Задачи с особенностями в точках возврата

Если функция д2(х) имеет особенность в точке возврата, то точка возврата называется особой точкой возврата в противном случае это регулярная точка возврата. В этом пункте, начав с уравнений второго порядка, таких, как уравнение (7.3.1), дадим описание методики получения асимптотических решений в задачах с точкой возврата. [c.358]

Суть подхода Лангера состоит в использовании того обстоятельства, что приблизительно одинаковые уравнения имеют приблизительно одинаковые решения. Он понял, что любая попытка выразить в элементарных функциях асимптотические разложения решений в задачах с точкой возврата обречена на неудачу в областях, содержащих точки возврата. Поэтому разложение, равномерно пригодное для всех х, должно быть выражено в неэлементарных функциях с теми же качественными особенностями, что и у решений уравнения. [c.363]

Пример. Рассмотрим задачу об обходе препятствия на плоскости, ограниченного кривой с точкой перегиба. Фронты — эвольвенты кривой. Они имеют по две точки возврата обычная точка возврата (порядка 3/2) на самой кривой и особенность порядка 5/2 на касательной перегиба (рис. 264). В точке над кривой лежандрово многообразие неособо, а над точкой касательной перегиба лежандрово многообразие имеет точку возврата порядка 3/2. [c.462]

Начнем с примера рассмотрим расстояние от точки евклидовой плоскости до данной кривой например, от точки, лежащей во внутренности эллипса до границы этого эллипса (рис. 1). Соответствующие лучи (экстремали этой вариационной задачи) суть нормали к эллипсу. Минимальное значение функционала (расстояния) удовлетворяет как функция начальной точки уравнению Гамильтона-Якоби (Уг1) = 1 (в точках гладкости). Однако эта функция имеет особенности (на отрезке, соединяющем фокальные точки эллипса). Система лучей также имеет особенности. Они лежат на астроиде, являющейся огибающей системы нормалей к эллипсу. Огибающая системы экстремалей называется каустикой системы. Каустика нашей системы имеет четыре точки возврата. Эти особенности устойчивы любая кривая, достаточно близкая к эллипсу, имеет каустику, близкую к астроиде и имеющую четыре полукубические точки возврата. [c.1]

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля—Грина (ВКВ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. [c.329]

Задачи с особенностями в точках возврата [c.383]

Если теперь возвратиться к феноменологическому подходу, различающему три основных типа упрочнения — твердорастворное, деформационное и дисперсное, то предложенная схема существенно облегчает анализ температурных пределов их применимости. Такой анализ является важной прикладной задачей для всех жаропрочных материалов, особенно для сплавов на основе тугоплавких металлов VA и VIA групп. [c.91]

Характерной особенностью науки о механизмах первой половины XIX века является то, что она возникла как описательная наука и такою же продолжала оставаться. Математические методы в ней, за очень небольшим исключением, не применялись. Преобразование кинематики механизмов и создание на основании ее принципов расчетной науки было начато П. Л. Чебышевым. Исходной темой его исследований в этом направлении явилась теория шарнирных механизмов и, в частности, задача Уатта, к которой нам опять придется возвратиться. [c.63]

Задачи, гипотезы, дополнения. А. Основная гипотеза п. 1.3. В частности, существуют ли тела, удовлетворяющие всем ограничениям из п. 1.3 Дивизоры в СР , не имеющие параболических точек, строятся легко достаточно взять гиперповерхность, двойственную к неособой однако она будет иметь ребра возврата. Отметим также, что препятствия к интегрируемости,, задаваемые особенностями дивизора Af, не исчерпываются описанными в пп. 1.11—1.12. Дело в том, что особенности притягивают параболические точки. [c.188]

В условиях кризиса, переживаемого странами СНГ, дефицита финансовых ресурсов, когда ставится задача выживания, инвестиции в перерабатывающую промышленность с длительным циклом возврата капитала сокращаются, особенно при непредсказуемости поведения рынка в рамках Содружества и сложности проникновения их продукции на рынки третьих стран. В то же время увеличивается удельный вес сырьевых отраслей промышленности, ориентированных на экспорт. [c.13]

Вообще говоря, главная задача неравновесной статистической механики состоит в том, чтобы вывести кинетические уравнения или уравнения неравновесной термодинамики, исходя из уравнения Лиувилля. Наиболее впечатляющей и даже парадоксальной особенностью этой задачи является то, что мы хотим вывести необратимые во времени макроскопические уравнения из обратимого уравнения Лиувилля. Парадоксальность ситуации в теории неравновесных процессов была замечена очень давно. В качестве примеров напомним известный парадокс обратимости Лошмидта [119] и парадокс возврата Цермело [168], которые были выдвинуты против Я-теоремы Больцмана в кинетической теории газов. Проблему необратимости хорошо понимал Гиббс [13], когда обсуждал возрастание энтропии вследствие перемешивания в фазовом пространстве. [c.80]

Данное сечение не всегда удовлетворяет требованиям, предъявляемым к сечениям Пуанкаре, поскольку отдельные орбиты могут касаться его или не иметь с ним обгцих точек. Это обуславливает дополнительные трудности при анализе таких систем, связанные с необходимостью различать особенности поведения самой динамической системы и артефакты, вызванные неправильностью сечения. Тем не менее, сечение по поверхности удара с успехом применялось для решения таких задач, в которых возврат траектории на поверхность (5) гарантируется видом уравнений (2) — так называемый метод припа-совывания ([5, 29, 33, 37, 61] и др.). [c.242]

Во-вторых, особенности волнового ноля повторяют структуру каустик только в пределе бесконечно высоких частот. При конечных частотах, как отмечалось в [159], [151, 10], амплитудная и фазовая структура поля более стабильны прн развитии сложных каустических поверхностей, чем их геометрия. Если коЬ - большой параметр задачи, то формально (Ло ) > ] ири любой положительной стенени 1 . Фактически при конечных частотах складывается иная ситуация. Так, отношение звукового давления в точке возврата каустики к мавлению в ее неособой точке пропорционально ( (,1) / .При Ло1 = 10 зта величина составляет 1,78 и даже при = 10 -всего 3,16. Поэтому усиление поля вследствие сложной фокусировки может быть далеко перекрыто другими факторами. [c.384]

Исследование задач с особенностями в точках возврата было начато Лангером [1935]. Значительный вклад в изучение этих задач внесли также Кэшуэлл [1951], Олвер [1954], Свенсон [1956], Казаринов и Маккелви [1956], Эрдейи [1960] и Вазов [1965]. [c.384]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...