Дуффинга

Решение уравнения методом Дуффинга. В основе этого метода лежит прием исключения вековых членов, указанный М. В. Остроградским для задачи о свободных колебаниях нелинейной системы. Следуя Дуффингу, ограничимся рассмотрением кубической характеристики [c.246]

Пример. Вынужденные колебания в механической системе с нелинейной характеристикой типа Дуффинга описываются дифференциальным уравнением [c.41]

В Восстанавливающая сила изменяется по закону (осциллятор Дуффинга) [c.146]

Способ Дуффинга, который оказывается более удобным в случае плохой сходимости ряда (6.1.19). [c.322]

Если воспользоваться методом Дуффинга, то для определения неизвестных амплитуд j, получаем систему уравнений [c.95]

Рис. 1.1. Семейство амплитудно-частотных характеристик для уравнения Дуффинга

Рис. 5.5. Графики дисперсии для уравнения Дуффинга при узкополосной случайной нагрузке

Рис. 5.6. Устойчивые и неустойчивые решения уравнения Дуффинга (штриховые линии — неустойчивые ветви)

Аналогичным уравнением можно описать и нерезонансную нелинейную добавку к показателю преломления в среде, нелинейный отклик которой описывается уравнением типа уравнения Дуффинга [c.75]

Она отличается от резольвенты ядра Дуффинга только множителем е Р . Это ядро часто применяется в настоящее время для конкретных численных расчетов. Оно хорошо протабулировано Колтуновым соответствующие графики, таблицы и варианты расчета его параметров приведены в монографии [146. [c.51]

Итак, рассмотрим осциллятор с кубичной нелинейностью, описываемой уравнением Дуффинга [c.215]

Примерами хаотизации движений осциллятора внешними периодическими возмущениями могут быть хаотические движения в уравнении Дуффинга и осцилляторе Ван-дер-Поля. Пример хаотизации периодическим параметрическим воздействием был указан выше (уравнение (1.23)). Был приведен и пример хаотизации при инерционном изменении параметра (уравнения Лоренца). Более подробное рассмотрение этих примеров и многих других будет дано позднее — в гл. 7 и 9. [c.22]

Прежде всего рассмотрим нелинейный осциллятор, описываемый уравнением Дуффинга и находящийся под действием гармонической внешней силы, содержащей, в общем случае, постоянную составляющую [c.267]

Степенное ядро Дуффинга ) [c.216]

В степенном ядре ползучести Дуффинга констант материала [c.396]

Пример. Уравнение Дуффинга д д = 0. [c.313]

На всей оси х уравнение Дуффинга имеет вид [c.375]

Подставляя (28) в (9) получаем уравнение Дуффинга, содержащее у [c.379]

В случае, когда в уравнении Дуффинга имеется у, существуют две возможности в поведении сепаратрис [c.379]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

В случае, когда в уравнении Дуффинга имеется у, то суш,ествуют три возможности в поведении сепаратрис 1) сепаратрисы нигде не пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис. 4) 2) сепаратрисы пересекаются в бесконечном числе точек и в этом случае возникает хаотическое движение луча. [c.816]

Уравнение Дуффинга (70) при = О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При <5 > О уравнение (70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при <5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность [c.816]

Замкнутая форма решения (метбд Дуффинга). Рассмотрим поведение колебательной системы на произвольно выбранном периоде U, + т], где т = 2л/(о. Принимая за нуль отсчета момент начала данного периода, запишем решение уравнения (3.3) в виде [c.84]

Дуффинг [13] предложил изменение вязкости по окружности подшипника считать пропорциональным изменению толщины слоя смазки. Используя понятие локальной вязкости, Фрейденрайх [14] исследовал влияние переменной вязкости на распределение давлений. Однако здесь возникают трудности, связанные с необходимостью читывать постепенное повышение температуры в слое смазки за счет внутреннего трения. [c.201]

Полученный здесь результат аналогичен результату исследования нелинейных случайных колебаний, описываемых уравнением Дуффинга. Как показано в гл. 5, при узкополосных случайных воздейстйиях также получаются неоднозначные решения, отра-жаюш,ие явление затягивания амплитудно-частотных характеристик и перескока отдельных реализаций с одной устойчивой ветви на другую. Статистическое истолкование полученных результатов нуждается в дополнительных пояснениях. [c.204]

Учет электромагнитных процессов в электродвигателе при нахождении йд рассмотрен в [59]. Действие произвольного возмущающего момента М (f) можно исследовать двумя способами способом Дуффинга или представляя функцию М (О рядом Фурь , коэффициенты которого находятся по известным формулам [68]. [c.58]

Рассматривались и другие варианты автосинхронизации [Кобелев, и др., 1986]. Так, колебания осцилляторов можно поддерживать периодическими импульсными толчками, что приводит (при должном выборе периода) к усилению эффекта. Возможно использование излучения при срыве стационарных колебаний осциллятора Дуффинга под действием внешней силы с амплитудой, достаточной для появления неоднозначности на резонансной кривой, при этом фазы колебаний различных осцилляторов могут разбросаться естественным образом. Наконец, интересную возможность создает аналог сверхизлучения Дикке, когда случайно разбросанные по фазам в начальный момент осцилляторы, затухая, генерируют импульс когерентного излучения. [c.219]

Ударные волны огибающих 208 Уравнение Бюргерса 10 Дуффинга 215 Кортевега - де Вриза 31 Лайтхилла 9 [c.233]

Частными случаями этого уравнения являются известные уравнения Дуффинга, Хилла и Матье, а также линейный осциллятор под действием внешней гармонической силы. Такой же вид имеет осциллятор Ван-дер-Поля с внешним гармоническим воэдей-ствием. [c.15]

Вынужденные колебания нелинейной системы, описываемой уравнением Дуффинга, исследовать столь просто не удается. И поныне это уравнение исследовано не полностью. Без особого труда удастся исследовать только случай малых затуханий б и а > 0. Резонансные кривые имеют при этом вид, показанный на рис. 1.11, и отличаются от резонансных кривых линейного осциллятора (рис. 1.10) наклоном ника и появлением неодноднознач-ности. Наклон происходит влево или вправо в зависимости от знака величины Ь в уравнении Дуффинга (1.18). Этим наклоном и неоднозначностью вызывается известное явление гистерезиса амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении частоты V внешней силы. Опо состоит в скачках амплитуды и том, что эти скачки происходят [c.16]

Исследовапие выпуждеппых колебаний нелинеппого осциллятора Дуффинга обнаруживает еще одну особенность резонанс возможен не только па частоте V = со, по и V = со/2, со/3,. .. (со = а). Это —так называемые субгармонические резонансы. [c.16]

ВынужАенные колебания. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора мы рассмотрим на примере уравнения Дуффинга [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...