Канонические дуги канонической

Канонические дуги канонической кривой 353 [c.576]

Соответствующими друг другу каноническими дугами являются дуги, концы которых принадлежат соответствующим друг другу по схеме особым полутраекториям, и эти дуги входят в границы соответствующих друг другу в силу 1) областей соответствующими друг другу концами канонических дуг являются концы, принадлежащие соответствующим друг другу по схеме полутраекториям или дугам. Имеет место также теорема [c.360]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

У соответствующих друг другу в силу 1) канонических окрестностей и канонические области одинакового типа эллиптические, параболические и гиперболические) соответствуют друг другу и соответствуют друг другу также дуги канонических кривых и а, входящие в границы, этих секторов т. е. эллиптические и параболические дуги, седловые дуги траекторий и седловые дуги без контакта), а также концы этих дуг. При этом а) соответствующие друг другу концы соответствующих друг другу параболических дуг принадлежат либо соответствующим друг другу особым элементам траекториям или полутраекториям), либо соответствующим друг другу эллиптическим дугам б) концы соответствующих [c.486]

Соответствие между принадлежащими системам D и Г) каноническими областями, каноническими кривыми и их дугами — существующее в силу леммы 1, а также между концами этих дуг, будем тоже называть соответствием по схеме и обозначать топ же буквой 0. Мы будем такн е пользоваться не требующими пояснении обозначениями О (gi) = gi, 6 (Yi) = О (Oi) G i, e ( i) = a, a также 0 (a) == g, 0 (b) == b, [c.488]

Рассмотрим теперь у систем D в D области между сопряженными каноническими кривыми и между сопряженными каноническими дугами. Как и выше (см. 28, п. 8), эти области будем у системы D обозначать через аа, а у системы D — теми же буквами, но со штрихами [c.489]

Эллипс —. множество точек плоскости, сумма расстояний (радиусов-векторов) каждой из которых до двух данных точек той же плоскости (фокусов) есть величина постоянная (равная 2а — большой оси эллипса). На это.м свойстве, называемом фокальным, основано построение эллипса, когда заданы большая ось и фокусы (рис. 3.34). Намечают несколько точек /, 2. 3,... между центром О эллипса и одним из фокусов, из Р проводят дугу радиуса А1, а из — дугу радиуса 1В. В пересечении получают две точки эллипса М и М . Затем проводят из Р дугу радиуса А2 и засекают ее из Р-2 дугой радиуса 25, получают точки и и т. д. Точки N к N строят как точки, симметричные и Мг относительно осей эллипса. Проводя из фокусов дуги радиуса а, получают в их пересечении вершины С и О малой оси эллипса. Если даны оси эллипса, то фокусы находят как точки пересечения с большой осью дуги R = a, проведенной из С или О. Каноническое уравнение эллипса, отнесенное к его осям, имеет вид [c.64]

В качестве достаточного можно использовать следующее условие если в канонической системе координат гиперболы х о у (рис. 39) абсциссы точек N и Т имеют одинаковый знак, точка инцидентна дуге гиперболы, выходящей из точки N. [c.98]

Используя указанное выше разделение круга С на криволинейные секторы различных типов, мы построим некоторую область вокруг состояния равновесия, которую будем называть его канонической окрестностью. Граница этой окрестности является простой замкнутой кривой, состоящей из конечного чис.ла дуг траекторий и дуг без контакта, и называется канонической кривой. [c.349]

Лемма 3. Если положительное направление обхода канонической кривой Е индуцирует на эллиптической дуге 8 направление совпадающее с направлением по I (или противоположное направлению по 1), то направление положительного обхода петель, принадлежащих области //, также совпадает с направлением по I (противоположно направлению по 1). [c.351]

Это соответствие между элементарными областями, являющимися частями канонических окрестностей, и входящими в их границы дугами и концами этих дуг, мы будем также называть соответствием по локальной схеме этих состояний равновесия . [c.355]

Замечание 2. Пусть заранее задано топологическое отображение канонических кривых Е и Е друг на друга, при котором соответствующие друг другу по схеме дуги этих кривых, а также соответствующие [c.355]

Замечание. Пусть 5 — простая замкнутая кривая, состоящая из витка траектории, отличной от траекторий ЬР (т. е. не особой) и дуги без контакта, целиком лежащая в какой-нибудь канонической окрестности континуума К - . Очевидно, все полутраектории Lt пересекают дугу без контакта, входящую в состав этой кривой. При этом циклический порядок этих точек пересечения на кривой 5 тот же, что II циклический порядок этих точек на любом цикле без контакта континуума [c.442]

Лемма 2. Всякая неособая незамкнутая траектория целиком лежащая в С ), которая не является петлей траектории, содержащейся в замкнутой канонической окрестности какого-нибудь состояния равновесия, пересекает в точности одну т-дугу или один свободный ьз-цикл и в точности одну а-дугу или свободный а-цикл. [c.460]

Лемма 1. Если схемы динамических систем В и В тождественны и 2 и соответственно их правильные системы канонических окрестностей, то между каноническими областями, их секторами, каноническими кривыми и их дугами существует следующее индуцированное, взаимно однозначное соответствие [c.486]

В случае, когда дуга — со-параболическая, будем эти части дуги называть со-дугами и обозначать через а-,, а в случае, когда дуга 1, — а-параболическая, будем эти части называть а-дугами и обозначать через bj. Дуги и bj кроме концов не пересекаются, таким образом, ни с одной особой полутраекторией. В частности, дуга или bj может совпадать со всей параболической дугой Нетрудно видеть, что хотя бы один из концов дуги Я или hj принадлегкит особой полутраекторип. Дуги a , hj, а также определенные выше эллиптические дуги, седловые дуги траекторий и седловые дуги без контакта будем называть каноническими дугами канонической кривой Е. Рассмотрим параболическую область, граница которой состоит пз дуги Я (или Ь]) двух полутраекторий, проходящих через концы дуги a (или hj) и состояния равновесия О. Всякую такую область, а также определенные выше эллиптическую и гиперболическую [c.358]

В обозначении полутраекторий и эллиптических областей. Соответствук>-щие друг другу по соответствию 0 полутраектории и эллиптические области будем называть соответствующими друг другу по схеме. При тождествен ности схем состояний равновесия, очевидно, существует также соответствие по схеме между полутраекториями Ь + и L +, L f и L -, выделенными из петель. Рассмотрим канонические окрестности Н и Н состоянии равновесия О и О, пусть Е и Е — ограничивающие пх канонические кривые. Как и в случае состояния равновесия О, особые полутраектории, стремящиеся к состоянию равновеспя О, не являющиеся его сепаратрисами, разделяют каноническую окрестность Н на канонические области, а каноническую кривую Е на канонические дуги <5 и ч- [c.360]

При тождественности полных схем состояний равновесия О 0 индуцируется естественное взаимно однозначное соответствие между каноническими областями канонических окрестностей Нл1 Н, каноническими дугами кривых Е и Е и концами этих дуг, именно 1) Соответствующими друг другу каноническими областями являются области, в границы которых входят соответствующие друг другу по схеме особые полутраекторип. Соответствующие друг другу области имеют одинаковый характер. [c.360]

Замечание. Если заранее задано топологическое отображение канонических кривых Е и Е, при котором соответствующие друг другу по схеме канонические дуги и соответствующие друг другу но схеме концы их отображаются друг в друга, то всегда существует отобрагкение [c.360]

Замечание 2. Траектория, проходящая через конец злемен-тарной со (а)-дуги, не может пересечь свободный а (о))-цикл или а (со)-дугу в точке, отличной от ее концов. Это, очевидно, следует из того, что конец элементарной дуги либо принадлежит особому элементу, либо принадлежит эллиптической дуге канонической кривой состояния равновесия. [c.461]

Прежде чем переходить к рассмотрению сопряженных ю- и а-дуг, рассмотрим наряду с со- и а-дугами со-седловые и а-седловые дуги, являющиеся дугами канонических кривых о-состояний равновесия выбранной правильной системы канонических окрестностей. Напомним, что седловая дуга, через которую трактории входят в соответствующую седловую область, называется ю-седловой дугой, а седловая дуга, через которую траектории выходят из этой области, называется а-седловой дугой. Очевидно, в то время, как элементарные со- и а-дуги ограничивают области притяжения или области отталкивания (со- и а-иараболпческие области и канонические окрестности со- и а-предельпых континуумов), в которые всякая траектория входит и уже больше не выходит, седловые дуги такие области не ограничивают. Однако но отношению к особым траекториям, отличным от состояния равновесия, онп в известном смысле играют роль, аналогичную элементарным дугам. Имеет место следующая лемма, сформулированная для со-дуг и ю-седловых дуг полностью аналогичная лемма имеет место для а-дуг и а-седловых дуг. [c.467]

Реализация операторов РАЗМЕР, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ, СКРУ-ГЛЕНИЕ, КОНТУР связана с выполнением специфичных графических операций, приведенных в табл. 16. Результат выполнения операций — это информация в канонической форме для графических операторов других типов. Например, в результате применения метрических операций к оператору КОНТУР будет получена информация о графических объектах ОТРЕЗОК, ДУГА. [c.183]

Решение прямой задачи по методу сеток заключалось в численном решении в решетчатой области задачи Дирихле для гармонических функций Ф" (х, у) или а(х, у), или, наконец, задачи Неймана для функции Ф(х, у). Эти же задачи сводились к решению интегральных уравнений типа Фредгольма, причем интегралы вычислялись вдоль контуров профилей и их ядра сушественно зависели как от формы просЬилей, так и от положения точки на профиле (дуги профиля). По методу конформных отображений решение краевой задачи для функций Ф(х, у) и ФДх, у) отпадает, так как эти функции определены в канонических областя> , зато возникает новая задача нахождения конформного отображения данной решетчатой области на каноническую, т. е. построения отображающей функции z Z). Решение последней задачи, по существу, также оказывается задачей Дирихле для гармонических функций х( , т ), у( , т ) или aгg т ), [c.145]

DKAH — построение дуги окружности каноническим способом [c.310]

Б. Б. Девисон и Б. К. Ризенкампф указали, что решение может быть получено и без дополнительной квадратуры, ес ли имеются две общие точки пересечения дуг (отрезков) контура области движения Щ и Ша = 2 — 2- В этом случае решение получается непосредственным конформным отображением многоугольных областей Рх = 1 — и = = / — Ша на каноническую область С. [c.602]

Односторонняя каноническая окрестность предельного континуума. Рассмотрим отличный от состояния равновесия и-предельный континуум, причем для определенности предположим, что он является ю-предельным с положительной стороны. Пусть АГ+ — этот континуум. Проведем через какую-нибудь точку Р какой-нибудь отличной от состояния равновесия траектории входящей в состав конт1шуума АГ+, дугу без контакта I, содержащую точку Р внутри (кроме точки Р дуга без коптакта I не может иметь общих точек с континуумом К, см. лемму 2, следствие 1 3). [c.424]

Пусть теперь К и К 0-предельные коитипуу.мьг, в состав которых не входят угловые и граничные дуги, а у и у их канонические окрестности, в границы которых входят соответственно замкнутые траектории Ь а Ь. [c.431]

ЦИКЛ с также в направлении, согласованном с направлением по t). Тогда топологическое отображение замкнутых канонических областей у и Y всегда может быть построено таким образом, чтобы заданное соответствие между точками континуумов и и циклов без контакта С и С сохранялось. Для этого, очевидно, концы М и М дуг и л нужно взять в точках, соответствующих по заданному отображению точкам Mi и М, а между точками отрезков без контакта Л и X нулчно брать соответствие, индуцированное соответствием, заданным меледу точками циклов без контакта С и С. Наконец, устанавливая отображение между элементарными четырехугольниками и седловыми областями, соответствующими друг другу по схеме, нужно сохранить заданное соответствие в точках этих замкнутых областей, принадлежащих континуумам /(lJ и (см. замечание к леммам главы VHI, устанавливающим тожде-ствеппость элементарных областей). Аналогичное замечание справедливо и в случае, когда рассматриваются а-предельные континуумы Kt. и пли 0-предельные континуумы и [c.432]

Доказательство. Докажем сначала, что условие а) всегда может быть выполнено. По определенгпо нормальной гранщы входящие в нее дуги траекторий, а следовательно, и их продолн ения — угловые дуги не могут принадлежать орбитно-неустойчивым траекториям или полутраекториям, целиком лежащим в С. На границе не лежит, в частности, ни одно состояние равновесия. Множество Е, состоящее пз точек, принадлежащих граничным и угловым дугам, очевидно, является замкнутым множеством. Любое состояние равновесия 0 находится, следовательно, на ненулевом расстоянии от него, и всякая каноническая окрестность, содержащаяся в достаточно малой 11 (О,), очевидно, не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим а) все простые замкнутые кривые (С), (о), (Г), являющиеся несвободными циклами без контакта в) все параболические дуги без контакта (/), входящие в канонические кривые (а) состояган равновесия, не являющихся узлами в) все граничные дуги без контакта (X). [c.459]

Области между сопряженными каноническими кривыми и между сопря/кенными элементарными дугами. Рассмотрим ири сделанном ьыборе правильной системы канонических окрестностей точки области С, не лежащие в канонических окрестностях и на их грающах. [c.478]

Доказательство. Пусть Р — точка рассматриваемого особого элемента, не лежащая ни в какой из канонических окрестностей или на ее грашще (т. е. не лежащая и на канонической кривой). Если у этого особого элемента (т. е. у орбитно-неустойчивой траектории, иолу-траектории, угловой полутраектории или угловой дуги) существует точка, являющаяся концом а- или ш-дуги (в частности, граничной), то в С1глу непрерывной зависимости решения от начальных условии нетрудно убедиться в справедливости утверждения леммы. В частност1г, утверждение леммы всегда справедливо в случае, когда точка Р лс/югт на угловой дуге, угловой полутраекторпи или орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой принадлежит границе области G. (Во всех этих случаях на особом элементе есть точка, принадлежащая границе области G, являющаяся концом граничной элементарной дуги.) [c.480]

В первом случае в силу леммы 7 траектория д непременно проходит через конец ш-дуги, и тогда, очевидно, траектория входит в цепочку, соединяющую концы сопряженных дуг. Во втором случае, повторяя неоднократно проводившееся рассуждение, нетрудно видет)>, что мы дойдем до траектории Ьц такой, что все траектории , Ьц различны, а 0 является ш-продолжеиием д с положительной стороны. Но тогда в силу теоремы 71 траектория входит в некоторый ш-, а- или О-предельный континуум и все ее точки принадлежат границе некоторой канонической окрестности предельного континуума, что противоречит условию. теммы. Лемма доказана. [c.481]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...