все известные случаи интегрируемости уравнений Кирхгофа. Случаи 1, 2, 3,4 являются общими случаями интегрируемости, а 5, 6 — частными, для них помимо ограничений на параметры системы также необходимо накладывать дополнительные ограничения на значения интегралов, т. е. начальные условия. [c.168]

Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при Ъij 7 О, г 7 ), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы А, В, С являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица А определяется матрицей инерции I реального твердого тела А = 1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах. [c.347]

В книге рассмотрены основные формы уравнений движения твердого тела, включая движение в потенциальных полях, в жидкости (уравнения Кирхгофа), с полостями, заполненными жидкостью. Приведены условия понижения порядка этих уравнений и существования циклических переменных. Собраны практически все известные к настоящему времени интегрируемые случаи и способы их явного интегрирования. Для исследования широко используются компьютерные методы, позволяющие наглядно представить картину движения. Большинство результатов книги принадлежат авторам. [c.2]

Борисов А. В. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа, Reg. haot. Dyn., 1996, v. 1, №2, р. 61-73. [c.350]

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 26. Здесь приняты следующие значения для диагональных элементов матриц А и В ai = 1/3, яг = 1/2, яз = 1 61 = 3, Ьг = 2, Ьз = 1- Видно, что условие (4.2) заведомо выполнено. На рис. 26, а изображены траектории в интегрируемом случае Стеклова, когда i = 3, сг = = 8, Сз = 1. Затем параметр i начинает увеличиваться. Рис. 26, б отвечает значению i = 5, а рис. 25 в — значению j = 10. Хорошо видно, что картина интегрируемого поведения фазовых траекторий начинает разрушаться как раз вблизи сепаратрис. По мере удаления от интегрируемой задачи стохастический слой около расщепленных сепаратрис начинает расплываться . На рис. 26, г изображена картина пересечения сепаратрис при следующих значениях параметров bi = 0,1, Ьг = Ьз = 0 i = 3, сг = 8, сз = 1. Ясно видно, что гетероклинная сеть пересекающихся сепаратрис повторяется с периодом тт. Это — следствие инвариантности задачи при подстановке m -m, р -р (ср. с п. 1). Результаты расчетов показывают, в частности, что условие (4.2) не является достаточным для интегрируемости уравнений Кирхгофа. [c.283]

До наших дней различные варианты задачи Кирхгофа, по причине сложности, почти всегда рассматривались с точки зрения проблемы интегрируемости, и лишь в некоторых случаях проведен качественный анализ ряда траекторий. В работах Кирхгофа, Клебша, Стеклова, Ляпунова, Чаплыгина, Харламова и др. указаны условия существования дополнительного аналитического первого интеграла [14, 18, 40, 91, 115, 148, 167, 171]. В наши же дни решение этой проблемы совершенствуется в [135] (А. М. Переломов) построена теория интегрируемых случаев (построение Ь-А-пары), а в [95] (В. В. Козлов, Д. А. Онищенко) указаны условия несуществования дополнительного первого интеграла уравнений Кирхгофа (см. также работы О. И. Богоявленского, С. П. Новикова, С. Т. Са-дэтова [35,36, 128, 147]). [c.14]

Редукция no интегралу Мз = onst и переменные (1.16) уже использовались нами в 4 гл. 3 для установления взаимосвязи между задачей Бруна при условии динамической симметрии и интегрируемым случаем Клебша уравнений Кирхгофа. [c.228]

Исторический комментарий. Интегралы четвертой степени для уравнений Кирхгофа были найдены С. А. Чаплыгиным (на е(3)) при дополнительном условии (Л/,7) = О [175]. На во(4) соответствующее (частное) семейство было указано О. И. Богоявленским [21], случай общей интегрируемости с интегралом четвертой степени был указан М. Адлером и П. ван Мёрбеке [185]. Случай (12.3) на пучке скобок не связан ни с одним из этих случаев и является существенно новым. Прежде всего это связано с природой дополнительного интеграла, который является произведением двух инвариантных соотношений. [c.347]

Используя результаты работы [17], методом расщепления сепаратрис можно получить аналитические условия интегрируемости (существования мероморфного интегрола), которые в случае г=0 сводятся к условиям (13), (14). (При 1У г=0 уравнения (29) сводятся к уравнением Кирхгофа), Таким образом, в первом порядке теории возмущений член неголономности ) не влияет на интегрируемость. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...