Полутраектория положительная, отрицательная

Определение И. Точка М называется предельной точкой положительной отрицательной) полутраектории ( ), если при всяком е > О и при всяком У > О е С/е М) имеется по крайней мере одна точка полутраектории Ь ) отличная от точки М или совпадающая с ней), соответствующая при любом выборе движения на траектории значению времени > Т С — Г). [c.103]

Всякие две положительные (отрицательные) полутраектории, выделенные из одной и той же траектории, имеют одни и те же предельные точки. Рассматриваемые нами полутраектории (ограниченные на плоскости или произвольные на сфере) непременно имеют в силу компактности ограниченной замкнутой области или сферы по крайней мере одну предельную точку. Если полутраектория лежит целиком в области 0 с С, то и предельные точки ее принадлежат области С,. [c.103]

Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют также (о-предельным (а-предельным) множеством или континуумом. Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют а (ш)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда пользоваться символами К а и К , или Ка (L) и К а, (L). [c.106]

Л е м м а 4. Если точки пересечения полутраектории с дугой без контакта 1о расположены на части дуги о, лежащей по положительную отрицательную) сторону траекторий Ьо- то точки пересечения той же полутраектории Ь+ с дугой без контакта I также расположены на части дугу I, лежащей по положительную отрицательную) сторону от о- (На рис. 60 точки пересечения полутраектории Ь с дугами 1о и I лежат по отрицательную сторону от Ьо-) [c.110]

Определение IV. Мы будем говорить, что траектория Ьд является предельной для полутраектории и с положительной отрицательной) стороны, если на дугах без контакта, проведенных через точки траектории Ьо, тючки полутраектории и лежат по положительную отрицательную) сторону от Ьд. Мы будем также говорить, что траектория Ьо является со- или а)-предельной для траектории Ь с положительной стороны, если Ьо является предельной с положительной стороны для полутраектории Ь Ь ), выделенной из траектории Ь. [c.110]

Положительная (отрицательная) полутраектория называется орбитно-устойчивой, если она является полутраекторией ш (а)-орбитно-устойчивой траектории. [c.259]

Если обе полутраектории L%i и Ь м , входящие в границу сектора g. положительны (отрицательны), то при положительном обходе кривой о на одной из этих полутраекторий индуцируется направление, совпадающее с направлением по t, а на другой — противоположное направлению по t (рис. 158). [c.268]

Пусть одна из рассматриваемых полутраекторий положительна, например а другая — отрицательна — - [c.269]

О п р е д е л е н и е XX. Если полутраектория Ь является продолжением полутраектории L+ с положительной (отрицательной) [c.275]

Следствие. Если одна из полутраекторий положительна, а другая отрицательна, то а) либо между полутраекториями [c.326]

Одна из входящих в границу сектора g полутраекторий положительна, а другая отрицательна, и эти полутраектории не являются сепаратрисами. Поэтому в силу следствия из леммы 5 либо существуют лежащие в секторе g а- и со-сепаратрисы состояния равновесия О, либо в этом секторе лежит петля о. В последнем случае эллиптическая область ga отлична от области ga, так как эти области содержатся соответственно в двух областях g и g, не имеющих общих точек. Лемма доказана. [c.329]

Между двумя последовательными по схеме положительными (отрицательными) полутраекториями лежит со-параболическая (а-параболическая) область. 2) Между двумя последовательными по схеме полутраекториями, из которых одна положительна, а другая отрицательна,не являющимися полутраекториями II Lf, выделенными пз Рис. 210. одной петли, лежит гиперболическая об- [c.352]

Предположим, что точка О является общей точкой из менее чом двух кривых 81, и пусть при надлежащей нумерации— 51, г,. .., — те из кривых SJ, которые имеют точку О общей. Очевидно, в состав каждой из кривых (/ = 1, 2,. .., т) входят две стремящиеся к О полутраектории, положительная ЬХ и отрицательная (таких полутраекторий только две в том смысле, что всякая стремящаяся к О и входящая в состав кривой б з полутраектория либо является частью одной из полутраектории Lt, Ь с, либо содержит ее как часть). [c.436]

Если (u-продолжение дуги lu-i — угловая полутраектория Ь , то она проходит через конец сопряженной с а дуги Ъ, являющейся простой не граничной дугой и лежащей от нее по положительную отрицательную) сторону. Полностью аналогичное утверждение справедливо и при рассмотрении ( -дуги Ь.) [c.476]

Если Мо — точка траектории Ь, которая при выбранном на Ь движении соответствует значению t = 1о, то множество точек Ь, соответствующих значениям i (или же о), называется положительной полутраекторией (соответственно отрицательной полутраекторией), выделенной из Ь, и обозначается соответственно через Ь (или ). [c.18]

ЛЕММА 4.26. Пусть точка покоя р, обладающая компактной окрестностью, неустойчива по Ляпунову в положительном (отрицательном) направлении. Тогда в любой ее окрестности (р, ) р найдется отрицательная (положительная) полутраектория. [c.118]

ТЕОРЕМА 5.26. Для того чтобы точка покоя р, обладающая компактной окрестностью, была асимптотически устойчивой по Ляпунову в положительном (отрицательном) направлении, необходимо и достаточно, чтобы существовала окрестность этой точки 3(р, ео) р, не содержащая отрицательных (положительных) полутраекторий. [c.119]

Точку Мо мы иногда будем называть концом полутраектории. В дальнейшем нам часто придется рассматривать полутраекторию без указания на то, является ли она положительной или отрицательной. В этом случае мы будем обозначать полутраекторию через и или Ьщ. [c.35]

Из определения 11 следует, что если точка М является предельной точкой положительной полутраектории то либо а) существует последовательность различных точек полутраектории Ь+, соответствующих значениям времени к =1, 2,. . . ) таких, что М —>М, а >оо при к- оо, либо б) сама точка М соответствует бесчисленному множеству значений 1=1) таких, что — -1-оо при к—> оо. Аналогично обстоит дело с предельной точкой отрицательной полутраектории. [c.103]

Определение III. Точка М называется предельной точкой траектории L, если она является предельной точкой для положительной полутраектории L+ или отрицательной полутраектории L, выделенной из L. В первом случае точка М называется также (о-предельной, а во втором [c.104]

Мы можем без ограничения общности считать, что V есть круг с центром в точке О, внутри и на границе которого не содержится других состояний равновесия кроме точки О (так как О — изолированное состояние равновесия). Обозначим граничную окружность круга II через а. Покажем сначала, что существует положительная или отрицательная полутраектория, целиком лежащая в 11. Допустим, что такой полутраектории нет. Пусть о — окружность с центром в О, лежащая в 7 (т. е. внутри а), М — произвольная ее точка, Ь — траектория, проходящая при 1=1 через М (рис. 70). В силу сделанного допущения траектория Ь выходит из области и как при убывании, так и при возрастании Рассмотрим дугу АВ этой траектории, где А — ближайшая по < к значению точка входа Ь в О, а В — ближайшая по к значению to точка выхода Ь из П (эта дуга кроме своих концов А и В, через которые траектория Ь входит в О и выходит из и, может иметь внутренние точки, лежащие на окружности о. Тогда в этих точках траектории Ь касается окружности а (рис. 70)). Обозначим расстояние от точки О до дуги АВ траектории В через / (М). f (М) является положительной функцией, определенной на окружности о. [c.118]

Полутраектория может быть продолжаема но отношению к окружности С с одной только стороны, иапример, с положительной, или с обеих сторон, и с положительной и с отрицательной. [c.266]

О). В самом деле, тогда и вокруг каждой точки полутраектории L+ можно было бы указать такую окрестность, чтобы все пересекающие эту окрестность траектории не выходили бы из ео-окрестности L , что невозможно по самому выбору числа ео. А отсюда следует, что в случае, когда полутраектория L+ орбитно-неустойчива, все траектории, пересекающие либо часть дуги Я,, лежащую по положительную сторону L i, либо часть дуги Я,, лежащую по отрицательную сторону L i (либо и туи другую части дуги Я,), при возрастании t выходят из окружности С. Теорема доказана. [c.267]

Если одна из полутраекторий L% положительна, а другая Lu— отрицательна, то при положительном обходе кривой о индуцированное на этих полутраекториях направление либо на обоих совпадает с направлением по t, либо на обоих противоположно направлению по t (рис. 159). [c.268]

I, лежащую по положительную отрицательную) сторону полутраекторип Ь и при возрастании I выходят из окружности С. т. е. полутраектория Ь продолжаема с положительной отрицательной) стороны относительно окружности С, то непременно существует отрицательная полутраектория Ь м, являющаяся продолжением Ь с положительной отрицательной) стороны относительно окружности С. [c.270]

Если полутраектория выделенная из траектории L, стрем1[тся к состоянию равновесия О и продолжаема с положительной (отрицательной) стороны, то траектория L называется со-продолжаемой с положительной (отрицательной) стороны. При этом полутраекторпя L -, являющаяся продолжением полутраектории L+, а также траектория L, из которой выделена полутраектория L , называется со-пр одолжением полутраектории L+ с положительной (отрицательной) стороны (илп полутраекторией и траекторией, являющейся о-иродолжсипем траектории L). Совершенно аналогично определяется а-продолжаемая траектория и ее а-продолжение. [c.276]

Если через все точки некоторой окрестности состояния равновесия О проходят только положительные (отрицательные) полутраекторип, стремящиеся к нему, то такое состояние равновеспя называется топологическим узлом ). При этом топологический узел называется устойчивым, ссли все стремящиеся к нему полутраектории пологкптельны, и неустойчивым, если все стремящиеся к нему полутраектории отрицательны. [c.327]

Следствие. Пусть g — тот из секторов, ограниченных двумя положительными (отрицательными) полутраекториями п Lt it Рис. 198. L im и LiMf), выделенными нз траекторий Ьу и 2 одной и той же эллиптической области, у которой все достаточно близкие к О точки принадлежат той же эллиптической области. [c.330]

Пусть, как и выше, С/ (О) — Бо-окрестность состояния равновесия О, кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволинейные секторы gi, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разделяют окрестность Ugg (О), подразделяются особыми полутраекториями, не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криво.линей-ные секторы. Принимая во внимание лемму 5 17, нетрудно убедиться в том, что между двумя последовате.льными в циклическом порядке особыми полутраекториями лежит а) со-параболическии ссктор, если обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе полутраектории отрицательны б) эллиптическая или гиперболическая область, если одна из этих полутраекторий положительна, а другая отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные эллиптические об.ласти состояния равновесия. [c.357]

Определение XXXIV. Мы будем говорить, что схемы динамических систем В и В тождественны с сохранением ориентации и направления по I, если существует взаимно однозначное соответствие 6 между всеми особыми элементами динамической системы В и всеми особыми элементами динамической системы В, при котором состояниям равновесия О соответствуют состояния равновесия О, траекториям Ь — траектории Ь, положительным отрицательным) полутраекториям 1 ) — положительные отрицательные) полутраектории (Ь ) и т. д., и которое удовлетворяет следующему условию схема динамической системы В получается из схемы динамической системы В заменой каждого особого элемента системы В соответствующим ему в силу соответствия 0 особым элементом системы В. [c.484]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Точка р и движение / р, <) называются устойчивыми по Лагранжу в положительном (отрицательном) направлении (обозначение уст. I (/. )), если замыкание (2-) полутраектории /(р,/ )(/(/>, )) явля. ется компактом. Если же точка р и движение / р, <) устойчивы 1+ и одновременно (Ер компактно), то они называются устойчивыми по Лагранжу (обозначение уст. ). [c.33]

ТЕОРЕМА 1.11. Точка р и движение /(р, I) устойшвы по Пуассону в положительном (отрицательном) направлении тогда и только тогда, когда полутраектория /(р, I ) (/(р, 1 )) не гомеоморфна полупрямой. [c.48]

С этим уравнением мы уже встречались дважды (9.8.7) для /с > О и (9.9.14) для А < 0. Зпак к, конечно, существен между задачей о притяжении и задачей об отталкивании имеется существенная разница. Что же касается знака р, то он не играет особенно важной роли, поскольку замена р на —р и на —t приводит к тому же самому уравнению. Положительная полутраектория (траектория для положительных значений t) в одной задаче такая же, как отрицательная полутраектория (траектория для отрицательных значений t) в другой задаче, отличающейся знаком р. Будем считать, что р > О ). [c.185]

Читься. ЧТО одно из чисел Т , или оба они несобственные). Будем называть множество точек Ф(р. t) Tj < i < Tj траекторией системы (1.2) и обозначать Ф(/>. Iq). Множество точек Ф р, t) О i Гз будем называть положительной полутраекторией. Аналогично определяется отрицательная полутраектория. [c.11]

Уравнение кривой в п а-раметрической фор-м е или уравнение траектории. Если добавлено условие i>0, то это положительная полутраектория, исходящая из точки 1,. . ., Х ), если <0, то отрицательная [c.557]

В случае, когда траектория Ь является состоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрицательная полутраектории, выделенная из нее, совпадает с ней самой. Полутраекто-рию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамкнутой полутраекторией, а полутраекторию, выделенную ня замкнутой траектории (очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть замкнутой полутраекторией. [c.35]

В п. 7 1 мы ввели термины положительная полутраектория, отрицательная полутраекторпя, просто полутраектория, и ввели обозначения для них. Мы будем пользоваться этими же терминами и обозначениями и в случае сферы. [c.66]

В дальнейшем, для краткости, мы будем через М 1) обозначать точку траектории, соответствующую значеншо параметра 1. Кроме того, все доказательства, относящиеся к свойствам полутраекторий (а иногда и сами формулировки этих свойств), мы будем давать только для положительных полутраекторий, не оговаривая каждый раз, что они справедливы и для отрицательных. [c.103]

Наряду с этим сепаратрисой седла называют также любую положительную полутраекторию, выделенную из траектории Ьс или Ьс (такие полутраектории называются со-сенаратрисами), и любую отрицательную полутраекторию, выделенную из траектории Ьщ или с-, (а-сепаратрисы). При этом обычно все со-сепаратрисы (или все а-сепаратрисы), выделенные из одной и той же траектории (например, все а-сепаратрисы, выделенные из дц), не считают отличными друг от друга. При таком условии каждое седло имеет всегда в точности четыре сепаратрисы — две а- и две ю-сепа-ратрисы ). [c.160]

Мы будем называть продолжением полутраектории Ь относительно окружности Сне только саму полутраекторию /уд7-, ной траекторию из которой нолутраектория Ь г выделена. Очевидно, полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия, не может иметь более двух продолжений по отношению к данной окружности С — одного с положительно , другого с отрицательно стороны. [c.270]

Следующая лемма сформулирована в предположении, что рассматривается положительная полутраектория Полностью аналогичное утверждение может быть доказано и для отрицательной полутраекторип. Окружность С, полутраектории Ьм, дуга без контакта I и т. д. в этой лемме имеют тот же смысл, что и выпге. [c.270]

Доказательство. Для доказательства леммы нужно показать, что существует отрицательная полутраектория Ь , стремящаяся к состоянию равновесия О и удовлетворяющая определению XIX. Предположим для определенности, что дуга I, конец Q которой лежит на Ь 1, паходится по положительную сторону полутраектории Ь . Возьмем на дуге I последовательность точек стремящихся к точке Q. По предположению траектория при i = о проходящая через любую из точек Qi, при / > [c.270]

Дальнейшие предложения мы формулируем только для положительных полутраекторий, продолжаемых по отношению к некоторо окружности с положительной стороны. Полностью аналогичные предложения справедливы и для полутраекторий (как положительных, так и отрицательных), продолжаемых относительно некоторой окружности с отрицательной стороны. [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...