Волчок спящий

Уравнения движения допускают решение, для которого i = 0. Вопрос о том, будет ли волчок, закрученный вокруг вертикальной оси, спящим, по сути дела сводится к вопросу об устойчивости такого решения. [c.487]

Теорема 6.8.3. (Условие Маиевского). Волчок Лагранжа, закрученный вокруг вертикальной оси, будет спящим тогда и только тогда, когда [c.487]

Как надо закрутить волчок Лагранжа, чтобы этот волчок стал спящим [c.521]

Задача о спящем волчке [c.622]

ЗАДАЧА О СПЯЩЕМ ВОЛЧКЕ 623 [c.623]

ЗАДАЧА О СПЯЩЕМ ВОЛЧКЕ> 625 [c.625]

Уравнение (113) соответствует случаю физического маятника, для которого положение равновесия а = О неустойчиво, так как потенциальная энергия в нем имеет максимум. Таким образом, уничтожение одной степени свободы делает спящий волчок неустойчивым. [c.626]

Волчок Лагранжа спящий 195 Вращение 36 [c.364]

Спящий волчок. В рассмотренном сейчас частном случае мы предположили, что Рй = Чо = О, но что О < 00 < я. Посмотрим, что происходит в случае, когда 0д равно О или л. [c.184]

Практически, если вертикально стоящий волчок начинает вращаться со скоростью, большей, чем со, то некоторое время он действительно будет продолжать вращение вокруг вертикали (отсюда название спящий волчок ). Однако трение будет постепенно уменьшать скорость его вращения, и когда она станет ниже критической, волчок начнет раскачиваться, притом тем сильнее, чем больше будет падать скорость его вращения. [c.197]

Указанные только что перманентные вращения обладают одним замечательным свойством в то время как для угловых скоростей, недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого критического значения X ), эти движения неустойчивы, они становятся устойчивыми по отношению к р, q, г, S-, как только угловая скорость достигнет критического значения X, и в особенности, когда она превзойдет это значение (т. е. при Х >Х ). В этом и заключается явление, известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим теперь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка. Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Достаточно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие, например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться неподвижным (спящий волчок). [c.141]

Рассмотрим спящий волчок (т. е. волчок, вращающийся вокруг своей вертикальной оси симметрии и не подверженный трению). Это —пример системы, у которой величина Е сохраняется. Пользуясь обозначениями из примера, разобранного в гл. IV, имеем [c.66]

Вернемся теперь к задаче о спящем волчке. Направим ось Ох вертикально вверх (в 9.8 ось Ох мы направляли вертикально вниз) с целью избежать неприятностей, связанных с неопределенностью ф в положении кажущегося равновесия. Если направляющие косинусы оси волчка обозначить через (1, г/, z), то линейное приближение к уравнениям движения, полученное одним из указанных в 9.8 способов, запишется в виде [c.172]

Заметим, что вовсе не обязательно исключать все циклические координаты. Ясно, что координаты q , q ,. . должны быть циклическими, но среди остальных координат g, +i, qm+2, Яп также могут быть циклические. Например, в известной задаче о спящем волчке движение оси удобно изучать, применяя процесс исключения лишь к одной координате ij), так что функция Лагранжа будет содержать координаты 0 и ф. Подобная процедура в ряде случаев оказывается полезной, несмотря на то что координата ф тоже является циклической, если ось Oz вертикальна. [c.177]

Гироскопическая устойчивость. В задаче о спящем волчке ( 9.9) мы уже встречались с гироскопической устойчивостью сейчас мы коротко остановимся на общей теории, из которой гироскопическая устойчивость следует как частный случай. [c.179]

Если точка Pq является точкой максимума функции V или седловой точкой, то движение неустойчиво, если Р = 0. Но в некоторых случаях можно достигнуть устойчивости или по крайней мере устойчивости по первому приближению, если придать параметру р достаточно большое значение. В этом случае говорят о гироскопической устойчивости, с ним мы встречаемся в задаче о спящем волчке. [c.180]

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим снова задачу о спящем волчке ( . 9.9) и предположим, что имеется пара сил трения с моментом ка, препятствующим вращению оси волчка и пропорциональным угловой скорости со. Будем считать, что к постоянно и не зависит от положения оси. Диссипативная функция имеет вид [c.199]

Исследуя задачу о спящем волчке ( 9.9), мы пришли к выводу об устойчивости положения равновесия это заключение мы вывели из Существования интеграла, имеющего вид определенно-положительной квадратичной формы [c.472]

Устойчивость спящего волчка. Симметричный волчок называется спящим, если он вращается вокруг своей оси симметрии, причем эта ось сохраняет вертикальное направление. В этом движении постоянные а, р, Е, которые входят в кубичную функцию f x) формулы (56.22), имеют следующие значения [c.178]

Рис. 23. График основной кубической функции для устойчивого спящего волчка.

Проведя аналогичные рассуждения, найдем, что Хо = i дает устойчивость итак, мы имеем как необходимое и достаточное условие устойчивости спящего волчка Го > 1 или эквивалентное этому условию неравенство [c.180]

О различных исследованиях устойчивости спящего волчка с использованием уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 231—233. [c.180]

Особенные случаи движения твердого тела. Спящий волчок. [c.425]

Пример 4. Регулярная прецессия по инерции динамически-сим-метричного тела демонстрирует регулярное изменение нарушения симметрии . Инерционные свойства тела характеризуются тензором инерции. Гироскопический момент при вынужденной регулярной прецессии направлен так, чтобы стремились совместиться две оси ось быстрого собственного враш,ения и ось прецессионного вращения (правило Жуковского). При совпадении этих осей имеем спящий волчок, который удивляет свойством сохранять направления своей оси в пространстве. Вращающийся по инерции однородный шар даёт пример циклического движения, в котором сохранение симметрии лишь кажущееся, поскольку в каждый момент времени на место одних масс приходят другие равные им массы с такими же скоростями. [c.246]

Спящий волчок. Положим 7 = 00 = 0. В этом случае щ = U20 = = 1, F u) = —(Мо//)2(1 — и) [ 1 + и) — 1]. Исследуем устойчивость волчка. Полагая w = 1 — ж, ж <С 1, разложим F u) в ряд Тейлора F u) = = —(Мо//)2(1 — 2е)х +. .. Следовательно, колебания по углу в будут устойчивы при условии 2е < 1 Mq > 41т gl). [c.215]

Определение 6.8.1. Волчок Лагранжа, вращаюшийся вокруг вертикальной оси (0 = 0), называется спящим волчком. [c.487]

Проанализировать устойчивость движения спяще го волчка. Лагранжа. [c.623]

В. Томсону (Кельвину 1824—1907), гласит, что в гироскопически стабилизуемой системе число неустойчивых координат должно быть четно. При нечетном числе неустойчивых координат гироскопическая стабилизация невозможна. Другой пример применения теоремы Томсона мы имели в задаче о спящем волчке ( 196). [c.637]

B. Спящий волчок. Положим 0o=Y=O. В этом случае U o=Ho==1,, f u) = (l—u )[e(l+u) l]. Исследуем устойчивость волчка при его вращении вокруг вертикальной оси. Полагая и= —х, х<с1, разложим f u) в ряд Тейлора f (и) = ( —2е)х +.... Таким образом, колебания по углу 0 будут устойчивы при условии 2е<1 (Mq2> >4Imgl). [c.228]

Имеем условие устойчивости так называемого спящ его волчка Лагранжа. [c.195]

Далее ясно, что всякая сила, которая стремится ускорить или замедлить прецессионное движение волчка, т. е. увеличить или уменьшить -а, будет соответственно поднимать или опускать ось волчка. Это свойство известно под названием закона Кельвина, который применил его для объяснения известного явления, спящего" волчка, когда ось волчка постепенно принимает вертикальное положение. На фиг. 47 вращение предполагается правым относительно оси ОС, так что точка касания Р острия волчка с землей удаляется от читателя. Следовательно, в этой точке имеется сила трения, действующая на волчок в направлении к читателю. Вводя пару сил с моментом F GP мы можем перенести эту силу в центр тяжести О. Рассматривая прецессионное движение, мы должны принимать во внимание только составляющую момента, расположенную в плоскости чертежа и нормальную к оси ОС. Эта составляющая стремится ускорить прецессию вокруг гсртикали, проходящей через О и, следовательно, поднять волчок. [c.136]

Спящий волчок 402 Статическое решение, критерий неустойчивости 388, 389. --необходимое условие устойчивости 385, 388 Стереокипетическая система ориентировки тела с гироскопической структурой 243 Стокс 404 [c.431]

Из опыта известно, что вертикальное положение спящего волчка устойчиво, если скорость вращения достаточно велика. Формальное доказатель- [c.169]

B. Спящий волчок. Положим во = У = 0. В этом случае ию = щ = = 1, f u) = 1 — и) е 1 и) — 1. Исследуем устойчивость волчка при его вращении вокруг вертикальной оси. Полагая гл = 1 — ж, ж <С <С 1, разложим f u) в ряд Тейлора f u) = (1 — 2s) +. .. Таким образом, колебания по углу в будут устойчивы при условии 2s < 1 Mi > 4Imgl). [c.288]

Прямой метод Ляпунова с успехом применялся к исследованию устойчивости неголономных систем в работах В. В. Румянцева (1961), А. П. Ду-вакина (1962, 1965), И. М. Миндлина (1964), И. М. Миндлина и Г. К. Пожарицкого (1965), Л. Н. Семеновой (1965). В этих работах функция Ляпунова строится с помощью интегралов движения. Конкретным объектом изучения были стационарные движения твердого тела без гироскопа или с гироскопом внутри на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. При этом, в частности, были получены необходимые и достаточные условия устойчивости спящего волчка и прямолинейного качения диска. В работе Л. Н. Семеновой, обобщающей теорию Рауса на неголономные системы, за функцию Ляпунова берется интеграл энергии, в работах А. П. Дуваки-на и И. М. Миндлина — линейная комбинация интегралов движения или их главных членов, в работе И. М. Миндлина и Г. К. Пожарицкого — квадратичная функция интегралов движения. [c.177]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.487 ]

Теоретическая механика Том 2 (1960) -- [ c.184 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 2 (1951) -- [ c.141 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.136 ]

Динамика твёрдого тела (2001) -- [ c.110 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...