Средние по ансамблю

Гиббсом — основоположником статистической механики. Фундаментальное достижение Гиббса состоит в том, что он показал, каким образом средние величины характеристик системы как целого могут быть получены при исследовании распределения этих характеристик в данный момент времени среди произвольного, но очень большого числа идентичных систем. Он назвал большое число идентичных систем ансамблем. Системы ансамбля распределены по различным возможным состояниям, причем возможное состояние — это любая из произвольных конфигураций, которые может принимать система. Тогда вероятность найти реальную систему в некотором определенном состоянии соответствует вероятности найти системы ансамбля в этом же состоянии. Таким образом, средние по времени значения для реальной системы соответствуют средним по ансамблю в ансамбле Гиббса. Гиббс показал, что система в замкнутом объеме, находящаяся в тепловом равновесии с тепловым резервуаром, может быть описана так называемым каноническим ансамблем, в котором вероятность Р(Е)йЕ найти систему, имеющую энергию в интервале между Е и Е + йЕ, определяется формулой [c.21]

Расположение центров вторичных частиц или структура моно-дисперсной смеси учитывается с помощью функции распределения Р, показывающей вероятность расположения (г< >,, . ., и позволяющей ввести средние по ансамблю величины. В частности, средняя скорость несущей жидкости определяется как [c.182]

Введенная функция распределения и средние по ансамблю величины определяются бинарной функцией распределения Р (г), показывающей вероятность нахождения центра вторичной частицы в окрестности конца г. Эта функция полагается сферически-симметричной в виде Р г). Исходя из определения числовой концентрации дисперсных частиц п, имеем условие нормировки [c.182]

Когда образцы статистически однородны, мы обычно привлекаем эргодическую гипотезу и предполагаем, что средние по объему совпадают со средними по ансамблю. Среднее по объему обозначается ломаными скобками ( ) и определяется так [c.251]

В разд. II были приведены два вариационных принципа (см. уравнения (10) — (19)), которые позволяют найти границы для е. Эти принципы были сформулированы в терминах средних по объему, но их можно переформулировать в терминах средних по ансамблю, поскольку при определении е предполагалось, что справедлива эргодическая гипотеза [4]. Более того, е определяется равенством (13) через энергию [c.267]

В терминах средних по ансамблю вариационный принцип, приводящий к определению верхней границы, дает [c.267]

Предположим, что измерения аналитического сигнала проводят в некоторой точке Г на временном интервале О — Т. При этом можно получить произведение У(Г , / )К (Г , /г), где t и 2—данные моменты времени в пределах временного интервала О — Т. Если теперь эти измерения повторить большое число раз, то можно рассчитать среднее значение упомянутого произведения по всем измерениям. Это среднее значение называется средним по ансамблю и записывается в виде [c.447]

В этом, а также в следующих двух разделах мы будем рассматривать ситуацию со стационарным пучком которая, например, имеет место либо в лазере, генерирующем в непрерывном режиме одномодовое или многомодовое излучение, которое не синхронизовано по фазе, либо в тепловом источнике света, работающем в непрерывном режиме. В этих случаях по определению среднее по ансамблю будет зависеть только от интервала [c.447]

Процесс называется стационарным, если среднее по ансамблю любой переменной, которая описывает этот процесс (например, аналитический сигнал или интенсивность пучка, как в нашем случае), не зависит от времени. [c.447]

Заметим, что легче иметь дело, возможно, с определением величины через среднее по времени, чем через среднее по ансамблю. Однако определение через среднее по ансамблю является более общим и, как мы увидим в разд. 7.5.4, с помощью выражения (7.11) его можно применить к нестационарным пучкам. [c.448]

Заметим, что в случае стационарного пучка в знаменателе выражения (7.14) два средних по ансамблю равны друг другу и в соответствии с (7.7) каждое из них равно средней интенсивности пучка . Функция у( ), определенная выражением [c.448]

Рассмотрим здесь кратко нестационарные пучки. В этом случае функция в выражении (7.11) зависит по определению от моментов времени t и ti, а не только от интервала между ними r = ti— /2. Примерами могут служить лазер с амплитудной модуляцией, тепловой источник света с амплитудной модуляцией, лазер с модулированной добротностью и лазер с синхронизацией мод. Корреляционную функцию для нестационарного пучка можно получить как среднее по ансамблю многих измерений аналитического сигнала на временном интервале О — Г, причем начало временного интервала синхронизовано с управляющим сигналом (например, синхронизовано с амплитудным модулятором лазера с синхронизацией мод или ячейкой Поккельса в лазере с модуляцией добротности). Степень временной когерентности в заданной точке г можно определить следующим образом [c.456]

В самом деле, когда полностью отсутствуют флуктуации поля, среднее по ансамблю выражения (7.60) будет представлять собой произведение аналитических сигналов. В этом случае из (7.61) найдем, что [c.474]

Требуется найти такие т)д чтобы в среднем по ансамблям шума и фильтруемого сигнала квадрат ошибки восстановления [c.181]

Рис. 4.11. Зависимость средней по ансамблю степени сжатия от приведенной длины световода (сплошная линия), показаны стандартные отклонения флуктуаций соответствующая зависимость для спектрально-ограниченного импульса изображена штриховой линией. Параметр нелинейности =300 [22]

Перейдем к обсуждению статистических характеристик сжатых импульсов, основываясь на результатах математического моделирования [22, 25]. На рис. 4.11 изображена зависимость средней по ансамблю реализаций степени сжатия S от длины световода, выраженной в единицах Для сравнения штриховой линией изображена соответствующая зависимость, вычисленная для спектрально-ограниченного импульса (а=0 в (1)). Видно, что по-прежнему оптимальной для сжатия является длина световода z 2L . Наличие флуктуаций при- [c.185]

Заметим, что при а < а процедура Pi представляет собой оценивание среднего угла наклона фазового фронта по отношению к апертуре. Интегрирование быстрых по сравнению с а флуктуаций хорошо сглаживает их, результатом чего является уменьшение ошибки при Оф/а О. Когда а а, процедура Рг также фиксирует угол наклона фазового фронта по отношению к апертуре. Однако в этом случае флуктуации являются медленными по сравнению с а и только в среднем по ансамблю этих флуктуаций З казанная процедура дает правильную информацию об угле наклона. Естественно, что ошибка измерения в данной ситуации возрастает. В общем случае оптимальная обработка включает в себя формирование и Pi и Рг. что и позволяет оценивать средний угол наклона фазового фронта к апертуре при произвольных значениях [c.120]

Теорема III. Если 0 —какая-либо положительная постоянная, среднее по ансамблю значение выражения (vj обозначает, как обычно, показатель вероятности, а г —энергию) меньше для ансамбля, распределенного с модулем 0, чем для какого бы то ни было другого распределения. [c.134]

Теорема VI, Среднее по ансамблю систем значение tj-I-F (где 7) обозначает, как обычно, показатель вероятности и F — [c.135]

Выше мы определили величину, которую мы назвали модулем 0 ансамбля систем, канонически распределенных по фазам, и величину, которую мы назвали показателем вероятности 7) какой-либо фазы подобного ансамбля. Мы показали, что между модулем 0, внешними координатами Aj, а ,. .., средними по ансамблю значениями энергии е, показателя вероятности т) и внешних сил А , А , развиваемых системами, существует следующее дифференциальное уравнение [c.167]

Статистические аспекты квантовой механики удобно описывать с помощью ансамбля невзаимодействующих копий системы, находящихся в одном и том же квантовом состоянии I Ф( )). Каждая из систем ансамбля может быть обнаружена при измерении в одном из базисных состояний а), причем среднее по ансамблю любой динамической величины В вычисляется по формуле (1.2.13). Введенный таким способом статистический ансамбль называется чистым квантовым ансамблем. [c.25]

Мы видим, что в смешанном ансамбле, в отличие от чистого, различные квантовые состояния Фу,( )) не интерферируют так как в определении средних по ансамблю (1.2.18) складываются не волновые функции, а средние значения. Напомним, что в чистом ансамбле система описывалась бы суперпозицией состояний Фу.( )) ив выражении для средних присутствовали бы перекрестные члены, связывающие различные состояния, если Ф ( )) не являются собственными состояниями данной динамической переменной [см. (1.2.13)]. [c.26]

Одним из достоинств временного усреднения (9.4.2) является то, что оно, в общем-то, соответствует процедуре проведения экспериментальных измерений. Однако с точки зрения теоретических исследований удобнее определить наблюдаемые величины как средние по ансамблю реализаций движения. Каждая реализация описывается уравнением Навье-Стокса, в котором скорость v(r, ) рассматривается как случайная переменная. Такая процедура усреднения гораздо ближе к определению средних, принятому в статистической механике. При этом, конечно, возникает вопрос, совпадают ли средние по ансамблю реализаций со средними по времени. Хотя этот вопрос заслуживает внимания, но скоро мы увидим, что основные проблемы в теории турбулентности не связаны с выбором процедуры усреднения. В дальнейшем все наблюдаемые величины будут рассматриваться как средние по ансамблю реализаций. Это позволит нам воспользоваться методами статистической механики. [c.256]

Явная статистическая формулировка дается в разд. III. Вводится понятие среднего по ансамблю и рассматривается его связь со средними по объему. Обсуждается бесконечная цепочка статистических уравнений и указывается, что полное решение задачи возможно лишь на основе общей функциональноаналитической постановки. Делаются некоторые замечания о численных решениях. [c.244]

Броуновское движение) и обладает тем свойст вом, что если увеличить любой её фрагмент, то мы увидим такую же кривую. Т., изображённая на рис, 2, является случайной, и имеет смысл говорить лишь о статистич. ансамбле таких Т. Полностью определёнными являются только средние по ансамблю величины. Напр,, квадрат ср. смешения частицы как ф-ция времени i есть [Л, Эйнштейн (А. Einstein), [c.154]

Из (27) следует, что в рассматриваемом приближении средняя по ансамблю длительность импульса и время корреляции изменяются по одинаковому закону Ти(0=Уз(О Го> г (0= 2Ткф/<т. Эти величины остаются постоянными при [c.107]

Таким образом, мы приходим к идее статистаческого описания системы многих тел. Здесь математический объект, представляющий систему,— это уже не некоторая точка в фазовом пространстве, а совокупность точек в фазовом пространстве, причем каждая из них характеризуется определенным весом, выраженным некоторым числом. Такая совокупность точек, каждой из которых приписывается определенный вес, будет далее называться ансамблем. Наблюдаемое значение динамической функции отождествляется со средним по ансамблю значением микроскопической функции. Значение, полученное таким способом, интерпретируется как усредненный результат большого количества идентичных экспериментов. [c.50]

Таким образом, мы полностью присоединяемся к той группе физиков (к ней принадлежат, в частности, Толмен и Ландау), которые считают, что эргодическая теорема является любопытным свойством динамических систем, но не имеет отношения к обоснованию статистической механики. Выход из обсуждавпшхся выше трудностей заключается в том, чтобы рассматривать средние по ансамблю (П.7.2) как первичное определение макроскопических динамических функций, не вводя какой-либо более фундаментальной концепции. Эргодическая теорема, таким образом, отходит на второй план. Более того, отпадает упомянутая выше главная трудность. Теперь макроскопическая величина В в (П.7.2) уже может быть функцией времени. В самом деле, соответствующую функцию Ь можно считать зависяш ей от времени и при этом усреднять ее по ансамблю тогда ожидаемое значение будет, очевидно, зависеть от времени. Не нужно вводить какого-либо немеханического предположения для определения закона эволюции во времени он задается самими уравнениями механики b t) = U t)b [см. (1.2.24)]. В силу соотношения (П.7.2) данный механический закон эволюции индуцирует закон эволюции макроскопических величин B t) [см. (2.2.9)]. [c.386]

Но Среднее по ансамблю значешю какой-либо величины (средние мы будем вообще обозначать горизонтальной чертой над символом этой величины) определяется уравнением [c.53]

Ииыми словами, среднее по ансамблю значение величины, представленной главной скобкой, равно нулю. Это должно быть справедливо для любого значения со. При уменьшении о> среднее значение скобок в пределе, когда ш исчезнет, окажется тождественным со значением для г = е. Но е может означать любое значение энергии, исключая наименьшее возможное. Мы имеем, следовательно, [c.129]

Из соотношения (1.1) и табл. 1.1 следует, что для определения эффективных характеристик неоднородного материала (НМ) необходимо определить распределение физических полей во всех компонентах (столбцы 2 и 3), а потом уже перейти к квазигомогенной среде (столбец 4). Ясно, что это очень трудная задача, для решения которой требуется детальная информация о геометрии, ориентации и расположении всех составляющих компонентов неоднородного материала. Воспользуемся эргодической гипотезой, согласно которой среднее по объему совпадает со средним по ансамблям. Иными словами, допускается, что эффективные свойства неоднородного материала не зависят от исследуемого образца, пока все образцы материала имеют одинаковую в статистическом отношении структуру. Итак, для определения эффективных свойств НМ нужна только статистическая информация о его внутренней структуре, которая не одинакова для различных образцов, полученных при близких условиях. [c.6]

При обоих подходах рассматривается влияние геометрического отношения р для стержнеобразных молекул на фазовый переход нематик—изотропная жидкость. Оказывается, что при некоторой критиче- ской объемной концентрации стержней возникает спон- тайно упорядоченная фаза квазипараллельных стерж- ней, т. е. нематическая фаза. В табл. 1 приведены зависящие от р объемные доли стержней в изотропной (фс) и упорядоченной (ф ) фазах в точке фазового перехода. Обе теории дают таклсе критическое значение параметра порядка Зс — У2<3соз2 0— среднего по ансамблю углового отклонения длинных [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...