ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Процессы со стационарными приращениями из "Статистическая гидромеханика Ч.2 Механика турбулентности " Первый параграф этой главы был посвящен случайным функциям, обладающим свойствами стационарности или однородности. Теперь мы остановимся на одном обобщении этих свойств, играющем важную роль в теории турбулентности. [c.74] В этом случае не будут меняться при одновременном произвольном сдвиге всей группы точек t , 2.tin вдоль оси времени. Случайные процессы u t), удовлетворяющие последнему условию, сравнительно часто встречаются в прикладных задачах (в том числе и во многих задачах теории турбулентности) следуя Колмогорову (1940а), мы будем называть их процессами со стационарными приращениями. [c.74] Напомним, что в случае стационарного процесса u t) среднее значение H t) должно быть постоянным (см. формулу (4.59) на стр. 202 части 1) поэтому стационарные процессы могут использоваться для описания турбулентности лишь в случае установившихся течений, все осредненные характеристики -которых не меняются во времени. Привлекая же процессы со стационарными приращениями, мы получаем возможность описывать также и турбулентность в неустановившихся течениях (правда, лишь в течение промежутков времени, на протяжении которых изменения всех осредненных характеристик потока можно приближенно считать линейными )) одно это обстоятельство уже объясняет значительный интерес процессов со стационарными приращениями для теории турбулентности. [c.76] НЫХ процессов (см. п. 4.7 части 1). После того, как j определено, МЫ можем вычесть из значений процесса и t) значения линейной функции Со -f- ji (где Со какое угодно) и перейти таким образом от и (t) к новому процессу ui t) = u t) — — q, удовлетворяющему условию (f + (01 — 0. Поэтому без ограничения общности можно рассматривать лишь такие процессы u t) со стационарными приращениями, для которых i = 0 так мы и будем всегда поступать в дальнейшем. [c.77] Поэтому для стационарных случайных процессов с затухающей на бесконечности корреляционной функцией В х) статистические характеристики В х) и D x) являются взаимно заменяемыми по одной из них всегда можно определить и другую ). [c.79] При экспериментальном определении структурной функции D(t) вероятностное осреднение обычно заменяют временным осреднением, т. е. используют осреднение по достаточно большому промежутку времени Т величин (t)=.u t- -x) — и (t) (где т фиксировано) для ряда значений х. При этом часто оказывается, что в случае стационарного процесса u(i) структурная функция D(x) находится с помощью осреднения по заданному промежутку времени Т с меньшей ошибкой, чем корреляционная функция B(x) ). Поэтому даже в тех случаях, когда именно корреляционная функция В (х) представляет основной интерес, в ряде случаев целесообразно находить по данным измерений значения D(x) и, кроме того, величину B(0) = u (i), а затем воспользоваться формулой (13.13). [c.79] Заметим еще, что при и (t) = onst Ф О также можно пользоваться формулой (13.12). причем под В (t) теперь можно понимать и и (t) ( + т). и и t) и t 1) = [ (t) —Ж] [и ( +1) — и (так как в стационарном случае значение D (t) от и не зависят). Однако зависящую от и функцию и (i) ( +1) при и О уже нельзя однозначно определить по D (t). [c.79] Заметим, что в силу условия (13.18) функция ( ) может быстро стремиться к бесконечности при приближении к нулю тем не менее формула (13.19) всегда имеет смысл, так как возрастание Я ( ) компенсируется стремлением к нулю функции 1 — os т (пропорциональной 0)2 при малых ю). Функция Е ( ) (или F( ) — E ( )/2) называется спектральной плотностью (или, короче, спектром) процесса со стационарными приращениями и (/). а представления (13.15) и (13.19) — спектральными разложениями этого процесса и его структурной функции. [c.81] Поскольку функции (13.24) положительные и удовлетворяющие условиям (13.20), отсюда вытекает, что функции (13.23) действительно могут являться структурными функциями процессов со стационарными приращениями. Отметим, что при т- -оо все эти функции неограниченно возрастают. [c.83] Вернуться к основной статье