Осциллятор с квадратичными членами

Исследовать методами теории возмущений возмущение одномерного гармонического осциллятора линейным или квадратичным членом в гамильтониане и сравнить результат с точным решением уравнения движения. [c.204]

Осциллятор с квадратичными членами [20]. Рассмотрим осциллятор, уравнение которого [c.363]

В приближении гармонического осциллятора ограничиваются только квадратичным членом Б разложении (рис. 18.1, а). [c.277]

Оценим очень грубо частоту колебаний юо. Потенциальная энергия, действующая между соседними ионами кристалла, порядка еУ№о). гое е — заряд иона, а <1 — расстояние между соседними ионами в кристалле (так называемая постоянная решетки). При изменении на малую величину характеризующую отклонение иона от положения равновесия, потенциальная энергия приобретает вид е /[ е1+1)ео. Разлагая эту величину по степеням учтем, что линейный по член выпадает вследствие равновесия ионов в кристаллической решетке (он характеризует силу в положении равновесия, равную нулю). Следующий, квадратичный по член имеет порядок величины Приравнивая его к колебательной энергии гармонического осциллятора по порядку величины, мы получаем оценку для характерной частоты, (Оо колебаний ионов в узлах решетки [c.71]

Отличные от нуля решения системы уравнений (29) возможны лишь при определенных нормальных частотах oj, обращающих в нуль детерминант, образованный членами в квадратных скобках (29). Таких мод будет ровно Зге—6. Остальные 6 корней системы уравнений (29) равны нулю, поскольку трансляционные (3 степени свободы) и вращательные (еще 3 степени свободы) движения всех частиц как целого не сопровождаются появлением возвращающих сил. Это положение строго обосновывается в курсах аналитической механики (см., например, [164]), где доказывается, что при определенном выборе линейного преобразования координат в выранче-нии (27) исчезают смешанные произведения qlq) и остаются только Зге—6 квадратичных членов ( ) , здесь — новые координаты. При этом Зге уравнений движения (28) преобразуются в Зге—б уравнений для гармонических осцилляторов, имеющих Зге—б нормальных частот колебаний. Согласно квантовой механике дискретный энергетический спектр каждого осциллятора описывается формулой [c.39]

Таким образом, выражение для энергии в нормальных координатах не содержит перекрестных квадратичных членов, но в пего входят перекрестные члены третьей п четвертой степени, и, следовательно, оно уже не янлнется суммой энергий независимых (хотя бы и ангармонических) осцилляторов. При отсутствии у молеку.ты симметрии все коэфициенты и отличны от ну,тя п симметричной молекуле некоторые из пих могут быть равны пулю. Последнее обусловлено тем, что потенциальная энергия не должна изменяться при любых операциях симметрии, соответствующих точечной группе молекулы. По этой причине антисимметричные нормальные координаты в (2,263) могут встречаться только в четных степенях. Так, например, в молекуле Н 0 коэфициенты а,] , а , а,., и ag.,, при кубических членах должны равняться пулю, так как в противном случае происходило бы изменение потенциальной энергии при отражении в плоскости симметрии. Аналогичные условия имеют место и для некоторых коэфициентов при членах в четвертой степени. Дальнейшее упрощение ангармонической части потенциальной функции можно получить только в том случае, если сделать некоторые предположения, соответствующие предположениям о системе валентных сил при гармонических колебаниях (см. Редлих [727]). [c.223]

Важной особенностью этой задачи является то, что при ее решении, строго говоря, нельзя пользоваться колебательными термодинамическими функциями, вычисленными в гармоническом приближении. Действительно, если ограничиться в разложении потенциальной энергии членами, квадратичными по отклонению от равновесного расстояния между атомами, то в таком (осцилляторйом) потенциальном поле (кривая 1 на рис. 68) возможно только финитное движение атомов с дискретным спектром энергий, а разрыв молекулы на атомы в этом приближении описан быть не может. Диссоциация, строго говоря, может быть описана при учете ангармоничности колебаний, а также связи колебаний и вращений. При этом возникает потенциальный барьер (кривая 2 на рис. 68) и возникает возможность перехода в сплошной спектр — относительное движение атомов становится инфинитным. Такое строгое решение задачи о диссоциации является, [c.240]

Если в (55,5) можно пренебречь членами, квадратичными, кубическими и т, д. по х, то приходим к уравнению движения (9.32) линейного осциллятора. При учете этих членов осциллятор называется ангармоническим, а его колебания — ангармоническими колебаниями. Ясно, что для ангармонических колебаний зависимость х( ), в линейном случае выраженная формулой (9.36), усложняется и не будет линейной. Поэтому поляризованпость [см. (15.13)], которую удобно представить в виде [c.328]

В настоящей статье мы выберем именно этот путь для определения нелинейной части поляризации. В 2 выводятся квантовомеханические выражения для нелинейных индуцированных электрических дипольных моментов с точностью до членов, квадратичных и кубичных относительно напряженности поля. Эти выражения иллюстрируются на примере ангармонического осциллятора. В 3 устанавливается связь между микроскопическими нелинейными свойствами среды и величинами, характеризующими макроскопическое поле. Обсуждается также запаздывание и моменты более высоких порядков. В 4 нелинейная поляризация вводится в уравнения Максвелла. Решения этих уравнений в явной форме для бесконечного нелинейного анизотропного диэлектрика даны в 5—7. Они описывают взаимодейст- [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...