Переменные действие и разделяющие переменные

Переменные действие и разделяющие переменные [c.317]

Очень важным свойством переменных действия является их адиабатическая инвариантность. Это свойство заключается в том, что переменные действия сохраняют постоянные значения при достаточно медленном изменении параметров системы (изменения параметров за )время, сравнимое с периодами системы 7 г = 2я/(0 , весьма малы). Для доказательства этого утверждения рассмотрим систему, которая в каждый момент времени близка по свойствам к изученной выше обобщенно-консервативной системе с разделяющимися и периодически изменяющимися со временем переменными. Гамильтониан такой системы явно зависит от медленно меняющихся со временем параметров А., т. е. имеет вид [c.443]

Замечание 3. Как и в разобранном примере, в общем случае уравнения F, = ft при некоторых значениях fi перестают быть независимыми, и Mf перестает быть многообразием. Таким критическим значениям / соответствуют сепаратрисы, разделяющие фазовое пространство интегрируемой задачи на части, подобные частям А, В, С выше. В некоторых из этих частей многообразия Mf могут быть неограниченными (части у1 и (7 на плоскости (р,д) ) другие же расслаиваются на к-мерные инвариантные торы Mf в окрестности такого тора можно ввести переменные действие — угол. [c.250]

Если рассматривать не только координатные, но и импульсные преобразования (т. е. общие преобразования фазового пространства), то задача в некотором смысле всегда становится разрешимой по теореме Лиувилля - Арнольда вблизи неособого уровня первых интегралов всегда существуют переменные типа действие-угол, которые и являются разделяющими. Другое дело в том, что эти переменные, как правило, различны для разных областей фазового пространства, разделенного особыми (критическими) инвариантными торами и их построение (даваемое при доказательстве теоремы) не является конструктивным. На практике, как правило, наоборот, переменные действие-угол строятся, если найдены какие-либо разделяющие переменные (см. 8 гл. 5). [c.82]

Ценность разделяющихся переменных заключается в том, что с их помощью становится возможным упростить решение некоторых задач. Одна из них связана с топологическим анализом, имея разделяющиеся переменные, исследование бифуркаций поверхностей уровня первых интегралов можно свести к анализу кратных корней некоторого характеристического полинома. Вторая — построение набора переменных типа действие-угол, необходимых для применения теории возмущений и различных процедур квантования (в частности, квазиклассического). [c.304]

Разделяющие переменные могут быть использованы для построения бифуркационных диаграмм и топологического анализа [170]. Другим их использованием является получение переменных действие-угол, необходимых для изучения возмущенной задачи, а также целей квантования. Здесь мы приведем один из методов, аналогичный использованному в [106] и применим его к случаям Ковалевской, Горячева-Чаплыгина и Чаплыгина (I) на всем пучке скобок (8.13). По сравнению с обычно цитируемой, но слишком формальной процедурой, предложенной А. П. Веселовым и С. П. Новиковым [54], этот алгоритм является более естественным и использует обычный метод введения переменных действие-угол для систем с разделяющимися переменными по Гамильтону-Якоби. [c.317]

Очень важным в акустике является вычисление проводимости эллиптического или круглого отверстия в бесконечно тонкой и бесконечно протяженной перегородке, разделяющей два полупространства. Эта задача решена Рэлеем . Не воспроизводя этого вывода, поясним лишь физический смысл проводимости в данном случае. При течении несжимаемой жидкости через отверстие в перегородке под действием разности давлений (постоянных или переменных) в среде создаются определенные линии тока и возникают скорости, различные в каждой точке среды. В бесконечности мы вправе считать скорости равными нулю, а на перегородке равны нулю нормальные компоненты скорости. В плоскости отверстия наибольшие скорости возникают у краев. В случае бесконечно тонкой перегородки скорость у края бесконечна. Для определения проводимости необходимо вычислить кинетическую энергию во всем бесконечном поле по формуле [c.151]

Наконец, весьма нестандартно в конических течениях проявляется такое свойство вязких потоков, как отрыв. Когда он происходит, то в силу принятой симметрии имеет автомодельный характер — точка отрыва размещается в начале координат, а разделяющая поверхность является конической. Однако возможна ситуация, когда замедляющееся в целом течение не только не отрывается от стенки, но, напротив ускоряется в пристенной области под действием трения. Рассматриваемый класс конических течений допускает обобщение па нестационарный случай вида у = /Ли(ф, 0, vt/R ). Такое решение допускается уравнениями движения и является автомодельным, так как число независимых переменных сокращено от четырех в общем случае до трех. [c.64]

Р1,. .., Рп, то в шредингеровском представлении квантовой механики аналогичная система описывается уравнением Шредингера для волновой функции г1з( 1,. .., д , Рь . Рп, t). Установление соответствия между кваптовыми и классическими уравнениями на основе этого представления является затруднительным. Традиционным приемом в этом случае является рассмотрение квазиклассического приблиячепия, которое связывает волновую функцию с квазиклассическими траекториями. Однако эта связь является простой лишь для полностью интегрируемых систем, для которых осуществляется независимое квантование функций действия, соответствующих разделяющимся переменным, по правилам, отвечающим квантованию стационарных орбит по Бору — Зоммерфельду [247]. В случае - же систем, в которых в классическом пределе возможны стохастические движения, простого соответствия между стационарными волновыми функциями и классическими траекториями не существует. [c.384]

И является периодической функцией t, однако период его 1/vi несоизмерим с периодами других аналогичных множителей. Поэтому в целом эта функция не является периодической. В таких случаях говорят, что рассматриваемая функция является многопериодической или почти-периодической. (Такого рода функция уже встречалась нам при рассмотрении гармонического осциллятора с несколькими степенями свободы.) Рассмотрим, например, колебания точки, находящейся под действием восстанавливающих сил, направленных вдоль осей х и у. Эти координаты являются разделяющимися переменными, изменяющимися по гармоническому закону с частотами v и Vy. Повернем теперь систему координат на 45° вокруг оси z. Тогда мы получим новые координаты х, у, изменяющиеся по закону [c.324]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

Вместе с тем нахождение разделяющих переменных в интегрируемой системе очень полезно для изучения ее динамики. Оно позволяет изучить решения, устроенные наиболее просто (случаи вырождения или классы Аппельрота особозамечательных движений волчка Ковалевской), провести бифуркационный (топологический) и качественный анализ [92, 170], явно построить соответствующий набор переменных типа действие-угол. Последнее особенно важно для анализа возмущенной ситуации, а также для целей квантования (например, в квазиклассическом приближении). [c.84]

Для периодических систем с полностью разделяющимися переменными очень удобно выбрать функции J (а) специальным образом. При этом под периодическими мы подразумеваем такие системы, в которых по каждой степени свободы либо р, и д, являются периодическими функциями времени одного периода, либо рс периодически зависит от г. В первом случае говорят о колебаниях, а во втором — о вращении. Периоды движения по каждой степени свободы не обязательно одинаковы. Если они не находятся в рациональном отношении, то движение называется квазиперио-дическим ). Для определения переменных действия как функций ое [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...