Стационарные случайные процессы и однородные случайные поля

Стационарные случайные процессы и однородные случайные поля [c.197]

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОДНОРОДНЫЕ ПОЛЯ [c.181]

Будем пока говорить только о стационарных случайных процессах и 1) и о временном осреднении точно те же рассуждения будут, разумеется, применимы и к однородным случайным полям и(х) на прямой. Определим прежде всего, что мы будем понимать под сходимостью случайной величины йт 1), задаваемой равенством (4.53), при 7 >оо к константе и 1) = и. Случайная функция йт будет считаться сходящейся при Т- оо к пределу 1/ (вообще говоря, являющемуся случайной величиной), если [c.202]

Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стационарных случайных процессов и ( ) (кроме того, что касается его экспериментального осуществления при помощи фильтров) можно перенести и на однородные случайные поля (х). В этом случае роль гармонических колебаний играют плоские волны а случайная функция Z(Д(й) Z [(йр 2]) — 2(с 2) — Z( 1) от интервала оси частот (О здесь заменится случайной функцией 2(ДЛ) от многомерного интервала ДА = к, к"] — параллелепипеда (или, в случае полей на плоскости, прямоугольника) в пространстве волновых векторов к. Обозначив г йк) Z [k, А + йк ) = dZ к), можно записать спектральное разложение однородного случайного поля и х) в виде [c.20]

Рассмотрим теперь вкратце ситуацию, когда речь идет об однородных случайных полях /(х) и пространственном осреднении. Случай однородных полей на прямой, как уже отмечалось выше, вообще ничем не отличается от случая стационарных процессов. Что же касается однородных случайных полей на плоскости или в пространстве, то значения такого поля /(х) на любой прямой будут представлять собой однородное случайное поле на прямой. Поэтому если только корреляционная функция Ьии(т) пульсаций этого поля такова, что хотя бы для одного направления (единичного вектора) Го функция бии(тго) от т удовлетворяет условию [c.204]

Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стационарных случайных процессов u t) (кроме того, что касается его экспериментального осуществления при помощи фильтров) просто переносится и на однородные случайные поля и х), В этом случае роль гармонических колебаний играют плоские волны а случайная функция 2(Асо) = 2( [со со2]) = 2(со2) — (соО [c.216]

Как и в случае стационарных случайных процессов, чем быстрее затухает на бесконечности (т. е. при Л= к ->оо) спектральная плотность / (к) однородного случайного поля, тем большее число раз можно дифференцировать его корреляционную функцию В(г) (т. е. тем более гладкой функцией она является) и наоборот, быстрота убывания на бесконечности корреляционной функции В (г) определяет степень гладкости спектра Р к). Оба этих утверждения являются простыми следствиями того, что функции Б (г) и (к) представляют собой преобразования Фурье друг друга, так что [c.219]

Как и в случае стационарных случайных процессов, чем быстрее затухает на бесконечности корреляционная функция В (г) однородного случайного поля, тем большее число раз можно дифференцировать спектральную плотность этого поля Р к) (т. е. тем более [c.25]

Аналогом понятия процесса со стационарными приращениями в применении к случайным функциям от точки х является понятие локально однородного случайного поля (иначе — случайного поля с однородными приращениями). Под этим понимается такое случайное поле и (л ), все распределения вероятностей для разностей значений которого в некоторой совокупности пар точек не меняются при любом параллельном переносе всех рассматриваемых точек ). Аналогично случаю процесса со стационарными приращениями доказывается, что среднее значение приращений А,и(дс) = и(л - -г)—й(х) поля и(х) является линейной функцией вектора г [c.86]

Если и х) = и х1, Х2, Хз) — векторное изотропное случайное поле, то величины й1(х,. О, 0) и И2(лг1, 0. 0), очевидно, будут представлять собой однородные поля на прямой а 2 = а з = 0 (т. е. стационарные процессы от переменного л 1). а функции (г) и В г) будут корреляционными функциями этих полей на прямой. Отсюда вытекает, что одномерные преобразования Фурье функций [c.43]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

Будем сначала для определенности говорить только о стационарных случайных процессах и 1) и о временном осреднении точно те же рассуждения (лишь с заменой времени t пространственной координатой х) будут, разумеется, применимы и к однородным случайным полям и х) на прямой. Начнем с того, что четко определим, что мы будем понимать под сходимостью случайной величины йтЦ), задаваемой раБенством (4.57), при Тоо к константе u t) = и. Нам будет удобно считать случайную функцию йт сходящейся при Т оо к пределу и (вообще говоря, являющемуся случайной величиной), если [c.208]

Основное место в настоящей главе будет занимать вопрос о при-нении к случайным функциям одного или нескольких переменных е. к случайным процессам и случайным полям) методов гармони-ского анализа. Известно, что гармонический анализ, т. е. пред-1вление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье, ень широко используется в математической физике. При этом, нако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда фье возможно лишь для периодических функций, а в виде инте-ала Фурье лишь для функций, достаточно быстро убывающих на сконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и периодические, незатухающие на бесконечности функции, которые, эого говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье, этой точки зрения случайные функции оказываются даже имеющими ределенные преимущества перед обычными (не случайными) функ-ями. Дело в том, что для любых стационарных случайных оцессов и однородных случайных полей, для которых по саму их определению никакого затухания на бесконечности быть не [c.7]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...