Анализ уравнения четвертой степени

Несколько сложнее решается вопрос об устойчивости систем с двумя степенями свободы при наличии трения, который приводит к анализу знаков вещественных частей корней полного уравнения четвертой степени. В п. 4 сначала приводится используемый в подобных случаях критерий Рауса — Гурвица, а затем рассматривается конкрет- — У ный пример (задача Циглера). [c.189]

Что же в итоге дала эпоха становления и утверждения классической механики, эпоха от Галилея до Ньютона, в учении о колебаниях и волнах Пользуясь современной нам терминологией, мы можем подытожить труды целого столетия следующим образом. Во-первых, была построена теория малых колебаний (около положения равновесия) системы с одной степенью свободы (маятник) как незатухающих, так и при наличии вязкого сопротивления. Теория была построена в геометрической форме, ее еще предстояло перевести на язык анализа и представить как результат интегрирования дифференциального уравнения. Во-вторых, была дана в основном оправдавшая себя схема распространения волн сжатия и разрежения в идеальной жидкости, выявлена зависимость скорости распространения этих волн от упругости (давления) и плотности среды. В-третьих, была дана (слишком) упрощенная физическая схема образования волн на поверхности тяжелой жидкости. В-четвертых, был найден плодотворный принцип для построения фронта распро- [c.261]

Задача о нахождении стационарных решений системы (1), (2), отличных от Н, сводится к вычислению корней алгебраических уравнений степени выше четвертой. Ограничимся поэтому удобными для анализа неявными либо асимптотическими выражениями. Полагая в (1), (2) левые части равными нулю, выразим сначала О,- через динамические параметры ш,- [c.158]

Будем рассматривать здесь только решение задачи перехвата, соответствующее минимальному расходу топлива. Минимальный расход топлива потребуется для такой траектории (проходящей через конечную точку Pf), для перехода Нс1 которую из заданного начального состояния понадобится наименьший модуль вектора приращения скорости. Ранее было показано обычным (не годографическим) способом, что такая орбита перехода характеризуется корнем алгебраического уравнения четвертой степени с постоянными коэффициентами [17]. Соответствующий годографический анализ [18] показал, что параметр С годографа требуемой орбиты перехода представляет собой положительный действительный корень этого уравнения ). Этот результат представляет особый интерес, когда речь идет о сравнимых решениях для многоимпульсного межорбитального перехода (последовательные участки орбит). [c.62]

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерра [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого явного решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с решениями Кёттера [234, 236] для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134]. [c.157]

Теперь понятно, что характер движения целиком зависит от природы корней определяющего уравнения Л (б) 0. Если это уравненне можно решить и найти корни, то, конечно, мы немедленно узнаем характер движения. Одпако если это уравнение нельзя реншть, то мы должны обратиться к анализу уравнения для определения того, являются ли корнн вещественными или комплексными, равными нли различными. При исследовании уравнений высоких степеней используются теоремы Фурье и Штурма. Однако, во многих динамических задачах мы имеем дело только с двумя координатами. Поэтому исследуем корни уравнения четвертой степени, приведенного в п. 260. [c.248]

Придав этим уравнениям иной вид, я прямо пришел к тем же результатам, причем я их смог даже распространить на тот случай, когда кривая не лежит в той же плоскости и когда, сверх того, имеется сила, пропорциональная расстоянию, направленная к неподвижному центру, лежащему посредине между двумя другими центрами. См. четвертый том старых Memoires de Turin ), откуда заимствован приведенный выше анализ и где можно также найти исследование того случая, когда один из центров удаляется в бесконечность, так что сила, направленная к этому центру, становится равномерной и действует по параллельным линиям. Интересно отметить, что в этом случае решение едва ли значительно упрощается но только радикалы, образующие знаменатели отделенных уравнений, вместо четвертых степеней переменных содер"-жат лишь их третьи степени, что точно так же ставит их интегрирование в связь с выпрямлением конических сечений. [c.133]

Л. Эйлер, в результате глубокого анализа опытного материала англичанина Б. Робинса, заменил в 1745 г. квадратичный закон сопротивления двучленным первое слагаемое пропорционально квадрату скорости, а второе— четвертой степени скорости. В дальнейшем Л. Эйлер разработал численные методы интегрирования дифференциального уравнения движения снаряда, в частности, используя медленно сходящиеся ряды. Для прицельной стрельбы он предложил другую методику, согласно которой движение снаряда разделялось на составляющие, одна из которых отвечает за сопротивление. [c.11]

Для реальных пламен фронт пламени имеет конечную толщину, а сам процесс распространения фронта пламени определяется нелинейными уравнениями в частных гроиз-водных. Поэтому представляют интерес результаты числового анализа нестационарного распространения пламени, которые позволяют оценить степень достоверности результатов, полученных методом малых возмущений, и выяснить характер поведения возмущений с ростом времени. С этой целью рассмотрим распространение фронта пламени в по-лубесконечном цилиндре радиуса г . Так же как и в 6.8, предполагается, что начальная температура горючей смеси равна Тц, а некаталитический торец циллиндра в момент времени = 0 мгновенно нагревается до температуры То Тр, которая при о делается постоянной. Будем предполагать, что имеет место реакция первого порядка и справедливы четвертое и пятое допущения, сформулированные в начале этого параграфа. Определим условия, при которых возможно устойчивое и неустойчивое распространение фронта пламени. [c.340]

Критерии разрушения таких материалов должны строиться с учетом членов высшего порядка тензорного полинома. Эти члены должны подчиняться дополнительным геометрическим и алгебраическим ограничениям, вытекающим из сформулированных ранее основных требований к поверхности прочности и состоящим в том, что поверхность прочности должна быть односвязной и каждая радиальная траектория нагружения должна пересекать ее только в одной точке. Указанные ограничения можно установить, анализируя тензорный полином третьей степени результаты этого анализа по индукции экстраполируются на полиномы четвертой и более высоких степеней. Тензорно-полиномиальный критерий разрушения третьей степени можно записать в следующей форме (вытекающей из уравнения (56)) [c.455]

Анализ расчетной зависимости. Зависимость (2-39) является решением уравнения теплопроводности для случая прямоугольной системы координат с применением прямоугольной пространственной сетки в общем виде. Из выражения (2-39) следует, что коэффициент при первом члене правой части учитывает суммарное влияние температур соседних точек на температуру в точке о, т. е. первый член правой части дает значение температуры в точке о в момент времени т с учетом влияния температуры в близлежащих точках, второй, третий и четвертый члены правой части учитывают соответственно распространение тепла вдоль координатных осей х, у и 2, коэффициенты ДРож, AFoy, AFoz показывают степень влияния распространения тепла в соответствующем направлении на температуру в точке о. Чем меньше шаг интегрирования Ах, Аг/ или Аг, тем ближе выбраны определяющие точки к точке о, тем большее влияние они оказывают на температуру в точке о и тем точнее сам расчет. Зависимость (2-39) позволяет определить значение температуры в любой точке пластины в произвольный момент времени, за исключением точек, лежащих на ее поверхностях. Если шаг интегрирования по времени Ат выбрать произвольным, а шаги Ах, Ау, Аг так, чтобы Ах=Ау=Аг, то равенство (2-39) упрощается и принимает вид [c.58]

Степень полинома (34) выбирается на основании анализа изменения характеристик состояния двигателя и (х) или по изменению основной ошибки Оо- Следует отметить, что использование полиномов высоких степеней в качестве регрессионных моделей не рекомендуется, так как, котя полученные при этом данные лучше согласуются с экспериментальными вследствие уменьшения величины основной ошибки, возможно значительное искажение модели вблизи границы плана эксперимента и за его пределами. Опыт аппроксимации характеристик состояния различных двигателей показал, что для удельного и часового расходов топлива, мощности, крутящего момента достаточно второй-третьей степени двухмерного многочлена (34) для содержания токсических составляющих в отработавших газах — третьей, четвертой, а иногда и ВБГше [16], Получение регресснонннх моделей (34) для двигателей с различней наработкой позволяет аналитически описать изменение характеристик состояния V (х) от наработки двигателей L в период их нормальной эксплуатации. Пусть для N двигателей с наработками L < .g<...характеристики состояния и (х)[х , и n) L ,. .., и (х) .д,, описываемые полиномами (34). Естественно предположить, что е изменением / (х) от наработки будут меняться также соответствующие коэффициенты регрессии о (й=0,1,2,. ..) уравнения (34). Связь между названными коэффициентами и наработкой может быть выражена одним из наиболее распространенных полиномов, в частности [c.46]

В то же время явление интер модуляции дает возможность охарактеризовать нелинейные упругие свойства кристаллов (по комбинации А из коэффициентов упругости до четвертого порядка). Решение уравнений (4.12.20) —(4.12.26) для рассматриваемого случая можно делучить непосредственно в виде ряда по степеням малого параметра. Уровень интер модуляции определяется как отношение энергий, вырабатываемых фундаментальной частотой (скажем, методами теории возмущений показывает, что это отношение меняется как [Tiersten, 1975]. Аналогичный анализ проведен также для Х-сечения танталата лития [Tiersten, 1976] в этом случае, если возбуждались две сдвиговые моды, то одна из них была доминирующая. Это позволило оценить величину А порядка [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...