Бесселя волны

После подстановки (7) в (3), (4) выделим расходящиеся волны, а функцию Бесселя /ц (qr) заменим ее асимптотическим представлением. В исследуемом диапазоне частот такое представление справедливо уже для расстояний порядка нескольких метров. [c.90]

В этом выражении Iq (г ) и I (г ) — функции Бесселя. Неустойчивость имеет место при k -< 1 (как это уже указывалось). Анализ уравнения (3-9) позволяет найти наиболее быстро растущее колебание, определив d q )ldk = 0. Длина волны этого колебания не зависит от физических свойств жидкости и окружающей среды и оказывается равной [c.27]

Решения для амплитуды рассеянной волны имеют вид сложных рядов, содержащих функции Риккати — Бесселя и функции Риккати — Ганкеля возрастающего порядка. Приспособление )ешения Ми для машинных вычислений рассматривается в книге [c.89]

Выражение (2.47) показывает, что по измеренной индикатрисе рассеяния Ф (0, ф) легко определяется спектральная корреляционная функция Хв ( ) связанная с х (р) преобразованием Бесселя (2.46). При этом, если оптические свойства вещества е . (со) (а следовательно, и коэффициенты Rp и Т) известны достаточно хорошо, то измерения функции Хв ( ) можно проводить, используя зондирование поверхности излучением с различной длиной волны — от видимых до рентгеновских, что значительно повышает достоверность получаемых результатов. Обсудим этот вопрос более подробно. [c.61]

Примем далее, что радиус корреляции высот шероховатостей существенно превосходит длину волны рентгеновского излучения а X. Это означает, что вклад малых значений р < в интеграл (2.50) крайне мал. Поэтому в выражениях (2.49), (2.50) воспользуемся разложением функций Бесселя при больших значениях аргумента. Тогда получаем [c.63]

Это означает, что в плоскости наблюдения формируются спеклы с характерным для дифракции на круглом отверстии распределением освещенности, описываемым функцией Бесселя. Размер спекла определяется размером фильтрующей апертуры R, а спекл-поле образовано волной, идущей под углом к оси Z, определяемым величиной сдвига апертуры с зтой оси. [c.124]

Где У]—функция Бесселя первого порядка к — длина волны Го — радиус частицы 0 — угол рассеяния, т. е. угол между прямым и дифрагирующим пучками. [c.111]

В аналогичном виде получаются поля излучения других волн (см. ниже 35). В формулы для переднего полупространства входят функции Бесселя Jm и их производные J m от аргумента X sin . Эти функции всегда возникают в результате сложения волн, испускаемых источниками, которые распределены по окружности радиуса с. При выполнении условий (34.06) имеют место асимптотические формулы [c.175]

Это — уравнение функций Бесселя нулеворо порядка. В стоячей цилиндрической волне ф должно оставаться конечным при R = 0-, соответствующим решением является Jo kR), где /о — функция Бесселя первого рода. Таким образом, в стоячей цилиндрической волне [c.383]

Теорию колебаний решеток, с историческим введением и исследованием электрических схем, математически эквивалентных механическим структурам, см. Бриллюэн Л., Парод и М., Распространение волн в периодических структурах, ИЛ, Москва, 1959. В добавление к историй вопроса, данной Бриллюэ-ном, можно заметить, что Гамильтон глубоко разработал этот вопрос в статье, названной Динамика света , но опубликовал только короткий доклад об этой работе см. Hamilton W. R., Mathemati al Papers, т. 2, стр. 413—607. Гамильтон получил формулу (54.3) операционными методами, функции Бесселя появлялись при этом как интегралы (цит. соч., стр. 451, 576). [c.163]

Однозначная связь индексов модуляции с длиной волны излучения и амплпт дой колебания позволяет легко и точно определять эти амплитуды по таблицам значений корней функций Бесселя, Применение фотоэлектрических преобразователен позволило использовать функцию Бесселя первого порядка при подключении к вы ходу фотопреобразователя узкополосного фильтра с центральной частотой, настрои-ной на частоту колебания объекта. Применение методов спектрального анализа [42] оказалось настолько плодотворным, что они стали метрологической основой ка либровки и аттестации вибродатчиков [46]. [c.128]

Принципы Фурье в интерферометрии с переменной базой, позволяющие получить фактическую структуру радиоисточника, были заложены Пози с коллегами в вышеупомянутой работе. Стэйни [59] в Кембридже использовал для проверки теории, разработанные в конце 40-х годов, согласно которым излучение Солнца в отсутствие солнечных пятен было необычайно сильным в направлении лимба на волнах около 60 см. По существу так же, как это было описано для интерферометра Май-кельсона (разд. 6.2.2), видность лепестков была измерена для расстояний между антеннами вплоть до 365 длин волн. Поскольку ориентация антенной системы была фиксированной, вычисления должны были исходить из предположения о круговой симметрии источника. Фурье-прео-бразование кривой видности давало радиальное распределение интенсивности. (Строго говоря, здесь должно иметь место преобразование Фурье-Бесселя.) На рис. 6.13 показан общий вид результатов с отсутствием указаний на уярчение к краю, чего ожидали некоторые исследователи. [c.153]

При Во < О функция Ханкеля переходит в модифицированную функцию Бесселя, которая вещественна и экспоненциально затухает в глубине вещества. То71ько в этом случае, строго говоря, имеются вещественные решения дисперсионного уравнения и незатухающие скользящие моды. Физически это соответствует сионосферному отражению, т. е. случаю, когда за поверхностью зеркала нет распространяющихся электромагнитных волн. [c.138]

Рассмотрим решетку из цилиндров с узкими щелями. Частотные зависимости I 5о 1 при различных значениях коэффициента заполнения s = = 2а// полуширины щелей 0, угла падения ф, угла ориентации щелей фц представлены на рис. 74. Они носят ярко выраженный резонансный характер. Если резонансы при целочисленных значениях и = /г (для ф = 0) связаны с возбуждением новых распространяющихся волн, то остальные резонансы — с возбуждением квазисобственных колебаний такой решетки. Причем собственные частоты этих колебаний отличаются от таковых для одиночного цилиндра со щелью, близких к корням производной функции Бесселя J (и), наличием малых комплексных добавок. [c.131]

Перейдем к рассмотрению резонаторов из круглых зеркал. Здесь решения, очевидно, должны строиться на основе недифрагирующих структур с круговой симметрией. Эти структуры обладают угловыми спектрами Р(в, V ) - д (в — а) ехр ( //плоских волн, направления распространения которых заполняют всю боковую поверхность кругового конуса с углом при вершине 2а. Таким угловым спектрам соответствуют суммарные поперечные распределения вида/Дг, функция Бесселя /-го порядка. Нетрудно убе- [c.106]

При очень малых расстояниях от источника звука (порядка нескольких длин волн) условие (2.69) не выполняется и решение Бесселя — Фубини (2.74) становится непригодным. Однако и для этого случая может быть использовано разложение решения в ряд Фурье. Не зависящая от времени скорость нелинейного акустического течения в этом случае равна (см. также [15]) [c.74]

Аналогично может быть рассмотрен спектр звукового давления. При выполнении условия (2.69), т. е. на расстояниях от источника звука, больших нескольких длин волн, безразмерное звуковое давлеете по Бесселю — Фубини имеет вид [c.76]

ЧТО отличается от аналогичного соотношения для простой волны (2.31) уже квадратичными членами. Несмотря на это расхождение, указывающее еще раз на приближенный характер решения Бесселя — Фубини, экспериментальные результаты для гармоник малых номеров (см. гл. 4) хорошо согласуются с этим решением. [c.77]

При расстояниях (ilek), т. е. на расстояниях от источника звука, больших несколькпх длин волн, может быть найден лагранжев аналог решения Бесселя — Фуби-ни, не отличающийся, впрочем, от (2.74) ничем, кроме того, что теперь уже z — z. Поскольку решение Бесселя — Фубини является решением с точностью до величин а величины более высокого порядка малости отброшены, этот результат не является неожиданным, так как в этом случае решение в эйлеровых и лагранжевых координатах имеет одинаковый вид. [c.80]

Выше был рассмотрен случай монохроматической плоской волны. Имея в виду, что принцип суперпозиции в нелинейной акустике теряет силу, а также то, что интенсивные звуковые сигналы или шумы (особенно в воздухе) могут быть и чаще всего бывают немонохроматическими, представляется интересным рассмотреть этот случай. Принципиально решение Ирншоу (2.55), (2.5G) может быть применено при любом движении поршня, однако при сложном движении задача в значительной мере усложняется. Решение этой задачи, близкое к решению Бесселя — Фубини, рассмотрено в [17]. Здесь будет рассмотрено решение во втором приближении по [18]. [c.81]

Квазилинейный метод описания поглощения волн конечной амплитуды применен также в [5, 4, 16]. В этих работах использовались идеи, содержащиеся в [2], т. е. предполагалось, что искажение волны происходит так же, как и в недиссипативной среде (по Бесселю — Фу-бини см. (2.74)), а поглощение каждой из гармоник — по закону для волн малой амплитуды. Применение электронной счетной машины позволило рассчитать по этой схеме различные величины, характеризующие поглощение. На рис. 8 показана зависимость амплитудного коэффициента поглощения волны конечной амплитуды от [c.116]

Исследования нелинейных искал ений в газах проводились сравнительно давно. Область небольших искажений, когда максимальное значение второй гармоники по-отношению к первой не превосходило нескольких процентов, исследовалась в [25]. Эти исследования были продолжены в [7], где работа велась уже с волнами, близкими по форме к пилообразным. Результаты измерения второй гармоники по [7, 25, 26] приведены на рис. 25. Они удовлетворительно согласуются с теоретическим значением гармоники по Бесселю — Фубини. Систематическое отклонение от теории в [26] объясняется влиянием стенок трубы [c.154]

Рис. 25. Отношение звукового давления второй гармоники к давлению первой гармоники в воздухе для плоской волны в зависимости от безразмерного расстояния (в долях рассгоячия образования разрыва). Пунктирная линия — теоретическая по Бесселю — Фубини. О — по работе [7], частота 1000 щ X — по работе [25], частота 600 гц ф — по работе [26], частота 500

Каждая из этих волн распространяется с фазовой скоростью Сот = lY 1 — [o om /(2a/)] В положительном и отрицательном направлениях по оси Z. Амплитуды этих волн неодинаковы по фронту. Для волны, соответствующей индексу От, амплитуда потенциала скорости (а значит, и амплитуда давления) на различных расстояниях от оси цилиндра различна она пропорциональна функции Бесселя нулевого порядка < о паотг а) и имеет нули для тех значений г/а, для которых [c.340]

Заметим, что дпя шчальной стадии процесса, вычисляя в каждой из волн вторую гармонику по формуле Бесселя-Фубини при о 1, мы получим, как и следовало ожидать, формулу (8.4). [c.69]

При описании подобных процессов в акустике возникают определенные трудности, связанные с отсутствием дисперсии. Здесь далеко не всегда можно говорить о простых случаях двух-, трех- и четырехволнового взаимодействия, поскольку условия синхронизма выполняются сразу на многих частотах. Мы уже упоминали в первой главе, что процесс нелинейного искажения профиля первоначально гармонической волны может быть описан как взаимодействие большого числа синхронно распространяющихся гармоник ряд Бесселя-Фубини и его обобщение на разрывную стадию как раз адекватны такому представлению. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...