Устойчивость спящего» волчка

Устойчивость спящего волчка. Симметричный волчок называется спящим, если он вращается вокруг своей оси симметрии, причем эта ось сохраняет вертикальное направление. В этом движении постоянные а, р, Е, которые входят в кубичную функцию f x) формулы (56.22), имеют следующие значения [c.178]

Рис. 23. График основной кубической функции для устойчивого спящего волчка.

Проведя аналогичные рассуждения, найдем, что Хо = i дает устойчивость итак, мы имеем как необходимое и достаточное условие устойчивости спящего волчка Го > 1 или эквивалентное этому условию неравенство [c.180]

О различных исследованиях устойчивости спящего волчка с использованием уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 231—233. [c.180]

При возмущении начальных условий вырождение снимается, и кривая у=Ди) становится кривой-общего положения, когда -1 < и, < И2 < 1 (рис. 40). Однако корни и, и 2 остаются близкими к единице и ось симметрии тела во все время движения близка к вертикальному положению. Такое поведение тела называется спящим волчком , а условие (7.1) есть условие устойчивости спящего волчка в указанном смысле. [c.135]

Указанные только что перманентные вращения обладают одним замечательным свойством в то время как для угловых скоростей, недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого критического значения X ), эти движения неустойчивы, они становятся устойчивыми по отношению к р, q, г, S-, как только угловая скорость достигнет критического значения X, и в особенности, когда она превзойдет это значение (т. е. при Х >Х ). В этом и заключается явление, известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим теперь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка. Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Достаточно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие, например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться неподвижным (спящий волчок). [c.141]

Гироскопическая устойчивость. В задаче о спящем волчке ( 9.9) мы уже встречались с гироскопической устойчивостью сейчас мы коротко остановимся на общей теории, из которой гироскопическая устойчивость следует как частный случай. [c.179]

Если точка Pq является точкой максимума функции V или седловой точкой, то движение неустойчиво, если Р = 0. Но в некоторых случаях можно достигнуть устойчивости или по крайней мере устойчивости по первому приближению, если придать параметру р достаточно большое значение. В этом случае говорят о гироскопической устойчивости, с ним мы встречаемся в задаче о спящем волчке. [c.180]

Исследуя задачу о спящем волчке ( 9.9), мы пришли к выводу об устойчивости положения равновесия это заключение мы вывели из Существования интеграла, имеющего вид определенно-положительной квадратичной формы [c.472]

Спящий волчок. Положим 7 = 00 = 0. В этом случае щ = U20 = = 1, F u) = —(Мо//)2(1 — и) [ 1 + и) — 1]. Исследуем устойчивость волчка. Полагая w = 1 — ж, ж <С 1, разложим F u) в ряд Тейлора F u) = = —(Мо//)2(1 — 2е)х +. .. Следовательно, колебания по углу в будут устойчивы при условии 2е < 1 Mq > 41т gl). [c.215]

Уравнения движения допускают решение, для которого i = 0. Вопрос о том, будет ли волчок, закрученный вокруг вертикальной оси, спящим, по сути дела сводится к вопросу об устойчивости такого решения. [c.487]

Прямой метод Ляпунова с успехом применялся к исследованию устойчивости неголономных систем в работах В. В. Румянцева (1961), А. П. Ду-вакина (1962, 1965), И. М. Миндлина (1964), И. М. Миндлина и Г. К. Пожарицкого (1965), Л. Н. Семеновой (1965). В этих работах функция Ляпунова строится с помощью интегралов движения. Конкретным объектом изучения были стационарные движения твердого тела без гироскопа или с гироскопом внутри на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. При этом, в частности, были получены необходимые и достаточные условия устойчивости спящего волчка и прямолинейного качения диска. В работе Л. Н. Семеновой, обобщающей теорию Рауса на неголономные системы, за функцию Ляпунова берется интеграл энергии, в работах А. П. Дуваки-на и И. М. Миндлина — линейная комбинация интегралов движения или их главных членов, в работе И. М. Миндлина и Г. К. Пожарицкого — квадратичная функция интегралов движения. [c.177]

B. Спящий волчок. Положим 0o=Y=O. В этом случае U o=Ho==1,, f u) = (l—u )[e(l+u) l]. Исследуем устойчивость волчка при его вращении вокруг вертикальной оси. Полагая и= —х, х<с1, разложим f u) в ряд Тейлора f (и) = ( —2е)х +.... Таким образом, колебания по углу 0 будут устойчивы при условии 2е<1 (Mq2> >4Imgl). [c.228]

Спящий волчок 402 Статическое решение, критерий неустойчивости 388, 389. --необходимое условие устойчивости 385, 388 Стереокипетическая система ориентировки тела с гироскопической структурой 243 Стокс 404 [c.431]

Из опыта известно, что вертикальное положение спящего волчка устойчиво, если скорость вращения достаточно велика. Формальное доказатель- [c.169]

B. Спящий волчок. Положим во = У = 0. В этом случае ию = щ = = 1, f u) = 1 — и) е 1 и) — 1. Исследуем устойчивость волчка при его вращении вокруг вертикальной оси. Полагая гл = 1 — ж, ж <С <С 1, разложим f u) в ряд Тейлора f u) = (1 — 2s) +. .. Таким образом, колебания по углу в будут устойчивы при условии 2s < 1 Mi > 4Imgl). [c.288]

Проанализировать устойчивость движения спяще го волчка. Лагранжа. [c.623]

Имеем условие устойчивости так называемого спящ его волчка Лагранжа. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...