Напряжения в координатных площадках

Запишите матрицу напряжений в координатных площадках в цилиндрических координатах и разъясните их физический смысл. Как можно представить себе координатную площадку г [c.119]

НАПРЯЖЕНИЯ В КООРДИНАТНЫХ ПЛОЩАДКАХ [c.72]

Нормальные напряжения в координатных площадках обозначим сг, касательные т. Примем индексы из двух букв. Первая буква будет указывать ту координатную ось, по направлению которой действует напряжение, а вторая — ту координатную ось, которая нормальна (перпендикулярна) той площадке (внешняя нормаль), к которой напряжение приложено (адрес напряжения). Например, Тху — касательное напряжение, действующее параллельно оси х на площадку, перпендикулярную к оси г/, т. е. на площадку, параллельную плоскости хх. Поскольку для нормальных напряжений направление и адрес совпадают, применим для их обозначения индекс из одной буквы, например вместо а.х-х. [c.72]

При изменении положения координатных осей, т. е. при отнесении указанной поверхности к другим координатным осям, сама поверхность остается неизменной, а изменятся лишь коэффициенты уравнения, т. е. величины напряжений в координатных площадках, поскольку эти площадки станут другими. [c.76]

Рассмотрим в окрестности точки элементарный четырехгранник (рис. 167). Составляющие напряжений на координатных площадках известны. Пусть площадка AB — главная. Нормаль к ней V является главной осью. Она составляет с направлениями осей j , у, Z углы, косинусы которых соответственно обозначим, как и ранее, через /, т, п. Поскольку касательное напряжение на главной площадке отсутствует, то полное напряжение на ней направлено вдоль нормали и является главным нормальным напряжением на площадке. Обозначим его через а. Тогда проекции этого напряжения на оси координат [c.188]

Здесь 0 ., Ву, = " ух — напряжения по координатным площадкам гх и гу X, У — объёмная нагрузка единицы объёма элемента в направлении осей хну. Если объёмная нагрузка элемента равна нулю, то [c.266]

Здесь Зг, 00, Т0 = тг0 — напряжения по координатным площадкам, перпендикулярным к радиусу гик тангенциальному направлению Ь, Р — нагрузка в направлении радиуса г на единицу объёма элемента. [c.266]

Если в окрестности какой-либо точки /< тела выделить элементарный объем в форме параллелепипеда, грани которого перпендикулярны координатным осям (фиг. 4), то по этим граням, как по площадкам, проходящим через данную точку, будут действовать полные напряжения Рх< Ру< Рг- Спроектировав их на координатные оси, получим девять напряжений по координатным площадкам [c.263]

Диодные произведения векторов базиса. Для описания многих физических величин вектора уже недостаточно. Например, как известно из курса сопротивления материалов, напряженное состояние вокруг рассматриваемой точки деформируемого тела характеризуется в прямоугольной декартовой системе координат девятью напряжениями на координатных площадках — [c.35]

Рис. 34. Напряжения на координатных площадках в цилиндрической системе координат

С помощью напряжений на координатных площадках можно полностью описать напряженное состояние в точке, т. е. вычислить компоненты тензора на любой косой площадке, проведенной через рассматриваемую точку. Соответствующие формулы следуют из условия равновесия элемента-тетраэдра [c.24]

Из (2.6) и тождества /j = о,у (2.7) следует, что векторы напряжения на координатных площадках в системе без штрихов равны [c.107]

Напряженное состояние в некоторой точке ) (рис. 1) характеризуется тем, что в площадках, параллельных координатным плоскостям, отсутствуют касательные напряжения %2у = = " ух = 0. Следовательно, нормальные напряжения в этих площадках а , Оу и Ог (рис. 2) будут главными для рассматриваемой точки [c.397]

Из этого равенства очевидно, что напряжение Рп в точке, расположенной на площадке с нормалью п, может быть определено, если известны напряжения в этой же точке, но для площадок, внешние нормали к которым параллельны координатным осям. Проекции Pjr> Pz на оси X, Y, Z обозначим соответственно Р у, [c.235]

Преимущество формулы (3) перед аналитической формой тех же равенств (12) гл. VII заключается в том, что в ней напряжение, приложенное к любой площадке в сплошной среде, прямо выражается через произведение двух основных факторов напряженности в данной точке среды и ориентации площадки в ней. Формула (3) имеет объективный характер, не зависящий от выбора направлений осей координатной системы. Линейный инвариант [(41), гл. VIH тензора напряжении равен сумме нормальных напряжений [c.130]

Если в элементарном тетраэдре полные напряжения в нак-клонной площадке совпадают с направлением главных напряжений, то проекции на координатные оси главных напряжений будут соответственно Р х, PNy, Рнг- Так как P vx = f v , Р у = РыШ, Ркг = РмП, уравнение (1.2) примет вид [c.10]

Первые два уравнения удовлетворяются тождественно, так как все компоненты нормальных напряжений в площадках, параллельных координатным осям, равны нулю Ох=Оу = ах = Гху= 0. Третье уравнение [c.81]

У нас имеются три исходные площадки, напряжения в которых заданы. Введем еще одну площадку произвольной ориентации и рассмотрим условие равновесия не параллелепипеда, а некоторого тетраэдра, образованного тремя координатными плоскостями и наклонной площадкой общей ориентации [c.18]

Таким образом, компоненты тензора напряжений представляют собой нормальные и касательные напряжения в данной точке тела на площадках, параллельных координатным плоскостям. Из равенства [c.32]

Координатные оси совместим с главными осями тензора (а, ) в некоторой точке тела. Тогда проекции на координатные оси вектора напряжения в данной точке на произвольной площадке с нормалью я будут определяться равенствами (2.56). [c.44]

Следовательно, напряжение на любой площадке А5 можно выразить через напряжения на трех взаимно ортогональных площадках, которыми могут быть и координатные площадки. Соотношение (3.4) в проекциях на оси координат имеет вид [c.58]

Чтобы определить введенную выше скалярную величину N, найдем среднее арифметическое из нормальных напряжений на трех площадках, расположенных в координатных плоскостях. Согласно выражениям (5.2) [c.80]

Следовательно, напряжение на любой площадке может быть выражено через напряжения на трех взаимно ортогональных площадках, которые можно выбрать за координатные. Соотношение (3-4) в проекциях на оси координат будет иметь вид [c.63]

Пусть направление внещней нормали v к площадке совпадает с положительным направлением какой-либо координатной оси (рис. 152, а). Тогда положительное нормальное напряжение на этой площадке (на рисунке это а ) также совпадает с положительным направлением координатной оси. Касательные напряжения на такой площадке считают положительными, если они направлены в сторону соответствующих положительных направлений координатных осей. В случае, когда внешняя нормаль к площадке совпадает с отрицательным направлением координатной оси (рис. 152, б), все три со- [c.171]

Для исследования напряженного состояния во всех точках необходимо уметь находить напряжения на любой площадке, наклоненной к координатным осям. Положение в пространстве площадки ab , изображенной на рис. 9, определяется нормалью V, направляющие косинусы которой [c.18]

Разложим полное напряжение р, на составляющую по нормали к площадке (нормальное напряжение) и составляющую в плоскости площадки (касательное напряжение). Нормальное напряжение равно сумме проекций составляющих напряжения, параллельных координатным осям, на направление нормали [c.20]

Формула (1.11) позволяет определить касательные напряжения на любой наклонной площадке в заданном направлении с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным плоскостям. [c.21]

Напряжение на наклонной площадке. При деформировании первоначально ортогональные лагранжевы координатные оси ai, аз с ортами вю, го. зо. изменяя свою ориентацию в пространстве, изменяют и взаимную ориентацию. Как показано ранее с погрешностью порядка деформации, векторы вх, 2. 3 можно считать ортогональными. [c.110]

Зная компоненты напряжений Оу, в любой точке пластинки в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, можно найти из уравнений статики напряжения на любой наклонной по отношению к осям X W у плоскости (площадке), проходящей через эту точку перпендикулярно пластинке. Обозначим через Р некоторую точку в напряженной пластинке и допустим, что компоненты напряжения a,j, х у известны (рис. 12). На малом расстоянии от Р проведем плоскость ВС, параллельную оси z, так, чтобы эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезала из пластинки очень малую треугольную призму РВС. Поскольку напряжения изменяются по объему тела непрерывно, то при уменьшении размеров вырезанного элемента напряжение, действующее на площадке ВС, будет стремиться к напряжению на параллельной площадке, проходящей через точку Р. [c.36]

Обозначим через X, Y, 1 три компоненты напряжения, параллельные координатным осям и действующие па наклонной площадке B D, тогда компонента усилия, действующего на грани B D в направлении оси. >с, равна АХ. Аналогично компоненты усилий в направлении оси х, действующие на трех других гранях тетраэдра, равны —А1а , —Атх , —Л/гт . Соответствующее уравнение равновесия тетраэдра имеет вид [c.230]

Напряжение на любой площадке в рассматриваемой точке детали может Сыть определено, если известны напряжения в данной точке на каких-либо трех взаимно перпендикулярных площадках. Проекции на координатные оси [c.68]

Напряжение — величина векторная и может быть представлена как функция векторного аргумента, определяемого направлением нормали к площадке. В пространстве напряжение, как всякий вектор, характеризуется тремя его составляющими, зависящими только от координат х, у, г, если напряжения в точке одинаковы для всех проведенных через нее площадок. Однако величина напряжений в различных площадках, проведенных через данную точку, непостоянна. Поэтому напряжения в какой-либо точке тела характеризуются не только координатами точки, но и ориентацией площадки, определяемой направлением внещ-ней нормали. Если площадка в системе прямоугольных координат X, у, г определяется нормалью N и не совпадает ни с одной из координатных плоскостей (рис. 1,а), вектор полных напряжений Р может быть разложен по направляющим осям на Рпх, Рпу, Рщ. Вектор Рп может быть разложен также на составляющие нормальное напряжение, направленное по нормали к площадке Сп, и касательное напряжение %п, которое в свою очередь можно разложить на составляющие Хпх и Хпу, параллельные координатным осям х и у (рис. 1,6). [c.6]

Рассмотрим некоторую точку М (хг) деформированного тела и произвольно проходящую через нее площадку, положение которой определяется вектором я. Покажем, что в данной точке вектор напряжения на рассматриваемой произвольной площадке полностью определяется, если известны в данной точке векторы напряженияна трех координатных площадках. [c.30]

Напряжения на координатной площадке положитель- / / ны, если направления напря- площадках у - жений и внешней нормали к координатной площадке совпадают либо с положительными, либо с отрицательными направлениями координатных осей. На рис. 31 все напряжения положительны. Иногда в прямоугольной декартовой системе координат напряжения на координатных площадках обозначают так [c.115]

Чтобы выбранный нами параллелепипед (рис. 3) находился в равновесии и не вра-ш,ался, необходимо равенство моментов относительно координатных осей. Поэтому txy=tyx, tzy=tyz И txz=tzx (закон парности касательных напряжений). Следовательно, записанный выше тензор содержит фактически не девять, а шесть независимых напряжений. С их помощью можно охарактеризовать любое сложное напряженное состояние. Тензор позволяет определять величину нормальных и касательных напряжений в лю1бой площадке, проходящей через данную точку тела, если известны ее направляющие косинусы относительно выбранных координатных осей. [c.9]

Для составляющих напряжения в координатных плоскостях принимают следующее правило знаков. Составляющие напряжения, действующие по площадке е внешней нормалью, направленной в сторону положительной координатной оси, считаются положительными, если они также совпадают с положительными направлениями координатных осей. Аналогично для площадок, у которых вне1иняя нормаль совпадает с отрииз-тельным направлением координатной оси, составляющие напряжения положительны, если их направления совпадают с отрицательными направлениями координатных осей. Согласно этому правилу знаков положительное нормальное напряжение представляет собой напряжение растяжения, а отрицательное — напряжение сжатия. [c.6]

Проведем через напряженную точку А (рис. 3.1) три плоскости, параллельные плоскостям координат. Для того чтобы иметь возможность обозначить на чертеже напряжения, действующие на точку в этих плоскостях, построим параллелепипед, ребра которого примем бесконечно малыми, неограниченно приближающимися к точке. Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда, проходящих через точку А, можно изобразить векторы напряжений, действующих на точку в трех взаимно перпендикулярных плоскостях (координатных площадках). При этом напряжение в каждой площадке разложим на три одно нормальное и два касательных, которые направим параллельно осям координат. Таким образом, всего будет три ормальных и шесть касательных напряжений. [c.72]

Векторы напряжений ри ру, рз, приложенные к координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, так как зависят от выбора системы координат, по отношению к которой они определены. Такие величины — подробнее об этом говорится в начале следующей главы — не могут быть причислены к истинным физическим векторам, а носят наименование квазивекторов . Заметим, что к ним можно применять все операции, применимые к физическим векторам, в частности, проектировать их на оси координат. [c.108]

Вырежем из рассматриваемого тела элементарный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям, а их длина равна do , dy, dz (рис. 1.1). На гранях этого параллелепипеда действуют напряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани (нормальное напряжение) и касательную (касательное напряжение). В свою очередь, касательное напряжение можно разложить на две составляющие, параллельные координатным осям (рис. 1.2). В результате на каждой грани параллелепипеда действуют три напряжения (слово составляющая в дальнейшем для краткости будем опускать), которые обозначим ху, Тхгт Первый индекс в обозначениях напряжений указывает ось, параллельно которой направлена внешняя нормаль к площадке, а второй индекс — ось, параллельно которой направлена составляющая напряжения, т. е. первый индекс указывает площадку, на которой действует напряжение, а второй — его направление. Поскольку в обозначениях нормальных напряжений фигурируют два одинаковых индекса, обычно оставляют только один из них и пишут (Sy, о - [c.10]

Физические и геометрические величины, характеризующие состояние сплошной среды, не зависят от выбора системы координат, т. е. представляют собой инвариантные объекты. Однако эти величины удобно изучать в некоторой системе координат. При этом инвариантный объект определяется совокупностью величин, называемых его компонентами, которые зависят от системы координат. Например, из курса сопротивления материалов известно, что напряженное состояние в точке тела определяется девятью компонентами — напряжениями на трех координатных площадках. Такие многокомпонентные инвариантные объекты и называют тензорами, определения которых ддны ниже. [c.390]

Из системы (III. 15) видно, что проекции напряжения, приложенного к любой наклонной плош,адке, на оси координат ли ейяо зависят от проекций напряжений, действующих на три взаимно перпендикулярные площадки, лежащие в координатных плоскостях. Следовательно, напряжение в любой точке в матричной форме может быть представлено в виде [c.66]

Объемное напряженное состоянне. Выберем в точке, в которой анализируется напряженное состояние, координатные оси, совпадающие с главными направлениями, и в этих осях определим касательное напряжение на наклонной площадке с ортом v. Для полного напряжения согласно формулам (6.2), (5.31) [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...