Тензор фундаментальный пространства

Мы убедились в необходимости при решении задачи об определении поля по заданным источникам перейти к представлению о фундаментальном пространстве, метрический тензор которого имеет универсальный вид [c.49]

Так как мы имеем фундаментальный тензор gp в пространстве Q и контравариантный сопряженный ему тензор то можно перейти от контравариантных компонент к ковариантным и обратно. Ковариантное ускорение выражается следующей формулой [c.280]

Здесь - фундаментальный тензор для неограниченного пространства. Это симметричный тензор [c.299]

Получим выражение для вектора смещения в неограниченном пространстве от объемных сил плотностью . Решение поставленной задачи через фундаментальный тензор С/ представляется в виде [c.299]

Когда возникла необходимость выразить фундаментальные уравнения электродинамики и теории упругости в форме, не зависящей от декартовой системы координат, были открыты трехмерные векторное и тензорное исчисления. Поскольку преобразования Лоренца представляют собой вращения в (3+1)-пространстве, естественно обобщить трехмерные векторы и тензоры на четырехмерные и, для удовлетворения требования ковариантности законов природы при этих преобразованиях, записывать фундаментальные уравнения в форме четырехмерных тензорных уравнений. [c.75]

Однако, в соответствии с принципом эквивалентности, нет существенной разницы между устранимыми и неустранимыми полями оба типа полей должны подчиняться одинаковым фундаментальным законам. Допустим поэтому, что поля, обусловленные наличием больших масс (например, Земли или Солнца), описываются в 4-пространстве метрическим тензором так же, как и устранимые искусственно созданные поля. В частности, предположим, что и мировые линии свободных (т. е. свободно падающих) частиц и световых лучей, движущихся в неустранимых гравитационных полях, являются геодезическими в 4-пространстве, которые определяются теми же уравнениями (8.96) и (8.100), как и в случае устранимых полей. Единственное отличие тогда будет в том, что неустранимые поля нельзя полностью исключить с помощью преобразований пространственно-временных координат, т. е. [c.213]

Подставив (15.4) и (15.3) в (15.2), получим все ковариантные компоненты тензора Римана-Кристоффеля в системе хуг, из которых (поскольку речь идет о пространстве трех измерений) различными будут только шесть. Приравнивая их нулю, получим искомые шесть дифференциальных соотношений между компонентами деформации (поскольку и ковариантные и контравариантные компоненты фундаментального тензора являются в данном случае алгебраическими функциями от деформаций гф. Ниже приводятся два из этих шести дифференциальных соотношений. Остальные четыре могут быть получены из приведенных путем циклической перестановки. [c.53]

Из (5.4) видно, что еу можно рассматривать как ковариантные компоненты тензора. Как известно, с помощью любого тензора второго ранга х можно по ковариантным компонентам некоторого тензора образовать его контравариантные компоненты. В метрическом пространстве мы условились в качестве тензора х использовать фундаментальный тензор g. В нашем случае можно поднимать индексы либо с помощью g , либо с помощью g > [c.66]

Дальнейшая теория будет развита для тензоров в метрических пространствах. Обозначим через ds расстояние между точками с координатами х ж dx . Пусть величина ds определена формулой ds = ga dx dx - Матрица gi образует ковариантные компоненты фундаментального метрического тензора д, обратная матрица J I — контравариантные компоненты. Контравариантные век- [c.438]

Последний результат может быть, конечно, получен и непосредственно из соображений общего характера. Действительно, задача определения метрически проективных пространств может быть рассматриваема как частный случай более общей задачи определения фундаментального тензора метрического пространства по компонентам его параллельного перенесения. Дифференциальные уравнения этой более общей задачи уже указаны, в сущности, выше —это формулы (V), в которых Gh и представляют компоненты параллельного перенесешгя. Дифференциальные уравнения (VI) получены из этих общих уравнений в результате подстановки в них выражений (IV) вместо Gki- Условия интегрируемости общих уравнений (V) имеют, как известно, вид [c.43]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

При рассмотрении достаточно больших участков Вселенной важную роль начинают играть гравитационные поля. В общей теории относительности гравитационные поля понимаются как изменение пространственно-временной метрики и описываются с помощью особой величины, называемой фундаментальным метрическим тензором. Метрические свойства пространства-времени образуют как бы своеобразные вненлше условия для системы, у которой изучаются статистические свойства. .. [c.146]

Если применять действительные координаты х в пространстве — времени, то надо различать ковариантные и контравариантпые векторы. Переход от одних к другим выполняется с помощью фундаментального тензора gmn (107.1). Однако геометрия пространства — времени не изменится, если изменить знаки всех величин gmn на обратные. Отсюда, когда мы приведем gmn к диагональному виду, применяя вещественные декартовы координаты, могут иметь место два случая можно взять [c.408]

Асимптотический след за равномерно движущимся телом. В гл. 4 было указано на возможность развития обобщенного муль-типольиого подхода иа другие виды гидродинамических течений. Этот подход оказывается полезен ири построении асимптотического решения для задачи обтекания равномерно движущегося тела и для затопленных струп, распространяющихся в однородном потоке вязкой жидкости. В основу подхода здесь удобно положить интегральную форму уравнений Навье — Стокса получаемую обращением оператора Озеена для линеаризованной задачи. Совершив над этим уравнением преобразование Фурье, можно вывести интегральное уравнение в -пространстве, из которого получены в явном виде первые три члена асимптотического решепия с помощью разложения при А -> 0. Решеиие задачи об обтекании как и в случае затопленных струй, неаналитичио в бесконечно удаленной точке (второй член разложения содержит 1п1 ). Асимптотическое разложение можно представить в виде ряда ио дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров. Главный член асимптотического разложения полностью определяется заданием полного потока импульса и расхода. Остальные два члена разложения определяются, кроме этих интегралов движения, полным потоком момента количества движения. [c.321]

Ограничимся беглым перечислением предлагавшихся до сих пор моделей нарушения фундаментальных принципов (см. краткий обзор [1]). Принцип микроскопической причинности нарушается в многочисленных вариантах нелокальной теории поля. К отказу от традиционной квантово-механической схемы приводит использование индефинитной метрики, кривого пространства состояний и др. Наконец, нарушение третьего из постулатов, на которых основана существующая теория элементарных частиц, — релятивистского постулата — осуществляется либо по линии привлечения общей теории относительности, либо путем наделения частицы аномальными инерционными свойствами (тензор массы, тахионы), либо введением времениподобного 4-вектора , который, наподобие матриц Дирака, имеет один и тот же вид во всех системах отсчета. [c.161]

Для выяснения характера пространства, определяемого фундаментальным тензором (XXV), вычислим риманов тензор. В силу (XXIV) — т> и формула [c.52]

Хотя фундаментальное разложение (1) играет главную роль при доказательстве общих теорем, однако вычисление и, V и К в частных случаях может оказаться громоздким, поскольку при этом обычно требуется выполнить иррациональные действия. В то же время С и В вычисляются путем простого перемножения Р и Р . Если, например дьт и — ковариантные и контрвариантные компоненты метрического тензора в произвольно выбранных системах координат в пространстве и в отсчетной конфигурации соответственно, то компоненты тензоров С и В равны ) [c.101]

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Мы выяснили, что, в отличие от полных фундаментальных динамических величин, локализация их в пространстве, занимаемом полем, не устанавливается лагран-жевым формализмом однозначно. Однозначным образом локализация энергии, импульса и момента находится только в релятивистской теории тяготения— общей теории относительности. При этом выясняется, что правильное распределение в пространстве описывается симметричным тензором энергии импульса [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...