ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Симплектическая геометрия из "Математические методы классической механики " Фазовый поток, заданный локально гамильтоновым векторным полем, называется локально гамильтоновым потоком. [c.191] Задача 6. Докажите, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов симплектического многообразия тогда и только тогда сохраняет симплектическую структуру, когда она яеляется локально гамильтоновым фазовым потоком. [c.191] Задача 7. Докажите, что в симплектическом пространстве всякая однопараметрическая группа канонических (сохраняющих dp Д йд) диффеоморфизмов всегда яеляется гамильтоновым потоком. [c.191] Указание. Всякая замкнутая 1-форма в является дифференциалом функции. [c.191] Таким образом, гамильтоновы поля образуют идеал в алгебре Ли локально гамильтоновых полей. [c.191] Евклидова структура в линейном пространстве задается симметрической билинейной формой, а симплектическая — кососимметрической. Геометрия симплектического пространства освежающе непохожа на евклидову,, хотя и имеет много сходных черт. [c.191] Определение. Симплектической линейной структурой в К называется невырожденная ) билинейная кососимметрическая 2-форма, заданная в К . Эта форма называется кососкалярным произведением и обозначается [ , 1]] = — [ц, Ц. [c.191] Пространство К вместе с симплектической структурой I,] называется симплектическим линейным пространством. [c.191] Задача. Докажите, что косоортогональное дополнение к 4 есть 2п — 1-мерная гиперплоскость, содержащая 4. [c.192] Указание. Если бы все векторы были косоортогональны т), то форма Г,1 была бы вырожденной. [c.192] Симплектический базис. Евклидова структура при подходящем выборе базиса (он должен быть ортонормирован) задается скалярным произведением специального стандартного вида. Точно так же и симплектическая структура принимает стандартный вид, указанный выше, в надлежащем базисе. [c.192] Задача. Найти кососкалярные произведения базисных векторов 6 ,, вд. (I = 1, га) в приведенном выше примере. [c.192] Вернемся теперь к общему симплектическому пространству. [c.192] Вернуться к основной статье