Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций

Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций. [c.44]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

Введенные выше тензоры деформации в пространстве имеют в общем случае по шесть независимых компонент. Однако они выражаются через вектор перемещения, который имеет самое большее три независимые компоненты. Если произвольно задать шесть компонент тензора деформации, то сразу возникнет вопрос, существует ли однозначное непрерывное поле вектора перемещения, соответствующего этой деформации. Очевидно, уравнения (2.2.40) и (2.2.41) не имеют решений для трех неизвестных функций ик или ы,-, если не выполняются определенные условия интегрируемости или совместности. Эти условия в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных содержат только компоненты тензора деформации. Например, в теории бесконечно малых деформаций условия совместности, известные как соотношения Ламе, имеют вид [Ег1пдеп, 1967] [c.88]

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тензор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При решении же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны бьпъ наложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое назьшается условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности деформаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций в (1.2.88) является необходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравнений О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П1.108) с заменой в ней а на и ао на uo Тс на Т о и Ть на Те [c.42]

В теории бесконечно малых деформаций решение граничной задачи с заданными усилиями, если оно существует, единственно лишь по отношению к бесконечно малым поворотам. Так, если и (Х)—решение системы (12), то решением будет также и + (X — Хо) + onst, где W —любой постоянный антисимметричный тензор. В общей теории упругости не следует ожидать никакой подобной неопределенности, ибо произвольный поворот тела как целого в общем случае не сохраняет равновесие моментов. Чтобы согласовать эти факты, Синьорини предложил определять W с помощью условия совместности (18). Если существует лишь единственный поворот W , то неопределенность поворота устраняется. [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...