Пространство гильбертово полное

Пространство гильбертово полное 163 [c.599]

Здесь уместно вспомнить, что по определению гильбертово ( -пространство является полным. Это означает, что любая последовательность подчиняющаяся сильному условию Коши, т. е. Н / — -> О, является в этом пространстве сильно сходящейся. Однако гильбертово пространство обладает полнотой также и в слабом смысле ([947], т. 1, стр. 71). Множество векторов называется компактным, если во всякой принадлежащей ему последовательности содержится сильно сходящаяся подпоследовательность множество векторов называется слабо компактным, если из каждой последовательности, входящей в это множество, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Часто оказывается полезным то обстоятельство, что любое ограниченное (в сильном смысле) множество в гильбертовом пространстве является слабо компактным ([947], стр. 79). Это утверждение— слабый аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса, которая не справедлива для гильбертова пространства в сильном смысле. Верно и обратное утверждение каждая слабо сходящаяся последовательность является ограниченной в сильном смысле ([947], стр. 71). [c.163]

Поскольку к-эрмитов оператор, совокупность векторов к) образует полный базис, по которому можно разложить произвольную функцию 1/), принадлежащую гильбертову пространству [c.148]

Сравнение этих формул с (22.23) показывает, что преобразование Фурье дает переход от представления вектора в одном полном базисе л ) к его представлению в другом полном базисе к). Оба эти базиса одинаково пригодны для представления векторов, принадлежащих гильбертову пространству. [c.149]

Далее, говоря о гильбертовых пространствах, будем полагать их полными. [c.126]

Полное унитарное векторное пространство бесконечного числа измерений называют гильбертовым пространством (иначе пространство Гильберта, пространство И). Гильбертово пространство — частный случай банахова пространства. [c.208]

Конечномерное пространство Е, снабжённое С. п., наз. евклидовым пространством. Бели Е является бесконечномерным и полным, то оно ваз. гильбертовым пространством. С. п. (ех, е), где вектор ех фиксирован, а вектор е рассматривается как переменная, определяет числовую ф-цию /(е) = (ех, е) на гильбертовом пространстве. Эта ф-ция линейно зависит от е и обладает свойством непрерывности [если е -> ец, то /(е) /(во) [c.536]

Полное ортонормированное множество элементов у гильбертова пространства называется ортонормированным базисом. [c.264]

В силу сепарабельности гильбертова пространства в Я( существует система элементов g , принадлежащих D(A), линейно независимая и полная в /fi. Обозначим через Kn пространство Я1, натянутое на элементы go, Si,. , sn. [c.8]

Собственные состояния а) любой физической величины А образуют полный набор базисных состояний в гильбертовом пространстве ), поэтому квантовое состояние системы может быть записано в виде разложения [c.23]

Системы векторов. Пусть —комплексное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (f, й) и нормой llf f = (f, Мы введем несколько понятий, относящихся к системе f (/=1,2,. ..) векторов этого пространства в частности, скажем, когда [/ называется полной системой, базисом со скобками, базисом, базисом Рисса, базисом Бари. Здесь каждое следующее свойство является усилением предыдущего. Будет приведено несколько утверждений некоторые из них очевидны, доказательства других и дальнейшие подробности можно найти в [6], гл. VI, 1—3. [c.297]

Ж векторов состояний заданной физической системы, вектор ф> удовлетворяет условию < ф ф>>0. (При этом вектор <115 1 является дуальным относительно вектора ф>.) Для г15> справедливы все аксиомы и правила вычисления собственных элементов гильбертова пространства (в особенности линейность, сепарабельность, комплексность, эрмитовость метрики, полнота). Пространство Ж может быть натянуто на полный орто-нормированный базис /> со свойствами [c.72]

Может быть выделен полный набор перестановочных между собой наблюдаемых Мь. .. Му,. .. М . В смысле п. В2.12 все М/ могут быть одновременно измерены. Каждый набор собственных значений ши. .., т/,. ... .., Шп) определяет некоторый собственный вектор ть. .., т/,. .., т >. Ансамбль всех собственных векторов, возникающий в результате вариации по полному набору всех собственных значений, образует базис гильбертова пространства Ж для заданной физической системы. [c.80]

Пусть Н — вещественное гильбертово пространство. Поскольку существуют различные определения гильбертова пространства, то оговорим, что здесь понимается под таким пространством. Пространством Н будем называть вещественное линейное пространство с вещественным скалярным произведением (х, у), х( Н, y H, с определением норм элементов х Я посредством равенства ЦхЦ = Vix, х), полное относительно метрики р х, у) = л — [c.104]

Оператор А называют сопряженным к Л, если скалярное произведение (Ах, у) = (х, А у) для всех хну из II. Оператор Л называют самосопряженным, если Л = Л, и унитарным, если Л = Л 1. Самосопряженные и унитарные О. представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы О. В гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряженных и унитарных линейных преобразований л-мерного эвклидова пространства. [c.491]

Следует учесть, что одним из наших фундаментальных предположений является то, что состояния свободных частиц (О и аут (О представляют собой волновые пакеты, которые образуют полную систему в гильбертовом пространстве. Это означает, что в любой фиксированный момент времени любое состояние можно сколь угодно точно аппроксимировать суперпозицией состояний Рцп либо аут. Основываясь на данном предположении, можно сделать вывод о том, что операторы и Й являются изометрическими [c.153]

Метрическое пространство назьшается полным, если в нем всякая фундамштальная последовательность имеет предел. Полное нормированное пространство Н, в котором норма определена скалярным про-изведшием, назьшается гильб товым пространством. Примером гильбертова пространства может служить пространство элементов которого вьшолняется свойство (П2.7). [c.263]

Линейные О. в гильбертовом пространстве. Наиболее полно теория О. разработана для случая линейных О. в гильбертовом пространстве. Пусть Л — ограниченный линейный О. в гильбертовом пространстве Н. Комплексное число Хназ. собственным значением оператора Л, если существует такой элемент принадлежащий Н, что Л х) = [c.491]

Наблюдаемые физической системы отождествляются с самосопряженными линейными операторами, действующими в некотором гильбертовом пространстве Ж. В этой теории Ж — конечно- или бесконечномерное комплексное векторное пространство (векторы которого мы обозначим через Ф, Т,. ..), снабженное скалярным произведением (Ф, ), линейным по Ф и антилинейным по Ф. Кроме того, гильбертово пространство Ж полно по норме Ф = (Ф, Ф) , т. е, любая фундаментальная последовательность Ф векторов из пространства Ж сходится по этой норме в пространстве Ж. [c.12]

Если прострапстоо состояний пoни Ea т я как абстрактное гильбертово пространство, то представление есть выбор и качестве базиса собственных векторов некоторого полного набора наблюдаемых и описание векторов состояния через координаты в этом базисе. [c.273]

Рассмотрим бесконечномерное гильбертово пространство Н. Система функций ol , ifiij..... фп,. .. называется полной [c.23]

Теорема. 1.2. Полная Ьртонбрмированная система 1 е ,. .., в гильбертовом пространстве Я является базисом в том смысле, что для каждого элемента <реЯ существует разложение в сходящийся (по норме) ряд Фурье [c.23]

Максимально полным опытом называется, как известно, опыт, определяющий значение всех одновременно измеримых величин, т. е. в квантовой механике — всех величин, соответствующих взаимно коммутирующим операторам. Максимально полный опыт дает, как известно, возможность определять Т-функции системы — векторы в гильбертовом пространстве. В случае же немаксимально полного опыта, когда измеряются не все одновременно измеримые величины, в гильбертовом пространстве лишь выделяется некоторое подпространство. [c.160]

Такая запись указывает, что произведенный неполный опыт выделил в гильбертовом пространстве подпространство, характеризуемое векторами и что вероятность получить при доуточнении опыта до максимально полного функцию равна Математическое ожидание любой величины в условиях, описываемых статистическим оператором, равно, как известно, Spur LU. [c.160]

Теорема 2.6 Для того, чтобы последовательность собственных элементов вполне непрерывного и самосопряженного оператора в А) соответствующих собственным значениям,отличным от нуля, двлялась полной ортонормированной системой в (полном) гильбертовом пространстве Н необходимо и достаточно, чтобы нуль не был собственным значением оператора А, т.е. чтобы элемент А/ был отличен от нуля при / 0. [c.59]

Такие состояния были использованы Барнеттом и Пеггом для определения эрмитового оператора фазы. Подчеркнём, однако, что этот предельный переход нетривиален. Действительно, гильбертово пространство гармонического осциллятора базируется на бесконечном количестве собственных энергетических состояний. Если теперь ограничить пространство состояний конечным числом собственных энергетических состояний, то они не образуют полный набор обычного гильбертова [c.259]

Пусть ф, (ОЬ 10, То], / = 1, 2,. . ., полная ортонорми-рованная система (ПОНС) функций в гильбертовом пространстве вещественных функций 2 [О, Тд] с обычным скалярным произведением [I, 3]. Классические системы ортонормированных функций связаны с вполне определенными промежутками вещественной прямой, которые могут не совпадать с отрезком [О, Т ]. На основе классических систем на ограниченных отрезках вещественной прямой можно строить ортонормированные системы функций на других ограниченных отрезках, и, в частности, на [c.98]

Скалярное произведение, таким образом, индуцирует норму = / v, v). Предгильбертовым пространством называется линейное пространство V, снабженное скалярным произведением. Полное предгильбертово пространство называется гильбертовым пространством. [c.699]

Так как Р (х) — заданная функция, а числа находятся в процессе ортонормализации, все Ф,- — коэффициенты искомой функции (У) — определены. Но в полном гильбертовом пространстве ряд Ф фье любого элемента, по полной ортонормированной системе базисных элементов, сходится к этому элементу. Поэтому из полноты пространства 2 следует [c.401]

Первый пункт, который мы хотим обсудить, — это сепарабельность гильбертовых пространств, встречающихся в квантовой теории поля. Напомним, что множество /5 векторов плотно в Ж, если для каждого вектора Ф е и е>0 найдется вектор Ч "е5 такой, что Ф —Ч ИСе. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное плотное множество или же, другими словами, если в нем имеется последовательность векторов, являющаяся плотной. Альтернативно эта особенность описывается в терминах полных ортонормированных множеств. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное полное ортонормированное множество оно не сепарабельно, если полные ортонормированные множества не счетны. От одного описания к другому можно перейти с помош ью ортонормализащш плотного множества, чтобы получить счетное полное ортонормированное множество, 11ли же, образуя конечные линейные комбинации счетных полных ортонормированных множеств с комплексными числами, вещественные и мнимые части которых рациональны,— чтобы получить счетное плотное множество. В первоначальную аксиоматизацию фон Неймана требование сепарабельности входило как определяющее свойство гильбертова пространства. В наше время вошло в обиход употребление этого термина также в несепарабельяом случае. Недавно физики начали рассматривать векторные пространства со скалярным произведением, на которое требование (2-111) и (2-112) не налагается (индефинитная метрика). Такие пространства мы не будем называть гильбертовыми и даже вообще не будем их рассматривать. [c.120]

Во всех теориях свободных поле11 полное число частиц есть интеграл движения, и гильбертово пространство состояний записывается в виде прямой суммы [c.144]

Выберем полный рртонормированный базис гильбертова пространства так, что всякий вектор Ф ) из этого базиса является одновременно собственным состоянием Н и Обозначим один [c.494]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...