Задача с точкой возврата

Задача с точкой возврата [c.59]

Сначала, в 7.1, рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка рассмотрены в 7.2. Задачи с точками возврата исследуются в 7.3, приведенное волновое уравнение изучается в 7.4. [c.330]

При Л > О асимптотические разложения решений системы (7.2.45) зависят от того, имеет ли матрица Ло (л ) различные на всем рассматриваемом интервале собственные значения. Точка, в которой матрица Ло (х) имеет кратные собственные значения, называется точкой возврата или перехода. Задачи с точкой возврата рассматриваются в 7.3. [c.355]

Если функция д2(х) имеет особенность в точке возврата, то точка возврата называется особой точкой возврата в противном случае это регулярная точка возврата. В этом пункте, начав с уравнений второго порядка, таких, как уравнение (7.3.1), дадим описание методики получения асимптотических решений в задачах с точкой возврата. [c.358]

Недостатком этой методики является то обстоятельство, что решение задается тремя разными разложениями. В п. 6.4,4 с помощью метода многих масштабов было получено одно разложение, равномерно пригодное для всех х. В следующем разделе мы рассмотрим весьма эффективный метод изучения задач с точкой возврата, который был предложен Лангером [1931], [1934] и развит Лангером и рядом исследователей, см. п. 7.3.2—7.3.10. [c.362]

Суть подхода Лангера состоит в использовании того обстоятельства, что приблизительно одинаковые уравнения имеют приблизительно одинаковые решения. Он понял, что любая попытка выразить в элементарных функциях асимптотические разложения решений в задачах с точкой возврата обречена на неудачу в областях, содержащих точки возврата. Поэтому разложение, равномерно пригодное для всех х, должно быть выражено в неэлементарных функциях с теми же качественными особенностями, что и у решений уравнения. [c.363]

Для получения равномерно пригодного разложения в задаче с точкой возврата в точке х=ц и функцией д1 х) вида [c.363]

Задачи с точками возврата высших порядков [c.369]

Неоднородная задача с точкой возврата второго порядка [c.382]

Интерес к задачам с точкой возврата для ди( )ференциальных уравнений порядка выше двух обусловлен большей частью задачей о гидродинамической устойчивости параллельных течений. Линейная задача об устойчивости параллельного течения может быть сведена к решению так называемого уравнения Орра — Зоммерфельда (см., например. Линь [1955]) [c.385]

Задачи высшего порядка с точками возврата [c.385]

Если считать ц,2 = О, т. е. пренебречь вязкостью воды по сравнению с вязкостью нефти, что приближенно допустимо при очень вязкой нефти, то получим задачу о перемещении контура постоянного давления, которая рассмотрена в ряде работ [2—8]. Эта задача является еще более трудной, чем предыдущая. При теоретическом ее решении обнаружено, что, вообще говоря, на контуре нефтеносности получается точка возврата задолго до того, как произойдет обводнение первой скважины. Высказано предположение, что это объясняется неучетом капиллярных сил, действующих на контуре. [c.244]

Возвратимся к общей постановке задачи с переменной цир.куля-цией скорости и рассмотрим обтекание однорядной решетки произвольно колеблющихся профилей с фиксированными положениями задних критических точек. Колебания профилей примем малыми и совпадающими через N профилей (например, на рис. 67, а yv=3). Граничные условия, т. е. функции V (s, z) на профилях, и течение в целом при этом будут периодическими с периодом Т = iNt. Среднее (стационарное) обтекание решетки будем считать известным. [c.189]

Обычно в задачах о концентрации напряжений рассматриваются надрезы с конечным радиусом кривизны. Однако сугцествуют также надрезы типа точек возврата с нулевым радиусом кривизны и, сле- [c.219]

Пример. Рассмотрим задачу об обходе препятствия на плоскости, ограниченного кривой с точкой перегиба. Фронты — эвольвенты кривой. Они имеют по две точки возврата обычная точка возврата (порядка 3/2) на самой кривой и особенность порядка 5/2 на касательной перегиба (рис. 264). В точке над кривой лежандрово многообразие неособо, а над точкой касательной перегиба лежандрово многообразие имеет точку возврата порядка 3/2. [c.462]

Эти разложения вполне согласуются с разложениями, полученными в п.6.4.3 с помощью метода многих масштабов. Следует отметить, что эти разложения нарушаются в окрестностях нулей функции д, (х). Эти нули называются точками юзврата или переходными точками. Задачи с точками возврата рассматриваются в 7.3. [c.337]

Маккелви [L955] выразил асимптотические решения задачи с точкой возврата второго порядка (т. е. при а = 2) через функции Уиттекера. Задача с точкой возврата второго порядка возникает при рассмотрении дифракции на эллиптических цилиндрах с почти единичным эксцентриситетом (Гудрич и Казаринов [1963]) и при решении уравнения Шредингера (Фосс [1933]). Первое исследование задачи с точкой возврата второго порядка провел Голдстейн [1931] с помощью метода сращивания асимптотических разложений, как это сделано в п. 7.3.1. [c.370]

Неоднородные задачи с точками возврата возникают при исследовании устойчивости пограничного слоя (Холстайн [1950]), при рассмотрении тонких упругих тороидальных оболочек и изгиба кривых труб (см., например, Кларк [1964]). Вышеизложенная методика развита Гольштайном [1950], Кларком [1958], [1963] и Тумаркиным [1959]. Стил [1965] получил одно частное решение уравнения второго порядка, выраженное через общие функции Ломмеля V [c.378]

Условия связи вида F qi. .. Qf) = onst называют, по Герцу голо-номными (греческое holes = латинскому integer = цельный, интегрируемый), условия же связи вида (7.3), которые не могут быть проинтегрированы в общем виде, называются неголономными. Простейшим примером неголономной связи является колесо с острыми краями на плоском основании (см. задачу II. 1 сюда относятся также сани и шарнирный механизм велосипеда). Поступательное движение такого колеса ограничено тем, что оно может происходить только в направлении самого колеса (т. е. что точка касания колеса с основанием может перемещаться только по направлению касательной к колесу). Несмотря на это, колесо может достигнуть любой точки плоского основания хотя для этого может оказаться необходимым движение по траектории с острием (точкой возврата). Таким образом, колесо обладает при конечных движениях большим числом степеней свободы чем при бесконечно малом движении. Вообще, система, подчиненная г неголономным условиям связи и имеющая / степеней свободы при конечных движениях, имеет только / — г степеней свободы при бесконечно малом движении. Об этом более подробно см. задачу II. 1. [c.71]

Нелинейная трактовка поведения оболочки при деформировании помогла глубже понять физику явления потери устойчивости. К сожалению, увлечение нелинейными задачами сопровождалось пренебрежением к развитию линейной теории. Лишь в последние годы наметился явный возврат к решениям задач устойчивости в линейной постановке. Опубликован ряд работ [7.8, 7.26, 7.28,-7.46, 7.47], в которых обсуждается влияние различных граничных условий. В этих работах, согласно классической постановке, исходное состояние считается безмоментным. При таком нодходе удовлетворительного, с точки зрения согласования с экспериментом, результата получить не удалось. Только в случае осевого сжатия свободно опертых круговых цилиндрических оболочек, когда на краях принималось равным нулю касательное усилие, критическая нагрузка получилась примерно вдвое меньше классической. Но подобный вариант граничных условий в чистом виде в реальных закреплениях оболочек не встречается, так что отмеченный эффект может в какой-то мере проявляться только за счет податливости закреплений. [c.11]

Появление качественно новой — электронной—вычислительной техники устранило характерный для предыдущей эпохи дисбаланс между трудоемкостью расчетов на основе ГИУ и практической нуждой в них. Однако, как отмечено, использование ЭВМ для решения задач на основе теории упругости с помощью ГИУ началось лишь в 60-х годах, а полный перевод метода граничных элементов на поток пришелся на конец 60-х — начало 70-х годов. Этот процесс был отмечен появлением замечательных по ясности и глубине изложения работ М. Джесуона с соавторами, Ф. Риццо, Т. Круза и Д. Шиппи [21—25], за которыми последовали обильные публикации. Дать их краткий обзор затруднительно, поскольку число работ велико и стремительно возрастает, а исследования ведутся по многим направлениям. Среди них — переход к вариантам повышенной точности и надежности, введение специальных элементов и приемов для особых точек (углов, ребер, вершин, точек возврата, точек смены граничных условий), овладение сложными контактными, вязкоупругими, динамическими и нелинейными задачами, распространение М1Э на все новые и смежные области приложений, комбинирование МГЭ с другими методами [c.269]

В тех задачах, в которых имеется зависимость от времени, в термодинамическом пределе также исчезают некоторые эффекты, имеющие место в конечных системах. Самый знаменитый среди них связан с так называемыми возвратами Пуанкаре. Этот эффект выражается следующей точной теоремой классической динамики. Пусть имеется консервативная динамическая система N тел, помещенная в конечную область пространства. Тогда, начав движение из заданного состояния в нулевой момент времени, система по истечении промежутка времени Тр вернется сколь угодно близко к начальному состоянию. Поэтому движение любой конечной механической системы является квазиперио-дическим. Кроме того, при Т —оо период Тр стремится к бесконечности. Следовательно, результаты, получаемые из теории в термодинамическом пределе, могут быть справедливы лишь для времен, значительно меньших времени возврата Пуанкаре. Однако оказывается, что для всех систем представляющих интерес с точки зрения статистической механики, время Тр столь фантастически огромно, что фактически никакого ограничения не существует вообще (для 1 см газа Т,, имеет порядок биллиона биллионов лет). Поэтому с уверенностью можно утверждать, что эволю- [c.92]

Данное сечение не всегда удовлетворяет требованиям, предъявляемым к сечениям Пуанкаре, поскольку отдельные орбиты могут касаться его или не иметь с ним обгцих точек. Это обуславливает дополнительные трудности при анализе таких систем, связанные с необходимостью различать особенности поведения самой динамической системы и артефакты, вызванные неправильностью сечения. Тем не менее, сечение по поверхности удара с успехом применялось для решения таких задач, в которых возврат траектории на поверхность (5) гарантируется видом уравнений (2) — так называемый метод припа-совывания ([5, 29, 33, 37, 61] и др.). [c.242]

Не рассматривая более подробно задачу о пахожде-нии оптимального по значению эффективного коэффициента преобразования цикла, возвратимся к вопросу о потерях работы, связанных с неполнотой регенерации. Источником этой специфической для регенеративного цикла потери мы считали необходимость поддерживать в регенераторе при теплообмене конечную разность температур. Но во многих случаях неполнота регенерации может также быть следствием термодинамических свойств рабочего тела. Если теплоемкость по кривой отвода тепла в регенераторе (т. е. по линии < -[ на рис. 5-11) не равна теплоемкости по кривой подвода тепла (т. е. по линии Ь-с), то независимо от необходимости иметь конечную разность температ ф в регенераторе осуществить полную регенерацию невозможно. [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...