ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Символическая динамика из "Лекции по небесной механике " Кодировка траекторий гладких динамических систем последовательностями натуральных чисел или последовательностями символов некоторого конечного алфавита впервые, по-видимому, была применена для описания глобального поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны (Ж. Адамар, М. Морс и другие см., например, [1] гл. 8, 11). Это послужило толчком для изучения различных свойств гомеоморфизма сдвига в различных подпространствах пространства р-ичных последовательностей. Весь круг связанных с этим идей и понятий получил название символической динамики ([52]). Однако некоторое время после этого отображение Г Ш изучалось главным образом с точки зрения эргодической теории, тем более что оно тесно связано с эргодическими динамическими системами вероятностного происхождения — марковскими цепями и, в частности, со схемой Бернулли. Мы еще вернемся далее к этой связи. [c.55] Наконец, в 1961 году на Киевском симпозиуме по теории нелинейных колебаний С.Смсйл [58] привел пример, существенной частью которого была знаменитая подкова . [c.56] Разумеется, эту конструкцию можно варьировать разными способами. Рассмотрим, например, ситуацию, изображенную на рис. 10. [c.56] По аналогии с теорией вероятностей гомеоморфизм Г называется топологической марковской цепью (ТМЦ), а матрица П = (TTij) — матрицей допустимых переходов этой цепи. [c.58] Локальный диффеоморфизм / — легко продолжить до глобального диффеоморфизма двумерной сферы. Первый этап соответствующего построения — отображение диска в себя — представлен на рис. 11. Далее можно действовать, как в случае подковы , и продолжить / так, чтобы вне диска он имел единственную отталкивающую точку д. [c.59] Легко видеть, что множество пеблуждаюших точек построенного этим способом диффеоморфизма / 5 5 состоит из отталкивающей точки д, гиперболического множества Л и притягивающей траектории периода 3 (точки ко, кх и на рис. 11). [c.60] Этот диффеоморфизм можно считать бесконечно гладким, и для него выполняются условия теоремы Роббина (см. лекции А.В.Катка). Поэтому f является С -грубым, т.е. целая его окрестность в С -топо-логии состоит из диффеоморфизмов, топологически сопряженных /. [c.60] Таким образом, любая окрестность любой точки е 12 содержит периодическую последовательность из О и этим доказано, что периодические точки гомеоморфизма Т плотны в Г2 . Применяя близкие рассуждения, можно построить последовательность = [( ) ], траектория которой и да ке только полутраектория Т , п 0 всюду плотна в 12 . [c.61] Пусть теперь 1/ окрестность произвольной точки е 12 , состоящая из последовательностей, совпадающих с на отрезке номеров пх 11 П2- Пусть блок и)п1, запумсровап нами как и его начало стоит в на месте с номером N. Тогда е и. Поэтому положительная полутраектория п 0 точки й) рано или по. дно попадает в любую окрестность любой точки т.е. всюду плотна. Следовательно, Т 0 топологически тран-зитивно, что и утверждалось. [c.62] Рассмотренный только что диффеоморфизм / 5 5 может показаться слишком искусственным. Однако символическая динамика появляется и в более естественных примерах. [c.62] Рассмотрим на плоскости ХОУ прямоугольники Яа = АВСО, стороны которого АВ и АО — отрезки сепаратрис (6) и (7), ВС и СО — отрезки прямых, параллельных тем же сепаратрисам, но проходящих через точки (1,0) и (1,1) (заметим, что все вершины единичного квадрата изображают одну и ту же точку на торе, а поэтому АО и ВС — отрезки одной и той же сепаратрисы то же относится и к АВ и СО), н Яь = ОЕРС, сторона ОС которого ле кит на АО, ЕР и ЕО — отрезки прямых, параллельных сепаратрисам (6) и (7) и проходящих через (1,1), а ЕС лежит на прямой, параллельной сепаратрисе (7) и проходящей через (0,1) (снова все это разные отрезки одной и той же пары сепаратрис на торе). [c.62] Легко видеть (рис. 13), что объединение Яа и Яь покрывает весь тор (для наглядности куски плоскости, являющиеся одним и тем же подмножеством тора, отмечены одинаковыми римскими цифрами), причем Яа и Яь общих ВПуТрСН-них точек не имеют. [c.63] Рассмотрим теперь, что делает с Яа и Яъ автоморфизм (5). На плоскости он сжимает их в направлении сепаратрисы (7) и растягивает в направлении сепаратрисы (6) в Л = + 2 = 2,618. .. (см. Рис. 13 рис. 14). Образы точек В, С и т.д. обозначены штрихами (А = А и С = В). Образы /(( ), /( ь) снова покрывают весь тор, а пересечения Яа Яь их образами можно разбить на пять прямоугольников О г 4. [c.63] Упоминаемое здесь множество первой категории получается как прообраз сторон прямоугольников Яа Яь тл всех их сдвигов под действием автоморфизма /. Прообраз каждой стороны оказывается в нигде не плотным, поэтому множество, где (р не является гомеоморфизмом, представляет собой счетное объединение нигде пе плотных множеств, что, собственно говоря, и является определением множества первой категории . [c.64] Какие следствия мы можем извлечь из этой теоремы Прежде всего мы уже видели, что периодические точки сдвига Т плотны в О . Если Т о) = и , то из диаграммы (8) видно, что = р Т ъ ) = р и1), а потому р = (р и ) периодическая точка автоморфизма /. Пусть д произвольная точка тора и е 1р д). По доказанному выше, существует последовательность периодических точек — но тогда ( ( 1 ) — последовательность периодических точек автоморфизма /, сходящаяся к = д. Следовательно, периодические точки автоморфизма / плотны в Т . [c.64] Точно так ке доказывается, что в существует всюду плотная (полу)траектория, в силу чего / оказывается топологически транзитивным. [c.64] Проанализировав, какие точки в отождествляются при отображении Lp, МЫ мо кем любой топологический вопрос, относящийся к свойствам автоморфизма /, выразить в терминах топологической динамики . Во многих случаях этот подход оказывается весьма удобным. [c.65] Иэ теоремы А. Н. Колмогорова следует, что в этом случае й = и, т.е. 1 ТА) = г/(Л), что и означает инвариантность меры V. [c.65] Матрица рц называется в теории вероятностей матрицей вероятностей перехода, а — стационарными вероятностями состояний данной цепи. [c.66] Аналогичными рассуждениями Р. Адлер и Б. Вейс установили ([57]), что любой эргодический автоморфизм двумерного тора, задаваемый целочисленной унимодулярной матрицей, изоморфен, с точки зрения эргодической теории, некоторой стационарной марковской цепи. Этот изоморфизм позволил им провести классификацию всех таких автоморфизмов. Единственным инвариантом нри этом оказалась энтропия автоморфизма в смысле А. Н. Колмогорова, равная логарифму модуля того из собственных чисел матрицы автоморфизма, у которого этот модуль больше 1(для эргодического автоморфизма тора одно из собственных чисел обязательно таково). [c.66] Вернуться к основной статье