ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Символическая динамика из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Требование того, чтобы траектория 7 не являлась главной, существенно, поскольку в типичном случае задача Неймана (см. п. 1) удовлетворяет остальным условиям теоремы. Доказательство теоремы 2 напоминает доказательство теоремы 3 из 2. Было бы интересным выяснить, гарантируют ли условия теоремы 2 отсутствие нетривиального аналитического поля симметрий. [c.301] Болотин указал интересное применение теоремы 2 в динамике твердого тела. Речь идет о возмущении приведенной задачи Лагранжа, рассматривавшейся в п. 2. Если постоянная площадей равна нулю, то характеристические числа неустойчивого равновесия оказываются вещественными, и поэтому теорема Деванея неприменима. В [29] показано, что если тензор инерции не шаровой, и центр масс тела несколько смещен относительно оси динамической симметрии (при этом его г-координата отлична от нуля), то возмущенная задача Лагранжа допускает не являющуюся главной трансверсальную гомоклинную траекторию к слабо нерезонансному положению равновесия. Для построения нужной траектории используются идеи теории возмущений (см. 1). Эта задача обсуждается также в работе [51]. [c.301] О 2/ 1 отображение 8 не определено. Геометрический смысл преобразования 8 . В В ясен из рис. 32. Его, можно трактовать как отображение Пуанкаре некоторой динамической системы. Нас будут интересовать траектории, целиком лежащие в квадрате В. [c.301] Лемма 1. Топологическое пространство (fi,T) гомеоморфно А. [c.302] Пусть Т — отображение Q на себя, которое переводит lj = о п в Lj = ii n+i (сдвигая влево элементы на единицу). [c.302] Искомый гомеоморфизм о —+ (х,у) задается формулами (8.2). Доказательство основано на простом сопоставлении (8.1) и (8.2). [c.302] каждой траектории 8 г), г В, п Ъ, содержащейся в квадрате В сопоставлена последовательность символов и) = о п , причем действию отображения 3 отвечает ее сдвиг на один элемент влево. Этот метод кодировки траекторий восходит к работам Адамара, Биркгофа, Морса, Хедлунда по исследованию геодезических на замкнутых поверхностях отрицательной кривизны и составляет содержание символической динамики . Подробнее с этой теорией можно ознакомиться по книгам [4, 221]. [c.303] Доказательство. Периодической траектории отображения 8 соответствует точка (а) = (. а, а, а.) Е С1, где а — некоторый блок из нулей и единиц. Любому элементу и е можно сопоставить последовательность периодических траекторий = = (а ), где а = о п. о п . Очевидно, что о при n— . [c.303] Обсудим теперь вопрос об интегрируемости дискретной динамической системы В, 8). Эту систему естественно назвать интегрируемой, если найдется локально непостоянная функция Г ( интеграл ), инвариантная при подстановке 8 Г 8 г)) = Р г) для всех 2 е В. [c.303] Предложение 2. Отображение 8 . В В не имеет непостоянных аналитических интегралов. [c.303] Л вытекает, что для любой точки z G Л всегда найдутся две последовательности точек из Л, сходящиеся к z по двум независимым направлениям (например, по горизонтали и вертикали). Поэтому производные всех порядков по х, у в точке z равны нулю. Для завершения доказательства воспользуемся аналитичностью F. [c.304] Из этого рассуждения нельзя вывести отсутствие гладких интегралов, ибо Л нигде не плотно. Можно показать, что периодические точки в Л являются гиперболическими и, следовательно, невырожденными. С другой стороны, они плотны в Л, а множество Л — ключевое подмножество в В для класса аналитических функций. Поэтому отсутствие аналитических интегралов можно также установить с помощью результатов п. 1 8 гл. IV. Другой способ доказательства неинтегрируемости основан на применении третьего свойства из предложения 1. Легко видеть, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы периодических точек не совпадают (и пересекаются) это позволяет применить теорему 1 из 2. [c.304] Динамические системы, у которых имеются траектории, всюду плотно заполняющие фазовое пространство, называются транзитивными. Наша система транзитивна на подмножестве А С В, поэтому ее можно отнести к транзитивному типу (термин Биркгофа). Любая неинтегрируемая проблема транзитивного типа может, однако, считаться решенной , если для нее можно указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для разрешения всех вопросов о типах и распределении движений . ) В нашем случае этот алгоритм дает символическое представление траекторий в квадрате В, описываемое теоремой 1. [c.304] что Рт(/ х)) = (Рт+Лх) ДЛЯ всех X е [0,1]. Положим Рк = = Р1 +. .. + (рк-1)/ /к. Легко проверить, что Ркс1х = О и /д с1х = 1. В частности, колебание каждой функции на отрезке [0,1] заведомо не меньше единицы. [c.305] Зафиксируем малое О и большое т. Выберем к 4т /е . Тогда значения функции Рк в точках ж,/(ж)./ (ж) при всех значениях х е [0,1] разнятся не более чем на . Функцию Рк при больших значениях к естественно назвать квазиинтегралом отображения f. [c.305] что N зависит от выбора окрестности V и растет с ее уменьшением. [c.306] Обсудим некоторые следствия теоремы 2. Как и в п. 1, доказывается, что 8 действует на Л транзитивно (имеются траектории, всюду плотно заполняющие Л) и что периодические точки плотны в Л. [c.306] Каждая траектория 5 (а ) х е Л) взаимно однозначно кодируется последовательностью о = а Г2(Л ). Как же устроена эта последовательность Ясно, что в ней всегда имеются нули, и после каждого нуля может стоять либо нуль, либо единица, причем последняя всегда служит началом блока сг = (1,2.Л —1,0). [c.306] Таким образом, и состоит из нулей, между которыми вкраплены блоки сг. При этом не исключено, что блоки а (в конечном или бесконечном числе) идут подряд. [c.307] Вернуться к основной статье