Топологическая цепь Маркова

Так же, как при доказательстве теоремы 2, из предложения 3 вытекает, что нри малых к > О функционал фь имеет минимум во внутренности множества Z. Этот минимум соответствует периодической траектории энергии к, близкой к цепочке N гомоклинических траекторий. В пределе ТУ ос получаются хаотические траектории, соответствующие заданной траектории jk kez топологической цепи Маркова. [c.158]

Замечание. Минимальное множество потока фе Х Х изоморфно специальному потоку (с непостоянной функцией) над некоторым транзитивным символическим каскадом (вообще говоря, не над топологической цепью Маркова), так как всякий одномерный поток, разделяющий траектории, обладает этим свойством (см. 2]). [c.126]

Л Лемма. Пусть Л — базисное гиперболическое множество. Тогда существуют топологически перемешивающая ) топологическая цепь Маркова оа. положительная [c.149]

Отождествим гомеоморфизм Xj—>-Zj с некоторой топологической цепью Маркова ов - и положим [c.150]

Другие свойства отображения р мы будем напоминать по мере необходимости. В дальнейшем i 5 всегда является положительной функцией, принадлежащей множеству л, а — перемешивающей топологической цепью Маркова. [c.150]

Опишем полезное геометрическое представление топологических цепей Маркова. Отождествим символы О, 1,..ЛГ — 1 с точками ац,,...,, и соединим X с Ху стрелкой, если а = 1. Таким способом мы по- 2 лучим граф GJ с N вершинами и некоторым числом ориентированных ребер. Мы будем называть конечную или бесконечную последовательность вершин допустимым путем или допустимой последовательностью, если лю- [c.64]

Следующая простая комбинаторная лемма — ключ к анализу топологических цепей Маркова. [c.64]

Определение 1.9.6. О, 1-матрица А называется транзитивной, если для некоторого положительного т все элементы матрицы А" — положительные числа. Мы будем называть топологическую цепь Маркова транзитивной, если А —транзитивная матрица. [c.64]

Предложение 1.9.9. Если А — транзитивная матрица, то топологическая цепь Маркова является топологическим перемешиванием и ее периодические орбиты плотны в 12 . [c.65]

С точки зрения динамики п-кратные топологические цепи Маркова — это то же самое, что и топологические цепи Маркова, так как они могут быть описаны как топологические цепи Маркова с алфавитом 1,..., iV " и такой матрицей А, что = 1. если для = 1,..., п - 1, [c.65]

Наконец, строгая линейность отображений на компонентах пересечения не является необходимой. Например, любое С -малое возмущение отображения, описанного выше, по-прежнему дает инвариантное множество, на котором оно топологически эквивалентно топологической цепи Маркова — это специальный случай теоремы 18.2.1 (о структурной устойчивости). Более общие достаточные условия существования нелинейной подковы будут установлены в 6.5 (см. определение 6.5.2 и теорему 6.5,5). Глубокий пример применения нелинейных подков в общей структурной теории гладких динамических систем — теорема Д.5.9 из добавления и ее следствия. [c.96]

Постройте марковское разбиение и опишите соответствующую топологическую цепь Маркова для автоморфизма, где 2 1 ) [c.99]

Для данной О, 1-(п х п)-матрицы А опишите такую систему п прямоугольников Л,,..., в и такое отображение / Л = Q что ограничение / на множество точек, все итерации которых остаются внутри А, является топологически эквивалентным топологической цепи Маркова сг . [c.99]

Докажите, что С Функция любой топологической цепи Маркова рациональна. [c.129]

Подобным образом для топологической цепи Маркова сг мы видим, что S ((Tj , е , п) равно количеству цилиндров вида (3.2.1), которые имеют непустое пересечение с множеством ii . Допустим, что каждая строка матрицы А содержит по крайней мере одну единицу. Поскольку число допустимых слов длины п, которые начинаются с символа i и кончаются символом j, равно элементу а"у матрицы А" (см. лемму 1.9.4), количество [c.132]

Предл ожение 3.2.5. Для любой топологической цепи Маркова (rJ выполнены равенства ( (сгд) = р(сг ) = log Лд 1. [c.132]

Вновь, как и для транзитивных топологических цепей Маркова, мы получаем из (3.2.4) и (3.2.5) следующее предложение. [c.133]

Замечание. В случае растягивающего отображения Е , так же как и для топологической цепи Маркова сг , можно показать, что периодические точки образуют (п, е )-отделенное множество для некоторого Это позволяет нам получить неравенство /г, р р одним и тем же способом для всех трех случаев. [c.134]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Доказательство того, что растягивающие отображения являются разделяющими, содержится в доказательстве предложения 3.2.3. Для топологических цепей Маркова, как и для произвольных символических динамических систем, наличие этого свойства самоочевидно условие шфш означает, что Ф и> для некоторого п. Но тогда применение п-й степени сдвига дает нам элементы, нулевые координаты которых различны. Расстояние между любыми двумя такими элементами больше некоторой фиксированной константы. [c.136]

Вычислите минимальное положительное значение топологической энтропии для топологической цепи Маркова [c.138]

Системы с различным асимптотическим поведением для различных начальных условий, неустойчивостью асимптотического поведения относительно начальных условий и высокой (экспоненциальной) степенью роста сложности глобальной структуры орбит, представляемой, например, экспоненциальным ростом числа периодических орбит и положительной топологической энтропией. В эту группу входят растягивающие отображения окружности ( 1.7), гиперболические автоморфизмы тора ( 1.8) и транзитивные топологические цепи Маркова, включая полный сдвиг ( 1.9). [c.156]

Более общий класс инвариантных мер для ЛГ-сдвига и топологических цепей Маркова — марковские меры. Пусть П = 7Г ( у о —такая [c.167]

Предл ожение 4.4.2. Энтропия транзитивной топологической цепи Маркова сг относительно меры где матрица П = 7Г з .з = 1,...,)у имеет вид (4.4.5), равна топологической энтропии сгд и, следовательно, скорости роста числа периодических орбит р(а ). [c.185]

Построение стохастической матрицы П из О — 1-матрицы А посредством равенства (4.4.5) может выглядеть несколько загадочным, но на самом деле оно имеет естественную интерпретацию. Мера — не что иное, как асимптотическое распределение периодических орбит топологической цепи Маркова сг . Чтобы показать это, вернемся к обсуждению из п. 1.9 в, в ходе которого мы выяснили, что число различных периодических орбит периода п в базисном 0-цилиндре С равно диагональному элементу матрицы А". Из теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 следует, что где д и V определяются равенствами (4.4.3) и (4.4.4). Таким образом, доля числа периодических точек периода п, содержащихся в С°, в силу (4.4.2) равна [c.186]

Теорема 3 может быть уточнена. Оказывается, что отображение Пуанкаре системы на инвариантном подмножестве в полусопряже-но топологической цепи Маркова произвольного порядка. Конструкция состоит в следующем. [c.156]

П редложение 2. Существует 5 > О, такое, что для любого Н Е —6,6) 0 отображение Пуанкаре на имеет инвариантное подмножество, на котором оно полусопряжено топологической цепи Маркова над К со следующей матрицей переходов А [c.156]

В дополненне к приведенному списку литературы можно рекомендовать обзор [14], в котором значительное место уделяется эргодической теории гладких динамических систем гиперболического типа я связяхс эрге-лической теории со статистической механикой. Б частности, топологические цепи Маркова и гиббсовские меры рассматриваются в 3 гл. 2 этого обзора. [c.39]

Содержание этого разлила навеяно теорией гиббсовских состоянии в статистической механике и понятием топологической эигропии в топологической динамике. Условия на ф важны для единственногти рапиооесиого состояния, но и то лишь в случае, когда гомеоморфизм Т удовлетворяет весьма строгим ограничениям. Диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, достаточно близки к топологическим цепям Маркова а и для них теорему единственности удается доказать. [c.56]

Топологические цепи Маркова могут быть расклассифицированы в соответствии со свойствами возвращаемости их орбит. Существенные элементы этой классификации содержатся в упражнениях 1.9.4-1.9.9. Теперь мы займемся наиболее интересным специальным классом топологических цепей Маркова, которые обладают самыми сильными свойствами возвращаемости. [c.64]

Естественно было бы назвать разбиение (Х ,..Х ), обеспечивающее полусопряжение топологической цепи Маркова с отображением /, взаимно однозначное на большом множестве, и определенное так, что отображение может быть описано некоторым марковским способом, марковским разбиением. Мы отложим детальное обсуждение и строгие определения до 15.1 и 18.7. Сейчас же опишем несколько конкретных ситуаций отличных от случая растягивающих отображений окружности, где марковское разбиение появляется вполне недвусмысленным образом. [c.93]

Попробуем описать отождествление, возникаюш ее в результате этого полусопряжения, т. е. увидеть, какие точки тора имеют более одного прообраза. Во-первых, очевидно, что топологическая цепь Маркова имеет три неподвижные точки, а именно постоянные последовательности нулей, единиц и четверок, в то время как автоморфизм тора Е имеет только одну неподвижную точку — начало координат. Легко видеть, что все три неподвиж- [c.98]

Метод кодирования, который мы впервые использовали в доказательстве топологической сопряженности произвольного растягивающего отображения окружности с линейным отображением той же степени (теорема 2.4.6). Мы применяли этот метод еще три раза в полулокальной ситуации в пп. 2.5 б, 2.5 в, при построении топологического сопряжения полного 2-сдвига с квадратичным отображением и отображением подковы на их инвариантных подмножествах и, наконец, в п. 2.5 г когда мы установили наличие полусопряженности топологической цепи Маркова с автоморфизмом тора. Этот метод очень эффективен в применениях к глобальным и полулокальным гиперболическим проблемам, т. е. к случаям, когда близлежащие орбиты расходятся с экспоненциальной скоростью, как это имеет место в упомянутых примерах (см. гл. 6, особенно определения 6.4.1 и 6.4.2). Одна из главных особенностей этого метода — его непосредственный характер. В частности, он не требует рассмотрения вспомогательного пространства кандидатов в сопряжения. С другой стороны, этот метод применим только к проблеме топологической (но не гладкой) сопряженности и полусопряженности. Метод особенно эффективен в ситуации малых размерностей, где он нередко работает без предположений гиперболичности (см. 14.5, 14.6, 15.4). [c.103]

Предположим теперь, что А —О — I-матрица, а стохастическая матрица П такова, что тгу=0, если a . = 0. Тогда, очевидно, supp С д и, следовательно, может рассматриваться как инвариантная мера для топологической цепи Маркова а . Если П — транзитивная матрица, мы будем обозначать меру просто через /%, так как в этом случае вектор р единствен. [c.168]

Поскольку supp = Лд, предложение 4.2.15 позволяет заключить, что топологическая цепь Маркова сгд — перемешивание относительно меры = Эта мера называется мерой Перри для топологической цепи Маркова (Тд. [c.185]

Покажите, что образ меры Лебега относительно полусопряжения гиперболического автоморфизма тора Р с топологической цепью Маркова Сд, задаваемой марковским разбиением из п. 2.5 г. — мера Цц. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...