Тензор в декартовых инварианты

Заметим, что главные значения симметричного тензора заданного в декартовых координатах компонентами г /, в главных осях имеют компоненты г ( =1, 2, 3), выражающиеся через инварианты [c.216]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Интенсивность тензора. Тензор ставится в соответствие какой-либо физической величине, которую он характеризует однозначно. Интенсивность тензора есть скалярная величина, которая хотя и не однозначно, но в значительной степени характеризует физическую величину. Интенсивность тензора Г — неотрицательная величина корня квадратного из абсолютной величины второго инварианта девиатора. Учитывая (1.95)—(1.97), получим формулы для Тщ в индексной записи и в подробной записи в произвольной криволинейной системе координат, в прямоугольной декартовой и в главной системе координат [c.48]

Инварианты тензора скоростей деформаций. В рассматриваемой точке деформируемого тела в момент времени t можно выбрать прямоугольную декартову систему координат—главную систему координат T l, Til, T] тензора скоростей деформаций, в которой матрица (1 ) [формула (II1.4)J принимает согласно (1.75) диагональный вид [c.102]

Используя лагранжеву систему координат, рассмотрим нелинейное упругое изотропное тело. Обозначим лагранжевы координаты, которые совпадают в недеформированном состоянии с декартовыми, через х,, Х2, Хз. Будем считать, что упругий потенциал является произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функцией алгебраических инвариантов Ат тензора деформаций Грина [c.12]

Однако тензор как таковой, являясь выражением некоторой физической величины, не зависит от координатной системы и, следовательно, представляет собой неизменяющуюся величину (инвариант). Поэтому естественно стремление формулировать все физические законы в форме тензорных уравнений, которые справедливы для всех координатных систем. Эта так называемая ковариантная формулировка следует в общем случае из тензорного анализа (называвшегося ранее, абсолютным дифференциальным исчислением), причем ограничения на декартовы координаты отпадают. [c.311]

Инварианты тензора деформаций в прямоугольной декартовой системе координат [c.339]

Износостойкость, закономерности в различных режимах механического нагружения 299 сл. Изоклины 126, 127 Изотермическое каландрование 86 Изотропное равновесное состояние 46 Изохроны 126, 127, 133, 194 Инварианты тензора деформаций в прямоугольной декартовой системе координат 339 Индукционный период вулканизации 71 сл. [c.351]

В теории тензоров большое значение имеют их инварианты. Так называют комбинации компонентов тензоров, остающиеся неизменными при переходе от одной системы координат к другой. Инвариантами симметричного тензора второго ранга будут, в частности, его три главных значения, равные экстремальным значениям компонентов тензора, стоящих на главной диагонали его матрицы. По аналогии с доказанным для тензоров деформации и напряжения можно утверждать, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат, в которой матрица симметричного тензора будет иметь вид [c.99]

Таким образом, используя наряду с основным базисом взаимный базис нам удалось выразить скалярный инвариант вектора через его коварианткые и контравариантные компоненты, не привлекая компоненты метрического тензора в форме, аналогичной выражению инварианта в прямоугольной декартовой системе координат [c.29]

Дальнейшее изложение ведется преимущественно в декартовой системе координат ОХ1Х2Х3 однако все результативные соотношения формулируются в инвариантной форме зависимостей между векторами или тензорами и инвариантами тензоров. Поэтому переход к криволинейным координатам нигде не составляет труда. [c.102]

Теперь, как и в случае декартовых координат, рассмотренном в 4.9, образуем новые тензоры с помощью операций сложения, прямого умножения и свертк . При сложении двух тензоров ранга п получим новый тензор того же ранга, а при умножении тензоров рангов п и т получим тензор ранга (п + пг). Однако следует заметить, что эти операции имеют смысл только в том случае, если оба тензора берутся в одной точке 4-пространства. Наконец, операция свертки, которая в случае криволинейных координат заключается в приравнивании верхних и нижних индексов с последующим суммированием, уменьшает ранг тензора на две единицы. Свертка тензора ранга 2 дает тензор нулевого ранга, т. е. инвариант [c.218]

Поскольку в этой книге мы не используем трехмерный векторный анализ, нам достаточно будет лишь перечислить здесь несколько формул, чтобы помочь читателю сравнить наши формулировки с имеющимися в других работах. С этой целью мы фиксируем какую-нибудь прямоугольную декартову систему координат и будем предполагать, что все-другие системы координат имеют ту же ориентацию, что и эта. Тогда векторный инвариант Тх [в оригинале Gibbsian ross — Гиббсов крест . — Рей.] тензора Т—это вектор, такой, что [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...