ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Анализ уравнения четвертой степени из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Обозначим через А дискриминант, т. е. Д = Я — 27У . Тогда, как доказывается в высшей алгебре, если Д отрицательно, то уравнение четвертой степени имеет два вещественных и два комплексных корня. Если Д положительно, то все корни являются вещественными или комплексными. [c.249] Еслн А положительно, то следует различать два случая, когда все кории уравнения четвертой степени являются или вещественными или комплексными. Поэтому, еслн а к е имеют разные знаки, то одии из корней является вещественным, а потому и все кории будут вещественными. Можно использовать также и другой критерий. Представим уравнение четвертой степепи, не содержащее Второго члена, в виде — Н) + О = /(. [c.249] Если Н положительно или равно нулю, то видим, что К отрицателыю. Поэтому можио сформулировать следующий критерий. Если величины Н и К положительные, то четыре корня вещественные. Если одна из них отрицательна или равна нулю, то четыре корня являются комплексными. [c.249] Если дискриминант Д равен нулю, то уравнение четвертой степени имеет равные корни. Если два корня вещественные, а два комплексные, то вещественные корнн должны быть равными, и (полагая д — 0) виднм, что если Н положительно, то К должно быть отрицательно. Если все четыре корня комплексные, то мы должны иметь две пары равных корней, для которых г = О, р = д поэтому К Ч, О 0. Следовательно, имеем критерий, если величины Н и К положительные, то все четыре корня вещественные-, если величина Н или величина К отрицательная или равна нулю, то два корня вещественные и два корня комплексные, за исключением случая, когда О -= 0. [c.249] Ввиду того, что равные корни удовлетворяют уравнению, получаемому из исходного в результате дифференцирования, то видим, что если О == О, то для равных корней - - Н или 0. В первом случае Л = О, I — /за И и имеется пара равных корней В последнем случае равными корнями будут I = О, а неравными = 1 2//. [c.249] Если имеются три равных корня, то все корни вещественные. Пусть в этом случае четырьмя корнями будут а, а, а, —За. Тогда Н За , О — 8а , К = 12а. Следовательно, двумя необходимыми условиями существования трех равных корней являются / = О, J = О и они также дают Л = 0. Если, кроме того, Я равно нулю, то все четыре корня вещественны и равны между собой. [c.249] Вернуться к основной статье