Материальная производная

IH Теорема моментов (для материальной Производная по времени от точки). Пусть какая-либо точка массы т [c.318]

Индекс, обозначенный малой буквой латинского алфавита с запятой после него, о значает дифференцирование в частных производных по пространственной координате х, а точка обозначает материальную производную. Если из суммы необходимо выделить одно слагаемое, в котором не должно происходить суммирование, то один из повторяющихся индексов заключается в скобки. [c.8]

Для установившегося движения трещины отрыва со скоростью V в направлении xi материальную производную любого поля, скажем (/), , можно заменить производной v(f),i. Нетрудно доказать, что при этих условиях интеграл [c.102]

Теперь рассмотрим материальную производную от Ut (т. е. материальную скорость iii), материальную производную от iii (т. е. материальное ускорение й,) и материальную производную от работы напряжений W (т. е. мощность напряжений W). Они имеют такой вид [c.168]

Рассмотрим материальную производную по времени от индифферентного тензора второго ранга Р. Так как в (1.47) орто- [c.33]

Материальная производная следит за изменением исследуемых величин в фиксированных материальных точках [c.27]

В [43] показано, что материальная производная тензора является тензором того же ранга. Наиболее просто получаются выражения для компонент материальных производных тензоров, определенных в материальном отсчетном базисе (в переменных Лагранжа). Так как базисные векторы (ё ) неизменны во времени, для произвольного тензора второго ранга h [c.28]

В декартовой системе отсчета символы Кристоффеля равны нулю и компоненты материальных производных тензоров совпадают с материальными производными компонент тензоров, т. е. [c.28]

Материальная производная индифферентного тензора не является в общем случае индифферентным тензором. В связи с этим кроме материальных производных вводим другие определения производных (скоростей изменения) по времени тензоров. Материальные производные определяют скорости изменения тензоров в фиксированных материальных точках, гипотетический наблюдатель определяет скорости изменения тензоров в этих матери- [c.28]

Ек ли тензоры определены компонентами в материальном текущем базисе, то при вычислении материальных производных учитываются скорости изме- [c.29]

Найдем выражения компонент материальных производных тензоров Н, Н, F, в декартовой системе отсчета, дифференцируя соответствующие равенства в (1.15) [c.30]

Тензоры 1, I связаны с материальными производными тензоров F, равенствами [c.30]

Материальные производные инвариантных тензоров - инвариантные тензоры. При преобразованиях (1.21) справедливо равенство [c.33]

Из (1.47) получим выражения для материальной производной тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функций материальных производных тензоров градиента деформации Р и градиента перемещения Н (= Р) [c.42]

Из (1.60), (1.63) получаются соотношения, связывающие материальную производную тензора деформаций Грина — Лагранжа Ё(2) С тензором скорости деформаций d [c.43]

Формулы (1.91), связывающие материальные производные несимметричных тензоров напряжений Р и Р с материальной производной симметричного тензора 8(2), для UL-подхода принимают вид [c.54]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все скорости тензоров напряжений превращаются в материальную производную тензора напряжений Коши, которая в декартовой системе отсчета, записанная через компоненты, имеет следующий вид [c.55]

Не существует инвариантного тензора деформаций (как явной функции тензора U), материальная производная которого была бы равна d [74]. Поэтому из (1.106) следует, что в рамках определений, введенных выше, для инвариантных тензоров напряжений т и сопряженные инвариантные тензоры деформаций не существуют. [c.56]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

В определяющих соотношениях гиперупругого материала (2.34) используются материальные производные тензоров Р и F. Пользуясь (1.99), (1.31), преобразуем (2.34) к следующему виду ° [c.83]

Вследствие предположения о независимости определяющих соотношений упругопластического материала от естественного времени следует, что материальные производные компонент тензора напряжений Коши <т должны представлять собой однород- [c.86]

Основная гипотеза. Материальную производную тензора деформаций ё можно представить в виде суммы упругой ё и пластической составляющих [c.95]

Материальная производная тензора напряжений связана с материальной производной тензора упругих деформаций ё законом Гука вида (2.11) [c.95]

Материальная производная тензора пластических деформаций ё определяется по ассоциированному закону пластического течения [18] [c.95]

Формальное обобщение определяющих соотношений (2.84) для больших деформаций материальной частицы получается заменой материальных производных <т и ё объективными производными некоторых тензоров напряжений и деформаций [38, 73, 77, 79, 83, 88, 96, 97, 100, 101, 106, 113]1 . [c.100]

Используем для первого обобщения определяющих соотношений (2.84) пару инвариантных сопряженных тензоров (S, Е). В качестве скоростей тензоров напряжений и деформаций возьмем (объективные) материальные производные S и Е. Обобщенные определяющие соотношения записываются в виде [c.100]

В формуле (2.100) предполагается, что материальная производная тензора деформаций Грина — Лагранжа Е выражена через материальную производную тензора градиента деформаций F при помощи (1.61). [c.107]

Здесь. tift —средний тензор напряжения = Q—источник теплоты. Остальные обозначения общепринятые. Суммирование производится по повторяющимся индексам. Индекс, следующий за запятой, указывает на частную производную относительно пространственных прямоугольных координат хь, а верхняя точка обозначает вещественную (материальную) производную, т. е. [c.46]

Уравнения (2.1) — (2.6) записаны в фиксированной (глобальной) декартовой системе координат. В (2.1) —массовые силы, отнесенные к начальному объему, р — плотность недеформирован-ного тела и и,- — ускорения, где точка обозначает материальную производную. [c.131]

При лаграижевом способе описания (1.7) вычисление материальной производной сводится также к частному дифференцированию [c.27]

Таким образом, вычисление производной Ривлина (ОлдроА да) от тензора сводится к дифференцированию по времени же вариантных (контравариантных) компонент в лаграижевом век тор,11ом базисе, в то время, как при вычислении материально производной надо дифференцировать и компоненты, и базисны [c.34]

Отметим еще, что производная по Яуманну от гиротропного или изотропного тензора, материальная производная которого равна нулю, также равна нулю. Для производных Ривлина к Олдройда это несправедливо. Например [c.38]

Соотношениями (6.18) материальная производная по времен порядка п от конвективных тензоров усилий и моментов задает ся как функция производных до (п— 1)-го порядка включитель но. от этих тензоров и производных, до некоторого порядка к о мер деформаций G, В. Для изотропных оболочек функции fi [c.118]

Здесь точка, как ip-прежде, означает материальную производную по времени. ГТравые части соотношений (1.4) могут параметрически зависеть от некоторых постоянных тензоров, задающих анизотропию свойств оболочки. Соотношениями (1.4) можно описать поведение оболочек из материалов, обладающих упруговязкопластическими свойствами. Для упругих 9болочек определяющие соотношения имеют более простой вид [c.127]

Так как в каждый фиксированный момент времени для UL-подхода предполагается 0 = 0, разница между UL- и эйлеровым подходами проявляется в использовании разных определений скоростей величин при UL-подходе рассматриваются материальные производные, а при эйлеровом — локальные производные. Непрерывное изменение отсчетной конфигурации для UL-подхода используется только в теоретических исследованиях. При численных решениях задач пошаговым интегрированием отсчетная конфигурация пересчитывается только для даскретных значений параметра t, соответствующих шагам во времени. [c.22]

Локальная производная используется при эйлеровом описании процесса деформирования, а материальная производная — при ла-гранжевом. В МДТТ, в основном, пользуются лагранжевым описанием деформирования сплошной среды, поэтому в дальнейшем локальные производные величин не рассматриваются. [c.27]

Тензоры второго ранга и называются соответственно производными Олдройда и Коттера — Ривлина тензора второго ранга h. Они связаны с материальными производными выражениями [c.29]

Коротационные производные скалярного произведения тензоров вычисляются тале же, кале и материальные производные скалярного произведения тензоров. Например, для тензоров второго ранга h и р справедливо равенство [c.31]

Если коротадионная производная тензора второго ранга h равна нулю, то материальные производные трех главных инвариантов тензора h также равны нулю, т. е. [c.32]

В общем случае материальные производные несимметричных тензоров налряжений Р и Р не объективны. Приведем связь материальных производных этих тензоров с материальной (объективной) производной тензора пользуясь (1.80), (1.81) [c.53]

Такими же соотношениями связаны материальная производная тензора с и коротационная производная Грина — Макиннеса тензора с [3, 121] [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...