Разностная схема сходящаяся

Остановимся теперь на вопросах, связанных с точностью метода молекулярной динамики, которые становятся особенно важными при усложнении вида потенциала межмолекулярного взаимодействия, так как в этом случае значительно увеличивается время вычислений. Пределы возможностей современных ЭВМ ограничены расчетами систем, состоящих из нескольких сотен чэ- стиц. Поэтому важно проанализировать эффективность используемых разностных схем. Для системы твердых сфер разностные схемы сходятся достаточно хорошо, а для системы частиц с потенциалом взаимодействия Леннард—Джонса сходимость гораздо хуже, так как потенциал взаимодействия сильно зависит от расстояния. Поэтому при первоначальных исследованиях использо- [c.208]

Заметим, что при достаточно малых значениях Дх решение уравнения (3.11) устойчиво и сходится к точному решению исходного уравнения (3 9). Численный метод решения дифференциальных уравнений с использованием разностной схемы вида (3.11) носит название метода Эйлера. [c.59]

Если разностная схема (7.12) аппроксимирует задачу (7.11) с порядком k и является устойчивой, то решение ы ) разностной задачи сходится к точному [и]д, причем имеет место оценка [c.232]

В случае введения консервативной разностной схемы возможность возникновения дополнительных членов в уравнениях исключается и любая консервативная разностная схема для рассмотренной задачи сходится. [c.250]

Теорема. Пусть разностная схема (5.53), (5.54) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (5.50), (5.51). Тогда она сходится, причем из аппроксимации с т-и порядком следует сходимость с т-м порядком. [c.147]

Разностная схема с оператором (5.55) устойчива. Если k,q,f S С [а, Ь], то она обладает вторым порядком аппроксимации и потому сходится со вторым порядком точности. [c.147]

Разностная схема с этим оператором устойчива и при некоторых дополнительных предположениях сходится со вторым порядком точности относительно = max h . [c.147]

Разностная схема (5.59), (5.60) устойчива и сходится при / 1 О, / 2 О (при определенных условиях на гладкость решения) с оценкой погрешности [c.147]

Чисто неявная разностная схема устойчива при любом соотношении шагов сетки (в этом ее основное преимущество перед явной схемой) и сходится при т О, Л - О с оценкой погрешности (5.71). [c.149]

Алгоритм решения такой задачи аналогичен алгоритму решения прямой задачи как серии обратных, описанному в 4 1 3. В первом приближении на оси сопла задается распределение давления, такое же как и на искомом контуре, и от оси решается обратная задача с помощью разностной схемы (3 13. 3.16) до граничной линии тока г )=-фк. Полученное на этой линии тока распределение давления сравнивается с заданным и соответствующее различие вносится в распределение давления на оси, и решение от оси до линии ( = г1 к повторяется. Очевидно, что предложенный алгоритм должен достаточно быстро сходиться. [c.170]

Численные решения конечно-разностных уравнений должны сходиться к точному решению исходной задачи при стремлении шага по пространству к нулю. Это условие выполняется, если схема удовлетворяет определенным требованиям. Во-первых, во всех сверхзвуковых течениях счет устойчив, если величина шага по времени М и шаг по пространству ax связаны критерием Куранта — Фридрихса —Леви [24] [c.36]

В теории разностных схем доказывается теорема если разно-ч тная схема аппроксимирует дифференциальные уравнения и она устойчива, то при уменьшении шагов ее разностное решение сходится к решению дифференциальных уравнений. Обладание свойством сходимости является обязательным требованием, предъявляемым к разностной схеме при численном решении дифференциальной задачи. Если сходимость имеет место, то с помощью разностной схемы можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого шаг к достаточно малым. [c.272]

Численные методы решения, которые находят все большее применение в связи с развитием и широким использованием вычислительной техники. По отношению к рассматриваемой системе дифференциальных уравнений наиболее универсальными являются конечно-разностные методы, в соответствии с которыми дифференциальные уравнения заменяются уравнениями в конечных разностях. Область, в которой производится расчет температурного поля (область О, см. 39), представляется множеством отдельных точек (сеткой) с заданным шагом по осям Ох и Оу. Для каждой такой точки уравнения в конечных разностях образуют систему аглебраиче-ских уравнений, в которые входят и значения искомых функций в соседних точках. В результате решения алгебраических уравнений получают значения искомых функций в узлах сетки, например, таблицу значений температуры в рассматриваемой области О. Важно, чтобы разностная схема задачи была устойчивой — при измельчении шага сетки последовательно получаемые таблицы решений должны сходиться к точному решению задачи (т. е. образовывать сходящуюся последовательность). При применении численных методов значительно расширяется круг решаемых задач конвективного теплообмена и появляется возможность осуществления [c.327]

Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечноразностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. Пусть, например, речь идет об оптимальном программном управлении, обеспечивающем предельное быстродействие для бёсконечномерной системы при ограничении [[ м [<Л , и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев для конечномерных систем условие максимума, фигурирующее в принципе максимума, не вырождается, т. е.- соответствующее выражение Н [ , X ), "ф, м] зависит фактически от и, и тем самым доставляется достаточная информация о значениях ( ). Вследствие этого невырожденного условия максимума оказывается, как правило, что эти значения лежат на границе области 7 ( гг [[<Л ), и их можно найти, зная вектор Ь). Далее, оказывается, однако, что если даже и устанавливается сходимость аппроксимирующих управлений м ( ) к оптимальному управлению и Ь) исходной системы при г -> оо, то в весьма широких случаях эта сходимость имеет достаточно нерегулярный характер и, в частности, аппроксимирующие оптимальные движения сходятся к оптимальному движению исходной системы подчас лишь как к скользящему режиму (хотя весьма нередки случаи, когда на деле этот предельный режим может осуществляться обыкновенным управлением и ( ), регуляризирую-щим, следовательно, данный скользящий режим). На языке принципа максимума это выражается в том, что соотношение, определяющее u (t) из условия максимума, при п оо вырождается (в пределе оно оказывается уже не зависящим от и) и его формальная запись для соответствующей исходной системы с распределенными параметрами имеет лишь относительное значение, поскольку оно не доставляет необходимую инфор- [c.241]

В конечно-разностном случае высокочастотные компоненты не затухают со все более высокими скоростями. ПриЯ ->оо коэффициент усиления 1 . сходится к —I, и веса при высоких частотах изменяют знак на каждом временном шаге. Этого нет в уравнении Галёркина или в полностью неявной разностной схеме. В последней = (1Я А/) и очевидно, что при Я ->-оо. Для схемы Кранка — Николсона, однако, коэффициент станет отрицательным и начнет расти по абсолютной величине при Я/ 2/А/. Наивысшая частота, которую сетка может удержать , равна она обычно превышает 2/А/. Поэтому очень высокие частоты (возможно, присутствующие лишь в малом количестве) действительно ослабляются менее сильно, чем умеренные. Если бы это представило какую-нибудь трудность, то, как и в гиперболических задачах, можно было бы добавить простой диссипативный член. [c.286]

Прежде чем говорить о методах решения полученной системы, отметим фи важнейших свойства разностных схем аппроксимируемость, устойчивость и сходимость решения. Первое означает, что при Ах О и Ау О, т.е. решение системы алгебраических уравнений сфемится к решению исходного дифференциального уравнения. Устойчивой называется схема, для которой ошибки округления при уменьшении шагов Ах и Ау не приводят к большим искажениям решения. Сходимость означает, что по мере уменьшения Ах и Ау решение системы все ближе сходится с истинным решением. Сходимость выступает как следствие аппроксимируемости и устойчивости. Анализ различных конечно-разностных схем на устойчивость и сходимость приведен в [18], [19]. [c.77]

Эти формулы также устойчивы при больших Ре. Значение полученное по формуле (3.443), очень мало отличается от значения, полученного по условию Йенсена (3.441), так как полная ошибка аппроксимации при этом не меняется (Брили [1970]). Но в неявной схеме метода чередующихся направлений итерации для (см. разд. 3.1.16) сходятся быстрее, можно проводить расчеты с большими величинами шагов по времени, а суммарное машинное время сокращается вдвое. Однако программа становится сложнее, так как формулы (3.445) при решении уравнения Пуассона с помощью неявной схемы метода чередующихся направлений приводят к появлению членов в узлах, отстоящих от границы более чем на один шаг таким образом, расщепленные по времени неявные разностные уравнения вдоль у в неявной схеме метода чередующихся направлений не будут трехдиагональными. Для того чтобы исключить эту дополнительную неявность в точках да 1 и + 2, Брили [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...