Ортогонализация

Покажем, что всегда можно произвести ортогонализацию векторов Nji. Эта ортогонализация будет равносильна замене [c.31]

Чтобы построить систему векторов применим известный процесс ортогонализации ). Положим [c.32]

Очевидно, процессу ортогонализации векторов N3, соответствует замена соотношений (1.23) и (1.24) эквивалентными соотношениями [c.32]

Предварительно следует провести ортогонализацию векторов N31 а = I, 2,. .., к 4- О так, как это было указано в 6, и найти множители Vj по формуле (1.33). [c.34]

Интегрирование основного уравнения (8.7) с учетом различных условий на торцах и боковых поверхностях цилиндра, а также вычисление искомых функций Fh (8.8) было проведено на ЭЦВМ Минск-22 шаговым методом с последующей ортогонализацией по методу С. К. Годунова [135]. [c.311]

Вырожденные собственные значения. Пусть одному и тому же собственному значению принадлежит не одна собственная функция, а несколько. В этом случае данное собственное значение называем вырожденным. Собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны друг другу, но ортогональны другим собственным функциям, принадлежащим другим собственным значениям. Однако с помощью процесса ортогонализации (см. 21) собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, всегда можно подобрать так, чтобы они были ортогональны друг другу. [c.108]

Ортогонализация собственных функций, принадлежащих вырожденному собственному значению. В случае вырожденных собственных значений поправка вычисляется к собственному значению, которому принадлежит не одна собственная функция, а несколько. Как известно, [c.238]

В работе [23 ] для построения регрессии предложено использовать метод ортогонализации независимых переменных, являющийся многомерным аналогом полиномов Чебышева. В новых переменных уравнение запишется следующим образом [c.180]

С вычислительной точки зрения метод ортогонализации является удобной методикой, при которой на каждом шаге при включении в уравнение нового фактора не требуется неоднократного решения системы нормальных уравнений, а коэффициенты регрессии определяются по удобной вычислительной схеме, что дает возможность экономить машинное время. [c.181]

Необходимо отметить, что моделирование задач на ЭВМ показало, что метод ортогонализации оказывается чувствительным к порядку включения переменных. При одном и том же наборе факторов, но разном порядке их включения в модель, могут получиться уравнения с почти одинаковой дисперсией, но содержащие разные переменные. Поэтому выбор окончательной модели должен проводиться исследователем исходя из физической интерпретации полученных результатов. [c.182]

Построение многомерных моделей объекта на основе методов ортогонализации, шаговой регрессии, исключения, включения [c.183]

Процесс ортогонализации Грама — Шмидта. [c.154]

Если ортогонализация достигается простыми средствами (умозрительными — из соображений механики), то она весьма целесообразна и ею необходимо пользоваться. Если же ортогонализация достигается специальным преобразованием (перестройкой) некоторого предварительно принятого неортогонального базиса, то такой путь далеко не всегда следует использовать, во-первых, потому, что трудоемкость этого процесса часто не ниже, чем решение системы с матрицей (или обращение этой матрицы), соответствующей исходному базису, а, во-вторых, в процессе этой ортогонализации встречаются все те же особенности, которые приводят к потере точности и при решении системы уравнений или обращения матрицы. [c.580]

Машина выдает 12 компонентов вектора состояния в 50 узлах ортогонализации и в начальной точке. Так как нагрузочные члены Ф, QR, а также величина радиального перемещения при х = введены-в программу увеличенными в 10 раз, все компоненты вектора также получаются о множителем 10. Время счета — около 8 мин. На рис. 3.42, 3.43 результаты расчета представлены графически. Индексами и и р помечены соответственно напряжения изгиба и растяжения. Кружками отмечены значения напряжений в этой же оболочке, вычисленные аналитически [401. [c.202]

При небольших числах волн по окружности fe краевые задачи для уравнений (5.95). и (6.96) можно решать методом начальных параметров. При больш их fe эти уравнения имеют быстро растущие решения и следует применять для расчета методы прогонки или ортогонализации (см. гл. И), При расчете на ЭВМ можно исполь-вовать (с заменой формульной части) приведенную в приложении программу. [c.277]

Для преодоления трудностей, связанных с наличием быстро возрастающих и быстро убывающих решений дифференциального уравнения, разработаны специальные расчетные методы. Ниже рассмотрены три таких метода — метод ортогонализации С. К. Годунова и два варианта метода прогонки. Способы, связанные с заменой дифференциальных уравнений разностными, не приведены. [c.460]

Метод ортогонализации С. К. Годунова [c.460]

С. К. Годунов предложил метод ортогонализации, который позволяет получать численное решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений, когда наряду с убывающими имеются и быстровозрастающие решения [28]. [c.460]

Затем при начальных условиях, определяемых векторами z< >, интегрируют однородные и неоднородные уравнения на третьем участке, снова проводят ортогонализацию и т. д. [c.465]

При практическом использовании метода С. К- Годунова следует иметь в виду, что вычисляемые в процессе ортогонализации скалярные произведения векторов состояния физического смысла не имеют. Поэтому результат ортогонализации (но не результат расчета в целом) существенно зависит от выбора масштабов отдельных компонентов вектора состояния. Для повышения точности расчета при минимальном числе узлов ортогонализации целесообразно выбирать масштабы так, чтобы числовые значения компонентов вектора были близкими по порядку величинами. [c.467]

С помощью программы вычисляются не только основные неизвестные, но также всё внутренние силы, перемещения и напряжения. Вывод на печать производится в каждой из точек ортогонализации (число таких точек — до 50). [c.480]

SK — номер последнего узла ортогонализации, совпадающего с правой границей интервала интегрирования [c.480]

Z[ . N, — матрица ортогональных решений системы, формирующаяся в каждом узле ортогонализации [c.480]

ОМЕГА [I /С, 1 /С] — верхняя треугольная матрица коэффициентов ортогонализации в узле [c.480]

V (1 Ki, 1 S/ ] — матрица коэффициентов ортогонализации в узлах столбец S матрицы V представляет собой развернутый по строкам верхний треугольник матрицы [1 К, [c.481]

Н — интервал между узлами ортогонализации (между выводами результатов) [c.481]

Оператор V позволяет записать уравнение Шредингера для псевдоволновой функции ф таким образом, что V играет роль потенциала. Этот оператор V и называют псевдопотенциалом. Из (П 1.18) очевиден его физический смысл из потенциала взаимодействия электрона с ядром и остальными электронами (t/(r)<0) вычитают потенциал его взаимодействия с электронами остова (еа<0). Итак, с помощью процедуры ортогонализации, нами введен псевдопотенциал более слабый, чем истинный потенциал. Таким образом, исходное уравнение Шредингера сведено к уравнению (П1.19), в котором роль потенциала U играет псевдопотенциал V, а роль истинной волновой функции г з играет псев-доволновая функция ф. Эта функция, несомненно, удовлетворяет теореме Блоха и может быть представлена в виде, аналогичном (4.25), (4.26). Более того, все выкладки, приводящие к (4.23) или (4.42), логично провести и исходя из (П 1.19). Поэтому далее вместо f/gMbi будем использовать Vg. [c.69]

Внутри остова происходит почти полная компенсация влияния ядра и электронов остова в связи с особенностями процедуры ортогонализации [15, 16], и в псевдопотенциале Ашкрофта предполагается, что эта компенсация является полной, и на электроны поле как бы не действует. Параметр находится из условия совпадения величины какого-либо надежно определенного физического свойства с результатами расчета с помощью псевдопотенциала пустого остова. Затем, используя найденное (подогнанное, как говорят в литературе о псевдопотенциалах) значение Гс, рассчитывают другие характеристики материала. В качестве опорных свойств выбирают оптические константы, электросопротивление жидких металлов и т. п. [c.70]

Пользуясь тем, что число условий, налагаемых на функции в процессе ортогонализации, меньше числа коэффициентов, имеюпщхся в нашем распоряжении, можно положить = пР ять [c.239]

Функции же второй системы получим из первой следующим образом осунтествим ортогонализацию функций р па отрезке (0, ро), а функций ф2 — па отрезке (— /а)- Обозначим полученные таким образом функции через р,- и ф,-. Произведения же этих функций и образуют вторую систему координатных функций [c.630]

Этот процесс ортогонализации собственных векторов, соответствующих кратному корню Я, такой же, как процесс ортогонализации произвольной системы функций. Он также подобен процессу, которым мы пользовались в главе 5 в случае кратных собственных значений тензора инерпии. Поэтому неопределенность, вносимую в выбор векторов а двукратным корнем X, можно объ- [c.358]

Кроме того, применение метода ортогонализации юзволяет решать задачу построения математической лодели объекта поэтапно. На первом этапе строится /равнение регрессии, линейное относительно рассматриваемых факторов. Если такое линейное уравнение адекватно прогнозируемому объекту, то задачу по-атроения математической модели объекта можно считать решенной. Если уравнение регрессии неадекватно, го необходимо перейти к следующему этапу, на котором в уравнение регрессии включаются новые переменные типа х] и ХгХ/. Если коэффициенты регрессии при новых переменных оказываются незначимыми и переход к квадратичному уравнению незначительно уменьшает остаточную дисперсию, то это означает, что в уравнение регрессии не включен фактор, который оказывает существенное влияние на свойства объекта. Поэтому третий этап заключается в нахождении новых факторов, существенно влияющих на развитие прогнозируемого объекта, и включении их в уравнение регрессии. [c.181]

Интегрирование уравнения (3.128) можно проводить уже после интегрирования основной системы, так как эта система является вамкнутой, и практически всегда. имеется достаточное количество граничных условий для ее интегрирования (исключением, являются только статически неопределимые оболочки, т. е. оболочки, в которых осевая сила F (s) не может быть определена из уравнения равновесия). Лишь в исключительных случаях (короткие и пологие оболочки) система уравнений (3.124)—(3.127) может быть проинтегрирована-методом начальных параметров. Чаще же, в связи с наличием краевых эффектов, метод начальных параметров оказывается неприменимым, и следует использовать либо метод ортогонализации С. К. Годунова, либо метод-факторизации (см. гл. И.) [c.193]

Приведенная в приложении программа осуществляет решение краевой задачи для уравнений (3.124)—(3.127), причем исполь вуется метод ортогонализации С. К, Годунова (см. гл. 11). Вместо суммарной нагрузки F (s) в программу введена нагрузка на 1 рад [c.195]

Система уравнений в табл. 5.1 приведена в размерной форме. Для численного расчета нетрудно перейти к безразмерным переменным, введя соответствующие нормирующие множители. При этом может быть использован проетой прием введения линейного и еилового масштабов, рекомендованный в 16. Расчет, как правило, должен выполняться методом прогонки или методом ортогонализации (см. гл. 11), так как в связи с наличием быстро возрастающих решений метод начальных параметров оказывается обычно неприменимым. При использовании метода ортогонализации С. К. Годунова программа для расчета Л-го члена разложения отличается от приведенной в Приложении программы осесимметричной задачи только размерностью матриц. [c.265]

S= О, 1,. .., SK — номер точки ортогонализации и вывода на печать полного вектора состояния (сов-мещеггие узлов ортогонализации и вывода не обязательно) [c.480]

BETA [1 N1, О 5/(] —матрица произвольных постоянных в узлах ортогонализации [c.481]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...