Тензорный анализ в криволинейных координатах

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ в КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [c.412]

Проведение действий векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах целиком связывается со знанием величин gsh, а в случае ортогональных криволинейных координат — коэффициентов Ляме Hs. Часто для вычисления последних можно избежать использования формул (III. 3.2), требующих применения соотношений связи (III. 1.1), заменив его рассмотрением элемента дуги dhS координатной линии q . [c.853]

III.4. Дифференцирование базисных векторов. Проведение операций векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах усложняется необходимостью учета изменяемости векторного базиса е , обязательно знание выражений производных этих векторов по координатам q . [c.854]

ОПЕРАЦИИ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [c.878]

Рассматривая операции тензорного анализа в криволинейных координатах, мы до сих пор исходили из представления радиус-вектора г(д ). Этой зависимостью порождались выражения базисных векторов г., ковариантных компонент метрического тензора g J, символов Кристоффеля Гр и др. Недоразумением было понятие метрический тензор ведь gy — это компоненты единичного тензора Е. [c.29]

В этом приложении излагаются основные свойства индексных обозначений и соглашение о суммировании Эйнштейна, что позволяет обращаться с наборами величин идеально приспособленным к вычислениям на ЭВМ способом. Некоторые фундаментальные идеи, связанные с тензорной алгеброй в криволинейных координатах, приводятся в А.6. 2h-0T последний вопрос находится довольно далеко от того, что нам обычно требуется, однако поскольку концепция МГЭ основывается на геометрическом описании границ и внутренних ячеек, а также распределении по ним некоторых функций, то для дальнейшего продвижения на этом пути требуется анализ в криволинейных координатах, для которого тензорный аппарат оказывается удобным. Возможно, некоторые читатели найдут простоту и красоту этого представления привлекательными и будут изучать его дальше, что позволит им значительно усовершенствовать метод нашего анализа. [c.460]

Следующий концентр связан с теорией упругости. В гл. 7 сообщаются элементы тензорного анализа в виде сводки основных фактов и определений. Автору представляется, что для практических целей достаточно (и вполне строго) вести изложение общих теорем в прямоугольной декартовой системе координат. В 7.8, где идет речь о криволинейных координатах, говорится о задании тензора в произвольном базисе, но эта теория дальнейшего развития не находит. Что касается тензорного языка, который применен в гл. 7 и последующих главах, он совершенно элементарен. Для университетов он привычен и упрощен по сравнению с тем, что дается, скажем, в курсе дифференциальной геометрии. Для студента втуза привыкнуть к этому языку очень нетрудно. Автор вспоминает, как в начале тридцатых годов среди преподавателей теоретической механики шли ожесточенные споры о том, следует ли излагать механику векторно или же в координатах. Любопытно отметить, что акад. А. Н. Крылов был яростным и убежденным противником векторной символики, которая вводилась Московской школой. Автор получил воспитание в этой школе, поэтому он особенно рад торжеству векторного изложения теоретической механики и надеется, что в учебной литературе но механике твердого тела тензорный язык будет применяться широко и на всех уровнях. [c.13]

Уравнения движения в криволинейных координатах. Мы хотим получить здесь уравнения неразрывности и движения в произвольной криволинейной системе координат. Для этой цели удобно воспользоваться методами элементарного тензорного анализа читатель, незнакомый с тензорным анализом, может обратиться к работ е [47], где дано ясное изложение этого предмета ), или может пропустить весь этот раздел без значительного ущерба для понимания остальной части статьи. Обозначим через (х, х , х ) координаты точки в произвольной криволинейной системе координат. Мы, как и раньше, положим х = (х, х , х ), однако х здесь нельзя рассматривать как вектор. Движение по-прежнему выражается уравнениями в форме (3.1). которые дают нам положение частицы в момент / в цилиндрической системе координат, например, движение задается при помощи уравнений [c.33]

Некоторые применения тензорного анализа в механике 84 Уравнения движения материальной точки (84). Уравнение Лагранжа 2-го рода (84). Формула Громеки (86). Уравнения равновесия в криволинейной системе координат (87). Тензор скоростей деформаций (87). Связь между тензорами напряжений и деформаций (88). [c.6]

Внешняя простота и симметрия формул общего тензорного анализа теряется при переходе к ортогональным криволинейным координатам и физическим составляющим тензоров. Этот переход вместе с тем сопряжен с громоздкими записями поэтому вычисления в ортогональных координатах, с которыми преимущественно приходится иметь дело, предпочтительно проводить, пользуясь изложенными в Приложении И приемами. [c.886]

Далее, приведем условия совместности в криволинейной системе координат, а именно необходимые и достаточные условия того, что компоненты деформаций могут быть получены дифференцированием однозначной векторной функции г (а , а, а ). Из тензорного анализа известно, что условия совместности даются в виде [c.108]

При написании книги большое значение отводилось математическому аппарату. Точка зрения автора на этот вопрос обычная — аппарат должен быть адекватным излагаемому материалу. Так, общая теория излагается в прямоугольных декартовых координатах. И лишь при рассмотрении криволинейных тел (стержней, оболочек) требуется знание основ тензорного анализа. [c.4]

Если мы хотим рассматривать более общие преобразования, как, например, использованные в гл. 8 преобразования декартовых координат в криволинейные, то, к сожалению, из правил (А. 14) остается совершенно неизменным только правило преобразования скаляров. Остальные правила изменяются из-за перехода к новым координатам, которые оказываются либо неортогональными, либо неоднородными по размерности, либо и теми и другими одновременно. В гл. 8 мы имели дело лишь со скалярами и со случаями геометрического изменения масштаба, но другие, более сложные преобразования лучше всего проводить при помощи общего тензорного анализа (который для этого и был разработан). Мы надеемся, что приведенное ниже весьма краткое описание основных свойств этого подхода окажется и несложным для понимания, и полезным. [c.467]

Количественное изучение явлений связано обычно с введением системы координат. При этом во многих случаях достаточно декартовых (прямолинейных ортогональных) координат. Введение произвольных криволинейных координат потребовало бы применения тензорного исчисления в общем виде, что, однако, здесь не предусматривалось. Для тех, кому необходимы более глубокие знания тензорного анализа, можно рекомендовать ос- [c.524]

Читатель, знакомый с тензорным анализом, заметит, что если рассматривать символ Ь как сокращенное обозначение совокупности контравариантных Ь или ковариантных bi компонент вектора в произвольной криволинейной системе координат, а S — как сокращенное обозначение совокупности компонент тензора, то приведенные выше определения инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат. Таким образом, введенную нами векторную символику можно в равной мере считать и сокращенным обозначением операций тензорного анализа. [c.9]

Здесь использовано определение базисного вектора е. =5г/Э< , независимость t и лагранжевых координат а также известное из тензорного анализа выражение для производной от вектора по криволинейной координате через ковариантную производную и = D (i, < ) — компоненты вектора V в лагранжевой системе. [c.314]

В параграфе 6.1 хотя и кратко, но систематически изложены основы тензорного анализа. В параграфах 6.2—6.5 полученные в предыдущих главах основные зависимости переписываются в криволинейных координатах. Особенностью изложения является использование двойных тензоров, один из индексов компонент которых отнесен к недеформированным материальным координатным осям, а другой — к деформированным. Использование двойного тензора напряжений дает возможность провести дифференцирование и удовлетворить силовым граничным условиям в неде-формированной конфигурации тела, положение которой заранее известно. При этом полученные зависимости (без дополнительного перепроектирования) отнесены к более удобным во многих случаях деформированным материальным осям. Симметричность компонент двойного тензора облегчает формулировку статикогеометрических гипотез. [c.80]

В 6.3 исходные уравнения гинердвижения записываются с использованием тензорного исчисления в криволинейных сферических координатах, так как пространственный анализ возмущенного и невозмущенного движения удобно проводить именно в этой координатной системе. Затем особое внимание уделяется плоскому или орбитальному движению относительно притягивающего центра, получению различных дифференциальных уравнений плоского гипер-реактивного движения. [c.175]

Данная книга посвяпхена вопросам численного решения некоторых пространственных задач внешней аэрогидродинамики. До недавних пор изучение течений около движуш,ихся тел было ограничено относительно простыми формами (сфера, цилиндр, острые и затупленные конуса и др.). Проблема численного моделирования течений жидкости или газа около тел реальной формы (самолеты, корабли, автомобили и др.) значительно сложнее. При этом возникает ряд вопросов, связанных с моделированием геометрии, построением систем координат. Геометрическое описание реальной модели, построение дискретного множества (сетки) является трудоемкой задачей и требует использования аппарата дифференциальной геометрии, тензорного анализа. Математические вопросы задания геометрии произвольной формы и построения криволинейных систем координат рассматриваются в главе I. [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...