Обобщенные силы и обобщенные перемещения

Если не вводить в рассмотрение обобщенные силы и обобщенные перемещения, то можно переписать соотношения (8.10.1) следующим образом [c.263]

ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ [c.77]

Теперь воспользуемся понятием обобщенных сил и обобщенных перемещений при выводе некоторых теорем. [c.79]

Положим, между обобщенной силой и обобщенным перемещением существует какая-то зависимость. Она может быть изображена в виде кривой, показанной на рис. 71. Работа силы на перемещении (она же — энергия упругих деформаций) численно равна площади заштрихованного треугольника. Под дополнительной работой [c.85]

Речь идет, разумеется, об обобщенных силах и обобщенных перемещениях. [c.86]

В случае линейной зависимости между обобщенной силой и обобщенным перемещением имеем и =и. [c.491]

Первый тон колебаний отдельной лопатки со свободной вершиной. При определении частоты первого тона крутильных колебаний отдельной лопатки со свободной вершиной нет надобности в решении дифференциального уравнения (89). В этом случае можно с достаточной для практических целей точностью найти частоту тем же методом, что и для тангенциальных колебаний отдельной лопатки со свободной вершиной, поскольку все выводы выполнены по существу для обобщенных сил и обобщенных перемещений. В случае крутильных колебаний обобщенной силой будет крутящий момент, а обобщенным перемещением — угол поворота. Поэтому не повторяя выкладок, укажем только, что силы должны быть заменены моментами, прогибы — углами поворота, а массы участков — массовыми моментами инерции. [c.201]

В упомянутые десятилетия кафедрой заведовали профессора Ю. И. Ягн и П. А. Павлов — выдающиеся отечественные механики, известные своими изысканиями в области критериев пластичности и разрушения, в проблемах много- и малоцикловой усталости, ползучести и длительной прочности металлов. В учебнике по возможности учтена их точка зрения по отмеченной тематике. Авторы придерживались их трактовки при изложении понятий обобщенных сил и обобщенных перемещений, инженерных расчетов ка удар и трещиностойкость. [c.3]

Подробное определение обобщенных сил и обобщенных перемещений будет дано ниже в 13.4. [c.233]

Согласно этому определению обобщенные силы и обобщенные перемещения являются величинами скалярными. [c.238]

Наиболее простыми реологическими свойствами, как было уже отмечено, обладает однопараметрическая т = 1) конструкция. Расчет кинетики неупругого деформирования такой конструкции отличается наибольшей возможной простотой, в то же время ее поведение характеризуется рядом закономерностей, которые могут вообще исключить необходимость такого расчета, поскольку здесь, как было показано в 40, обобщенные силы и обобщенные перемещения могут быть связаны между собой непосредственно. [c.226]

Внутреннее механическое состояние тела описывается напряжениями и деформациями во всех его точках. Первые связаны с внутренними силами взаимодействия между частицами, вторые — с перемещениями этих частиц. Дополнительные внутренние силы взаимодействия между элементарными частицами вещества, возникающие при деформации, совершают работу на тех перемещениях, которые получают частицы. Эту работу можно выразить через напряжения и деформации, которые можно рассматривать как обобщенные силы и обобщенные перемещения соответственно. [c.49]

Это утверждение и составляет содержание теоремы взаимности работ. Для случая двух сил эта теорема была доказана в 1864 г. Д. Максвеллом. Но, как следует из самого понятия обобщенных сил и обобщенных перемещений, соотношение (9.7.3) не изменится, если под Pi и Р2 понимать обобщенные силы, а под 6i и S2 — соответствующие им обобщенные перемещения. Это было впервые понято итальянским ученым Е. Бетти в 1872 г. Как мы уже отмечали в связи с интегралом Мора, работа Д. Максвелла осталась незамеченной, и Е. Бетти сформулировал теорему взаимности работ независимо. Поэтому ее часто называют теоремой Бетти. [c.283]

Случай, когда обобщенные силы и обобщенные перемещения упругого тела связаны линейными зависимостями. Рассмотрим случай, когда обобщенные силы и обобщенные перемещения упругого тела связаны между собой линейными зависимостями, т. е. [c.267]

При упругих деформациях окончательные величины обобщенных сил и обобщенных перемещений не зависят от процесса нагружения, а определяются лишь соответствующими конечными величинами. Поэтому можно в дальнейшем ограничиться рассмотрением только так называемого простого нагружения, когда силы и перемещения изменяются пропорционально некоторому параметру. При этом из соотношений (8.10) и (8.11) следует, что при увеличении обобщенных сил в какое-либо число раз во столько же раз увеличиваются и обобщенные перемещения. Линейную связь между обобщенными силами и обобщенными перемещениями мы имеем в подавляющем большинстве случаев [c.267]

Т. е. при линейных зависимостях между обобщенными силами и обобщенными перемещениями обобщенное перемещение равно частной производной потенциальной энергии по соответствующей обобщенной силе теорема Кастильяно). [c.269]

Вследствие принятого допущения о линейной зависимости между обобщенными силами и обобщенными перемещениями такая же зависимость должна существовать между усилиями в стержнях и обобщенными силами. Поэтому [c.287]

Для общности дальнейших исследований потенциальной энергии деформации элементов конструкций введем понятия обобщенной силы и обобщенного перемещения. [c.257]

Так как зависимости между обобщенными силами и обобщенными перемещениями определяются законом Гука, то интегрирование (9.25) и (9.27) не вызывает затруднений. [c.270]

Фиг. 3. Спектральные плотности обобщенных сил и обобщенных перемещений.

Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Теорема Клапейрона [c.224]

Для ее записи введем два новых понятия обобщенная сила — и обобщенное перемещение — Д .. [c.224]

Соотношения (13) и (1.4) проиллюстрированы на примере элемента стремя узлами, в каждом из которых действуют только две компоненты силы. Ясно, что все рассуждения и определения справедливы и в более общем случае. Элемент Ь в рассматриваемом случае связан с соседними только в двух точках, хотя другие элементы могут иметь таких точек и больше. С другой стороны, - если соединения элементов считать жесткими, то требуется рассматривать по три компоненты обобщенной силы и обобщенного перемещения, причем за третьи компоненты следует принять соответственно момент вращения и угол поворота. Для жесткого соединения в трехмерной конструкции число компонент в узле равняется шести. Таким образом, в общем случае [c.14]

Обобщенные силы и обобщенные перемещения. В сопротивлении материалов, говоря о силах, действующих на сооружение, для количественной их оценки часто пользуются некоторыми характеристиками, не являющимися в действительности абсолютными величинами сил. Так, действие изгибающей пары полностью характеризуется ее моментом говоря, что балка несет равномерно распределенную нагрузку 9, мы полностью определяем внешние силы, действующие на балку, бимомент является количественным выражением для четырех сил. Вообще часто приходится иметь дело не с одной силой, а с группой их, причем эта группа рассматривается как нечто целое. Необходимость рассмотрения таких групп сил становится особенно очевидной, если обратиться к изуче-, нию статически неопределимых систем. [c.331]

В областях механики, электричества, магнетизма и термодинамики установилась достаточно определенная традиция, приписывающая смысл обобщенных сил и обобщенных перемещений и скоростей вполне определенным величинам. [c.84]

Обобщенные силы и обобщенные перемещения (рис. 10.1). Обозначения Р — обобщенная сила Ар — обобщенное перемещение [c.227]

Как видно из формулы, потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда положительна. Ее величина не зависит от порядка нагружения и целиком определяется окончательными значениями усилий и перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадратичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу независимости действия сил. Это значит, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда перемещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное действием другой силы, равно нулю. [c.410]

Величина (ui — U2)lh представляет собою угол поворота жесткой шайбы. Перейдем теперь к пределу, увеличивая безгранично силу Р и уменьшая плечо h так, чтобы момент Q = Ph оставался неизменным. В пределе мы получим то, что называется сосредоточенным моментом, его можно принять за обобщенную силу. Соответствующим обобщенным перемещением будет угол поворота элемента, к которому приложен момент. [c.261]

Вариационные уравнения, соответствующие функционалам, приведенным в гл. 3 и 4, можно вывести обычным путем по правилам вариационного исчисления. Левые части их имеют энергетическую структуру и выражают работу обобщенных сил на соответствующих возможных обобщенных перемещениях (для вариационного уравнения Лагранжа) или обобщенных перемещений (деформаций) на возможных обобщенных силах (для уравнения Кастильяно), или их комбинаций в полных и различных смешанных формах. При этом возможными называются обобщенные перемещения (силы), которые удовлетворяют дополнительным условиям, наложенным на них, следующим из дополнительных условий данного функцио- [c.142]

В Л1еханике твердого тела, как и в механике вообще, удобно пользоваться понятием обобщенной силы и обобщенного перемещения. Действительно, говоря о силах, действующих на тело, для количественной их оценки часто пользуются некоторыми характеристиками, не являющимися в действительности абсолютными величинами сил. Так, действие изгибающей пары пол- [c.146]

Происхоледеиие этого названия становится ясным из рассмотрения рис. 15.11, где показан график зависимости между обобщенной силой и обобщенным перемещением в случае, если эта зависимость нелинейна. Действительно, и — потенциальная энергия деформации — изображается площадью, заштрихованной вертикально, поско.яьку Ш = ЬA = QЬq, а площадь, заштрихованная горизонтально, дополняет первую до прямоугольника, представляющего работу постоянной по величине силы Q, которая совершается на перемещении д. Эта горизон- [c.490]

Обратимся к консольной балке (рис. 13.7). На ее свободном конце В приложим сначала мок1ент Мо, затем там же догрузим балку силой F (см. положения / и 2 ее изогнутой оси). Выше, в 13.1 мы вплотную подошли к тому, чтобы считать момент и отвечаюшйй ему угол обобщенной силой и обобщенным перемещением . Далее будем обозначать обобщенные [c.232]

Первоначальные сведения об обобщенных силах и обобщенных перемещениях были даны выше. Продолжим знакомство с этими понятиями на более сложных примерах. Рассмотрим для начала консольную балку, которая нагружена силой F в сечении В и моментом Мо в сечении С (рис. 13.8). Здесь же изображено конечное положение изогнутой оси балки ABi i. Точка приложения силы F опустится вниз на расстояние ид, а сечение С, в котором приложен момент Мо, повернется на угол (рс. В соответствии с теоремой Клапейрона найдем работу внешних сил 1 1 [c.237]

Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Чтобы результаты дальнейших исследований имели наиболее общий характер, будем рассматривать действие обобщенных сил и обусловленных ими обобщенных перемещений. Под обобщенной силой будем подразумевать любую совокупность сил, приложенных к телу. С этой точки зрения обобщенными силами являются любая сила, приложенная к телу совокупность двух равных и противоположно направленных сил, вызывающих растяжение или сжатие стержня изгибающая пара сил крутящая пара сил сила, приложенная к балке в любом ее сечении, вместе с вызываемыми этой силой опорными реакциями сплошная нагрузка, действующая на балку, вместе с опорными реакциями. Для элементарной призмочки, выделенной из тела, за обобщенные силы могут быть приняты напряжения, действующие по ее граням и т. д. За обобщенное перемещение, соответствующее данной обобщенной силе, будем принимать величину, на которую необходимо умножить эту силу для вычисления ее работы при условии, что сила при вызываемых ею перемещениях остается постоянной. Так, обобщенным перемещением, соответствующим силе, приложенной к телу, является перемещение точки приложения силы по ее направлению для двух растягивающих сил обобщенным перемещением является абсолютное удлинение стержня для изгибающей пары сил — угол поворота сечения для крутящей пары сил — угол закручивания. В случае силы, приложенной в сечении балки, если иметь в виду, что работа опорных реакций при неподатливых опорах равна нулю, за обобщенное перемещение следует принять прогиб балки в том сечении, где приложена сила. [c.264]

При исследовании статически неопределимых балок мы, установив зависимости между перемещениями их сечений, для определения этих перемещений использовали аналитический или графоаналитический метод. Очевидно, для той же цели можно было использовать теорему Кастильяно. Нетрудно показать, что на основании этой теоремы можно получить общий метод расчета любой статичекси неопределимой конструкции, если только существует линейная зависимость между обобщенными силами и обобщенными перемещениями. [c.285]

Для того чтобы разобраться в этом вопросе, мы рассмотрим удлинение того же самого элемента под действием растягивающего напряжения (рис. 32). Понятно, что вследствие изотропности мы получим только осевое и поперечное изменение длины. Перекосов, т. е. угловых деформаций, не возникнёт. Правая сторона не лучше левой, левая — не хуже правой. Теперь сопоставим две обобщенные силы. Напомню, что под обобщенной силой мы понимаем любую группу сил, характеризуемую одним параметром. Четверка касательных напряжений на рис. 31 характеризуется величиной Тжг, а обобщенная сила, показанная на рис. 32, характеризуется напряжением а - И еще напомню обобщенным перемещением для данной обобщенной силы мы называем множитель при этой силе в выражении работы. Здесь обобщенное перемещение пропорционально удлинению е, а на рис. 31 — пропорционально углу сдвига Ухг-И теперь нам остается вспомнить теорему взаимности работ. [c.41]

G — — изгибающий момент, 7 = 71 — угол поворота относительно касательной к g. Таким образом, условие единственности в сущности представляет собой требование неположительности работы краевых приведенных обобщенных сил на обобщенных перемещениях, соответствующим четырем, описанным выше направлениям. Его можно записать в виде (5.33.10) и в случае, когда край произвольно располагается относительно координатных линий (остается пока открытым только вопрос о том, что подразумевать в общем случае под приведенными усилиями и моментами). Если на краю ставятся идеализированные граничные условия, то из физических соображений очевидно, что условие единственности (5.33.10) будет всегда выполняться, так как левая часть этого соотношения обратится в нуль. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...