Уравнение Бесселя линейное

В этом случае вторым решением уравнения Бесселя, линейно не зависимым с функцией J , [c.137]

Уравнение Бесселя. Линейное уравнение с переменными коэфициентами вида х=у"+ху + (х2 — 2)у = о [c.171]

Уравнение (4. 4. 17) является хорошо известным уравнением Бесселя. Его решение можно записать в виде линейной комбинации модифицированных функций Бесселя с нулевым индексом [32] [c.144]

Уравнение (2.59) — уравнение Бесселя, и его общее решение является линейной комбинацией функций Бесселя (т) и J iP (т) порядка iP и —iP, т. е. [c.158]

Величины, заключенные в квадратные скобки, представляют собой определители Вронского, составленные из линейно независимых решений уравнений Бесселя порядка m+l/2, поэтому все они отличаются от нуля и выражаются формулой [c.300]

Решением этого уравнения является линейная комбинация функций Бесселя и Неймана порядка т- -]Л-. [c.208]

Функция У ,(х) тоже является решением уравнения Бесселя и, если V не целое, то функции (х) и J v(x) линейно независимы и общее решение уравнения Бесселя имеет вид [c.171]

Численный метод расчета градиентных оптических волноводов, пригодный для использования в области больших V, заключается в том, что внутри неоднородной сердцевины выделяется область с постоянной диэлектрической проницаемостью [21]. Волновое уравнение (1.2) в этой области и в оболочке имеет вид уравнения Бесселя. Решения его можно представить в явном виде с точностью до постоянных. Значения полей на границах неоднородной области с соседними однородными связаны с помощью матрицы передачи размерностью 4X4. Элементы матрицы определяются в результате численного решения системы уравнений Максвелла методом прогноза и коррекции в неоднородной области сердцевины. Полученная линейная однородная система уравнений относительно постоянных в разложении поля имеет нетривиальное решение лишь тогда, когда ее определитель равен нулю. Равенство нулю определителя дает дисперсионное уравнение, из которого численно определяются постоянные распространения мод. По сравнению с одношаговыми методами удается снизить время счета и повысить точность вычислений. Кроме того, можно рассчитывать ДХ мод в области больших частот, где другие методы дают большую погрешность из-за накопления ошибок в процессе вычислений. Рассмотренный численный метод расчета выгодно отличается от метода, предложенного в работе [52], тем, что нет необходимости предварительно определять точки поворота, разделяющие области колебательного и экспоненциального характера решения. [c.27]

Общее решение уравнения (6.10) представляет собой линейную комбинацию модифицированных функций Бесселя ) [c.143]

Уравнение (2,2,4)-хорошо известное дифференциальное уравнение. решением которого являются функции Бесселя, Общее решение в сердцевине можно выразить как линейную комбинацию функции Бесселя J (Kp) и функции Неймана N (Kp), Функция N (Kp) имеет сингулярность при р = О, поэтому физический смысл имеет только решение [c.37]

Подставляя эти выражения в уравнения (26.28), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций А (г), В (г) и D (г). Эту систему можно легко привести к одному обыкновенному дифференциальному уравнению аналогично 13—15. Решением полученного уравнения являются функции Бесселя. Взяв линейную комбинацию полученных решений, найдем [c.184]

Решение уравнения (2.48) можно представить в виде следующей линейной комбинации функций Бесселя нулевого порядка 0 W и Yq (т) первого и второго рода с постоянными К и К] . [c.154]

В выражение для (г) входит линейная комбинация функций Бесселя и Неймана. Функция Неймана имеет бесконечную особенность при г = 0. Физически очевидно, что эту особенность необходимо исключить, положив константу при функции Неймана (В , см. ниже) равной нулю. Если считать, что диск сделан из однородного материала, т. е. не учитывать неоднородность, в виде пьезокерамического кольца, то при указанных условиях получается следующее уравнение для собственных частот диска [c.302]

Общее рещение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию функций Бесселя первого и второго рода Y r) порядка т. В силу ограниченности решения при г = О оставляем только первое слагаемое, т. е. [c.185]

На поверхности шара должны быть непрерывными азимутальные компоненты электрического и магнитного полей 0, ф, Яе, [/ф. Из этого требования следует, что на поверхности непрерывны следующие величины и, л/гУ, <9(р /)/ф, (рК)/ф. Решения выражаются, как и для идеально проводящего шара, через тригонометрические и шаровые функции с целым индексом и цилиндрические функции с полуцелым индексом. Для области внутри шара следует использовать функции Бесселя, вне шара — функции Ханкеля. Мы не будем здесь приводить вывод и окончательный вид полей дифракции формулы для коэффициентов получаются из систем четырех линейных уравнений. [c.68]

Общие интегралы уравнений (3.8.23), как известно, являются линейными комбинациями функций Бесселя и Неймана первого порядка. Так как функции Неймана при г = О обращаются в бесконечность, то в решение они не входят. [c.566]

Решением уравнения является любая линейная комбинация функций Бесселя У (тд/—/ ), Неймана Л (т V—/ ) или Ханкеля Н п и Нп ) того же аргумента. [c.54]

Решение линейного неоднородного уравнения четвертого порядка (16-25) может быть получено в функциях Бесселя. [c.335]

Так как фазовая скорость волны в диафрагмированных волноводах линейных ускорителей имеет величину, меньшую скорости света, коэффициенты являются мнимыми, а в дисперсионном уравнении появляются модифицированные функции Бесселя /д и 1 . Если скорость волны равна скорости света, то = 0. Для проведения вычислений при Рв = 1 приходится преобразовывать дисперсионное уравнение, рассматривая предельные переходы бесселевых функций при аргументе, стремящемся к нулю. [c.69]

Здесь следует отметить последнюю работу [294], где решение задачи о кручении цилиндра с жестким сферическим включением на оси строится функциями Бесселя и Лежандра и сводится к бесконечной системе линейных уравнений. [c.245]

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет функция Бесселя [c.325]

Важно, что произвольные постоянные, содержащиеся в выражениях для Oi и Фц, определяются по граничным )/словиям независимо. При этом использование ортогональности соответствующих функций сводит этот процесс к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. Ортогональность системы функций Q, (а,г) на интервале г г , может быть показана непосредственно с использованием уравнения для функций Бесселя и соответствующих граничных условий. Это обстоятельство интересно также с физической точки зрения. Сама возможность такого раздельного определения произвола указывает на то, что собственные формы колебаний в выделенном объеме формируются без взаимодействия радиальных и окружных волновых движений. [c.18]

Заметим попутно, что двучлеи, стоящий в квадратных скобках ур-ния (10), есп, функция Ханкеля (кг) , представляющая одно из двух линейно - независимых решений уравнения Бесселя. Другое решение в функциях Ханкеля Н (к/) выражается зностью членов, стоящих в. квадратных скобках ур-ния (10). Таким образом, фуикцня селя является полусуммой функций Ханкеед т. [c.356]

Это уравнение Риккарти, которое сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка для функций Бесселя. Если в (4.46) пренебречь величиной dxjdt (так называемое квази-классическое приближение), то можно получить приближенное решение этого уравнения, которое удовлетворительно описывает поведение х ty. [c.68]

Если п дробное число, то общеё решение уравнения (10.63) может быть представлено в функциях Бесселя J х) и (л ), которые в этом случае линейно независимы. [c.410]

Предположим, что псевдопотенциалы отличаются лишь в пределах одной атомной ячейки, и построим вокруг примеси сферу как раз таких размеров, чтобы все это отличие содержалось в ней. Можно получить точную псевдоволновую функцию внутри такой ячейки для любой энергии, интегрируя уравнение с псевдопотенциалом от начала координат до поверхности ячейки и выбирая решение, регулярное в ее центре. Его следует затем сшить с решением, полученным вне ячейки. Общее решение вне ячейки при равном нулю W (г) есть линейная комбинация соответствующих сферических функций Бесселя и Неймана tii (kr). Последняя представляет собой сингулярное при г = О решение уравнения (2.43) при 0 1 = 0. На больших расстояниях она имеет асимптотику [c.202]

Ряды, которые находятся в левой части этих уравнений, известны под названием рядов Фурье-Бесселя и аналогичны полностью рядам Фурье, которые были рассмотрены в гл. IV, п. 3. Единственная существенная разница между ними заключается в том, что тригонометрические функции синус и косинус последних заменены в данном случае линейными сочетаниями бесселевых функций и а.пГ). Вместе с тем с методической стороны является важным фактором то обстоятельство, что любая произвольная функция, например (г), может быть развернута в форме рядов (9), (10) и (11), допуская условия, аналогичные требуемым в случае разложения ряда Фурье и которые всегда будут удовлетворяться в интересных с физической стороны задачах. Эта форма разложения будет такова, что сумма ряда в любой точке, где g(r) непрерывно, равняется значению (г), а также среднеалгебраическому суммы правого и левого предела д(г) в любой точке разрыва непрерывности [c.523]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...