Интеграл Гильберта

Интеграл Гильберта и уравнение Гамильтона—Якоби. Чтобы исследовать свойства экстремалей, удобно рассмотреть сначала другую, по связанную с этим исследованием задачу. Будем считать, что переменные uv v зависят от X, у, г, т. е. [c.664]

Если и (х, у, г) и v x, у, г) — функции, делающие интеграл Гильберта S, определенный в (11), не зависящим от пути, то решением дифференциальных уравнений [c.666]

Строгая формулировка принципа Гамильтона такова (Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. I, ГТТИ, 1934, стр. 234) в течение промежутка времени между моментами и /j движение системы происходит так, что функции Qi (t) делают стационарным интеграл [c.899]

Сведение граничной задачи Гильберта к линейной задаче Римана. Обращение интеграла типа Коши [c.239]

Легко видеть, что последние два уравнения принадлежат рекуррентной системе интегральных уравнений для функций /< > в теории Гильберта — Энскога ). Следовательно, на расстояниях, много больших к, т. е. при x — 0 Xj<), решение уравнения Больцмана стремится к решению Гильберта, и если ограничиться двумя членами ряда (5.3а), то течение может быть описано уравнениями Навье — Стокса (см. 3.8). Вблизи тела, т. е, в L-масштабе, решение уравнения Больцмана при малых е также упрощается, так как сводится к решению рекуррентной системы дифференциальных уравнений (5.3а). Однако в промежуточной области, т. е. на расстояниях порядка от тела, течение описывается интегро-дифференциальными уравнениями (уравнением Больцмана для и линейными уравне- [c.385]

Уравнения (1.5) описывают метод последовательных приближений решения уравнения Больцмана. Интересно, что на каждом шаге надо решать одно и то же уравнение с различным неоднородным членом, который должен быть выражен через функции распределения предыдущих приближений. В этом отношении метод подобен методам Гильберта и Чепмена — Энскога здесь, однако, оператор, действующий на неизвестную функцию Ъ-п,, не просто оператор , а более сложный интегро-дифференциаль-ный оператор. Иными сл евами, уравнения, которые нужно решать, столь же сложны, как и исходное уравнение Больцмана, не считая нелинейности, которой мы избежали. Появление в каждом приближении одного и того же оператора позволяет рассмотреть лишь первое приближение, т. е. изучать уравнение [c.142]

Таким образом, задача контактного взаимодействия периодической системы накладок с упругой полубесконечной пластиной математически описывается сингулярным интегро-дифференциальным уравнением с ядром Гильберта (4.3) при граничных условиях (4.4). [c.144]

См. также Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, I. Москва, 1933, стр. 174-175. Из рассуждения в тексте ясно, что понятие стационарности интеграла (1) не изменится, если в его определении заменить условия обращения в нуль разностей ж ( . А) -вблизи концов промежутка ( о, Ь) условием их обращения в нуль на этих концах. [c.358]

Задача состоит в следующем найти такие функции и, v, для которых интеграл S не зависит от формы кривой С, а определяется лишь положением концевых точек Pi и Яг, где Pi имеет координаты Xi = x zi), iji = y zi) и 2ь P — координаты x-i= x z , y-i = y Zi), Za. Величина 5 называется интегралом Гильберта. [c.665]

Для разумных спектральных функций р и pi интеграл в (20.20) сходится, так что ядро уравнения (20.6) принадлежит классу Гильберта — Шмидта. Другими словами, уравнение (20.6) является уравнением Фредгольма. Поэтому, если показано, что соответствующее ему однородное уравнение не имеет ни одного нетривиального решения, то тем самым доказано существование решения неоднородного уравнения (20.6). [c.564]

Вещественная часть Ха 1) является исходной вещественной функцией, а мнимая часть определяется в формуле (6.110) интегралом от функции, содержащей х 1). Этот интеграл называется преобразованием Гильберта функции х 1) и обозначается [c.171]

Стационарные задачи, описанные в предыдущем разделе,, таковы, что искомая функция задана на границе и не может там варьироваться ). Однако во многих задачах функция не задана на границе, и применяют другие граничные условия. Рассмотрим, например, (Курант и Гильберт, 1951, стр. 163— 164) вариационную задачу, состоящую в минимизации интеграла [c.38]

Пусть Я—произвольный самосопряженный оператор, а (1.5.6)—разложение его абсолютно непрерывного подпространства в прямой интеграл. Для ядерного оператора А в И будем строить ядро оператора РАР. Как и любой оператор Гильберта—Шмидта, ядерный оператор РАР является интегральным (см. п. 5 1.6), причем для его ядра величина (1.6.16) конечна. Сейчас, однако, важно приписать ядру а( /,г/) значения на прямом произведении ЛхЛ, где Л—какое-либо множество полной меры в а. [c.299]

В случае 0 = Н = еще одно выражение для а(//, I/) получается при реализации операторов Гильберта—Шмидта Со и С как интегральных операторов с квадратично интегрируемыми ядрами до( л,1/) и д ц,1/). Пусть А = 0 0о и Л состоит из точек А, где конечны интеграл (6) и аналогичный интеграл от а о(а ) Л) - Подставляя в (13) выражение (7) для Z fl G) и аналогичное выражение для ( / Со), найдем, что [c.302]

Для нахождения закона преломления выведем условие, при выполнении которого интеграл Гильберта 5 (11), взятый от точки Ри находящейся слева от этой поверхности, до точки Р справа от нес, не зависит от пути интегрирования. Рассмотрам дна пути Р АР и Р,ВРг, где А и В — точки на поверхности. Потребуем (обозначения очевидны), чтобы 5(Р,ЛР2) = 3 (РгВРг) или [c.671]

Как отмечалось выше, теория Гильберта неполна, а чтобы сделать ее полной, необходимо решить три задачи связи о начальном, пограничном и ударном слоях. Те же проблемы возникают и в случае разложения Чепмена — Энскога, а такя е и в случае модифицированного разложения, предлояленного в 4. Мы рассмотрим сначала задачу о начальном слое, следуя работе Грэда [6]. Полная теория доляша заниматься сращиванием упомянутых разлоя ений с произвольными начальными данными, однако такая теория включает в себя решение нелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений д практически мало полезна. Действительно, принимая во внимание характер гильбертова и аналогичных ему разлоя ений, мы моя ем ограничиться выбором начального условия того же типа, что и само решение, т. е. условия, сводящегося при 8 О к максвелловской функции. Итак, начальные данные произвольны в рамках условия, согласно которому их МОЖНО записать в виде м + е/дг, где — максвелловская функция. [c.133]

Уравнение Больцмана является сложным нелинейным интегро-дифференциальным уравнением. Теоремы существования решений для полного нелинейного уравнения доказаны лишь для пространственно-однородного случая. Более полно исследованы свойства линеаризованного уравнения. Исследования линеаризованного уравнения, начатые еще Д. Гильбертом, продолжены Т. Карлеманом, Г. Гредом, А. А. Арсеньевым и другими. [c.425]

Уравнения трехмерного пограничного слоя рассмотрены в [28, 29] при описании вязкой пристеночной подобласти течения в круглой трубе с несимметрично возмущенной формой стенки. Что касается внешних течений, то обобщение трехпалубной теории свободного взаимодействия на случай обтекания вязким потоком с двумерным невозмущенным пограничным слоем трехмерного препятствия содержится в [32], где соответствующая краевая задача для несжимаемой жидкости решена в линеаризованном варианте. Предположение о слабых возмущениях использовалось также в [33] для иной геометрии трехмерного течения. Условие взаимодействия в виде двойного интеграла Коши-Гильберта, связывающее неизвестное давление и функщ1Ю смещения линий тока, приобретает сравнительно простой вид в спектральном пространстве, поэтому вычислительная процедура, основанная на применении псевдоспектрального подхода, оказалась эффективной при исследовании нелинейного режима обтекания трехмерной неровности [34]. [c.5]

Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части (5.38). Так как функция да (л ) обращается в нуль в квадратурных точках Лобатто, интеграл, содержащий да (л ) как множитель в подынтегральном выражении, аппроксимируется нулем при использовании квадратуры Лобатто. Поэтому оценка квадратурной ошибки одновременно является и оценкой значения самого интеграла. Так как (й + 1)-точечная квадратура Лобатто точна для полиномов степени не выше 2к— 1, из леммы Брамбла — Гильберта следует (см. упражнение 6), что в [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...