Всюду плотная область определения оператора

Условие, определяющее пространство не только играет важную роль при установлении общей всюду плотной области определения операторов а (/) и а (/) при любой функции f е но и позволяет сделать следующий интересный вывод, которым мы тут же воспользуемся, чтобы лучше разобраться в ситуации, возникшей в случае модели Ван Хова (гл. 1, 1) отображение /- (/), действующее из в 8(0 <Жу), непрерывно, если пространство [ ] снабжено топологией, ассоциированной с нормой / (п ( ) + 1) I/у Р, а пространство 23(0 5 у) снабжено своей сильной операторной топологией. [c.341]

Времени обращение 198 Всюду плотная область определения оператора 21 [c.416]

Операторы с дискретным спектром. Рассмотрим неограниченный замкнутый оператор L в со всюду плотной областью определения D(L). Такой оператор называют оператором с дискретным спектром, или оператором со вполне непрерывной резольвентой, если резольвента Ri( i) = L — и-/) существует и является вполне непрерывным оператором хотя бы при одном г = Iq. Доказывается (см., например, [8], гл. III, 6), что тогда спектр 2(L) состоит из не более чем счетного множества собственных значений с единственной возможной предельной точкой оо (а не О, как у вполне непрерывного оператора) каждому собственному значению отвечает конечномерное корневое подпространство й(р,) = ( х) резольвента Ri(n) вполне непрерывна при p,s2(L). [c.303]

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

Определим теперь Л1 Лг . .. Лд, как оператор (Л,), сопряженный с оператором Л,. Область определения оператора (Л,), очевидно, содержит линейное многообразие, порожденное в Ж прямым произведение (Л ) X X .. X и, следовательно, плотна в Ж. Таким образом, Л[ X Л X. ... .. X линейный оператор ь Ж с всюду плотной областью определения. Имея в виду нашу главную цель, рассмотрим случай, когда все Ж1 в приведенном выше определении являются тождественными экземплярами одночастичного пространства Ж а действующие в них операторы Л, — одночастичными операторами. В частности, каждому линейному замкнутому оператору Л<" в 5 " с всюду плотной областью определения мы сопоставим в Ж операторы [c.25]

Теорема 1. Пусть Н и А — линейные операторы в с всюду плотной областью определения, а о< > (/) — определенные выше операторы уничтожения (или рождения). Далее, пусть оператор Н самосопряженный, а оператор А замкнутый. Тогда а e Ae ft) == e О (Л) e- <"> <, а< > = е- о (/) . [c.26]

Каждую функцию из -пространства можно сколь угодно точно аппроксимировать (по норме) функцией / (г) или функцией к (р), для которой соответственно функция (г) или функция (р) принадлежит Р-пространству. Следовательно, хотя областью определения оператора кинетической энергии является не все -пространство, эта область всюду плотна в этом пространстве. [c.190]

Замечание. Если 4- — эллиптический ПДО положительного порядка V, то его можно рассматривать не только как ограниченный оператор из Я + ( ) в но и как неограниченный оператор в Я ( ) с областью определения = Н +у Щ- Она всюду плотна в Я С ), [c.327]

В этом случае существует вполне определенный ограниченный обратный оператор (а — К) , причем говорят, что а представляет резольвентное множество оператора К- Если областью значений ) оператора а — К является не все -пространство, а всюду плотное в нем подпространство, то априори оператор (а — К) определен только на этом подпространстве, хотя (для замкнутого оператора К) область определения можно немедленно расширить, включив в нее его предельные точки и потребовав, чтобы при выполнении условия [c.190]

За область определения оператора у (/) возьмем множество всех вещественных функций, которые на отрезке [О, То] непрерывны вместе со своими производными до порядков 2v, и удовлетворяют приведенным краевым условиям. Множество будем рассматривать лежащим в гильбертовом пространстве 2 Ю, То] вещественных функций. Это множество всюду плотно в 2 [О, Тд]. Можно показать (см., например, работу 16]), что дифференциальный оператор вида Ьц Ц) с областью определения является симметричным положительно определенным оператором в пространстве 1 Ь [О, Тд]. Причем Ьцкц, кц)с > для всех кц Оьц, где Ьцкц = Ь1 ( ) 1кц (1)], [c.86]

Положение с неограниченными линейными операторами совершенно иное. Неограниченный линейный оператор разрывен в каждой точке своей области определения. Кроме того, если он замкнут, то его нельзя определить везде, потому что замкнутый всюду определенный линейный оператор необходимо ограничен. (Это последнее утверждение представляет собой теорему о замкнутом графе. По поводу доказательства см. [21].) По двум причинам нас особенно интересуют замкнутые операторы. С одной стороны, нам надо изучать самосопряженные расширения эрмитовых операторов А.. Эрмитов А всегда имеет замкнутое линейное расширение (Л. ), и любое самосопряженное расширение А будет расширением и (Л ). С другой стороны, нам надо будет изучать неэрмитовы операторы А с плотными областями определения, так что их сопряженные всегда замкнуты. Ясно, что самое лучшее, на что можно надеяться при таких обстоятельствах, это что операторы будут определены плотно, но не везде, и разрывны везде на своих областях определения. [c.126]

Первое замечание касается области определения (или кратко просто области) наших операторов. Вообще говоря, мы не можем рассматривать только ограниченные ), или непрерывные, операторы. Но мы будем считать, что все операторы, с которыми мы имеем дело, по меньшей мере являются замкнутьши ), а их область определения является плотной в гильбертовом пространстве ). Последнее предположение является нетривиальным, так как неограниченный замкнутый оператор не может быть определен всюду ). Например, кинетическая энергия является дифференциальным оператором в координатном представлении или оператором умножения на в импульсном представлении, причем ни в одном из этих представлений оператор кинетической энергии не переводит все функции из -пространства в функции из того же пространства ). [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...