Умножение кватернионов

Очевидно также, что кватернион q (12) обращается в нуль, если все его действительные коэффициенты а, Ь, с и d обращаются в нуль. Умножение кватерниона на постоянное число к эквивалентно умножению а, Ь, с, d на X, т. е. [c.10]

Доказательство состоит в непосредственном вычислении матрицы поворота А по заданному кватерниону со8( /2)-Ь 8 81п(у /2). в соответствии со свойством 5 (см. п. 2) столбцы матрицы А представляют собой образы ортов исходного базиса. Вычислим эти образы. При выберем так 1 = е, 12,1з -1- е. (Свободу в выборе базиса в Е нам гарантирует свойство 4 операции умножения кватернионов.) Тогда [c.37]

Это — формулы умножения кватернионов. [c.110]

Принимается, что кватернионы, у которых Ь = с = d — О, коммутируют при умножении со всеми остальными кватернионами. [c.110]

Таким образом, матрицы Р(1), <ЭУ), <Э(к) при умножении подчиняются тем же правилам, что и соответствующие им кватернионы. Зависимость же между матрицами д и кватернионами взаимно однозначна и линейна. [c.111]

Множество кватернионов с нормой, равной единице, обозначим Til- Если h G то h = h. Очевидно, что множество ii есть группа по умножению. Эта группа изоморфна группе SU 2). Изоморфизм устанавливается с помощью равенств [c.112]

Воспользуемся правилом умножения для кватернионов [c.476]

Для того чтобы векторное пространство превратить в алгебру, таблица умножения ортов может выбираться произвольно. Та конкретная таблица, которая предложена выше, обладает уникальным свойством она и только она позволяет во введенной алгебре кватернионов построить деление, т.е. определить операцию, обратную введенной операции умножения. [c.34]

Ввиду некоммутативности перемножения мнимых единиц умножение кватернионов также некоммутативно, т.е. произведение двух кватернионов зависит от порядка сомножителей, если только их векторные части не пропорциональны. [c.569]

Из формулы умноження кватернионов вытекает, что если. V = А. Л/, то = Д/<>Л,т.е. сопряженное произведение двух кватернионов равно произведению нх сопряженных значений, взятых в обратном порядке. [c.570]

Умножение в общем случае не коммутативно (АВфВА), но обладает свойством ассоциативности. За исключением коммутативного свойства умножения, все остальные правила обычной алгебры сохраняются, в том числе и невозможность деления на нуль. Введем сопряженный кватернион [c.345]

В 1895 г. опубликовано выдающееся сочинение А. П. Котельникова [27], в котором впервые построено собственно винтовое исчисление. В этой работе использованы комплексные числа с множителем со, введенным Клиффордом, умножением на которые вектор преобразуется в винт. Главная заслуга Котельникова состоит в том, что он впервые в наиболее полном и ясном виде сформулировал принцип перенесения . Котельникову путем, как он выразился, небольшой уловки, заключавшейся в преобразовании бикватерниона Клиффорда в кватернион с комплексными коэффициентами, удалось установить, что все формулы теории кватернионов суть неразвернутые формулы бикватернионов, т. е. установить тождественность формул для тех и других. Это, в свою очередь, привело к выводу, что все операции векторного исчисления превращаются в операции винтового исчисления, если в них все вещественные величины заменить комплексными с множителем со. Благодаря этому удалось одним уравнением заменить не три, как в векторном исчислении, а шесть скалярных уравнений, что придает большую компактность записи условий и решению многих задач. [c.4]

Символ Клиффорда. Из изложенного следует, что любой вектор р (т, п, I) с проекциями т, а и / может характеризовать одновременно два бивектора (О, О, О, /, т, п) и (/, т, а. О, О, 0). Чтобы внести различие между ними, за бивектором (/, т, и, О, О, 0) сохраняют то же обозначение р, что и за соответствующим вектором, а бивектор (О, О, О, I, т, п) обозначают где ы — символ Клиффорда [126]. Но поскольку символу р придано двойственное значение, символу ы также должен быть придан двойной смысл. Именно, если р — вектор, то и со должен приписывать р смысл вектора, определяющего бивектор (О, О, О, I, т, п) поступательного движения тела. Если же р — бивектор (/, т, п, О, О, 0), то символ о), будучи умноженным на бивектор р, даст бивектор (О, О, О, /, т, п) или, иначе говоря, в последнем случае символ и преобразует бивектор вращательного движения в бивектор поступательного движения. Опираясь на теорию кватернионов, можно показать [57], что для того, чтобы скалярное произведение бивекторов [c.64]

Историческая роль этой работы двоякая. Во-первых, в ней заложены основы нынешнего векторного ночисле-ния. Во-вторых, теория кватернионов Гамильтона является одним из главных источников развития такой отрасли математики, как некоммутативная алгебра, т. е. алгебра, в которой не действует переместительный закон умножения. Такая некоммутативная алгебра получила широкое применение в современной теоретической физике. [c.211]

С помощью кватернионного умножения они записываются еще короче М = А ЛГА (механический смысл этих соотношений проясняется в 4 гл. 1). На орбите Т 3 справедливы также выражения [c.283]

Здесь значок означает операцию кватернионного умножения. В соответствии с (П3.48) квадраты мнимых единиц равны -1, а формулы (П3.49) показывают, что попарные произведения мнимых единиц образуются по правилам перемножения базисных векторов трехмерного пространства. [c.569]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...