Общая форма уравнений небесной механики

I. Общая форма уравнений небесной механики. В 143 гл. VII этой книги были выведены диференциальные уравнения основной задачи небесной механики — задачи о многих телах. [c.377]

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре О проблеме трех тел и об уравнениях динамики [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе Новых методов небесной механики [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой. В том и другом случае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении. [c.36]

Осреднение системы, имеющей каноническую форму, может в общем случае привести и к неканонической системе. Если же согласовать преобразование, приводящее исходную систему к осредненной форме (в выборе такого преобразования всегда имеется произвол, например, в случае (3) мы наблюдали появление произвольных величин о (х)) с одной из четырех форм канонических преобразований (см., например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика, М., 1958), то можно добиться канонической формы и для осредненных уравнений, что во многих отношениях весьма удобно. Схемы осреднения небесной механики, например, строятся обычно именно таким образом. Эта проблема рассматривалась Э. Л. Бурштейном и Л. С. Соловьевым (1961), А. М. Федорченко (1957), а также применительно к небесной механике Н. Д. Моисеевым (1954), Е. А. Гребенниковым (1964), [c.127]

После того как динамическая система описана каноническими уравнениями Гамильтона, возникает проблема решения этих уравнений. В задаче двух тел канонические уравнения Гамильтона могут быть решены аналитически. В большинстве других задач, встречающихся в небесной механике и астродинамике, решить уравнения аналитически не удается. Однако, используя методы общей теории возмущений, можно строить решения в виде рядов. Найденные таким образом решения будут справедливы на некотором отрезке времени. При построении полного решения методом последовательных приближений можно, проводя соответствующие преобразования, на каждом этапе получать дифференциальные уравнения, являющиеся по форме по-прежнему каноническими и имеющие в качестве переменных так называемые постоянные интегрирования, полученные в предыдущем приближении. Описанная процедура может повторяться столько раз, сколько потребуется. [c.216]

Уравнения такого вида впервые применялись в работах Лагранжа и Пуассона по небесной механике. Трактовка их как общей формы уравнений движения механических систем под действием потенциальных сил была дана позднее Гамильтоном (для систем свободных точек), Якоби (для систем со стационарными связями), Остроградским и Донкином (для систем с нестационарными, вообще говоря, связями). Для нас основой такой трактовки послужит [c.129]

Заметим, что в общем виде эта задача до сих пор еще не решена. Сам А. М. Ляпунов разобрал и исследовал только наиболее простые случаи, когда характеристическое уравнение имеет или только один нулевой корень или два чисто мнимых корня. Для приложений к небесной механике, однако, эти сомнительные случаи представляют наибольший интерес. Действительно, уравнения небесной механики обычно имеют каноническую форму, и, следовательно, характеристическое уравнение системы в вариациях (см. 9) имеет одинаковое число корней с положительными и отрицательными действительными частями. Следовательно, если действительные часги всех корней отличны от нуля, то невозмущенное движение всегда будет неустойчивым. Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо, но разумеется недос паточно, чтобы действительные части всех корней были равны нулю, т. е. чтобы характеристическое уравнение имело только чисто мнимые корни. [c.479]

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона—Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системц а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы. [c.297]

После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной механики и для классической теории атома Бора—Зоммерфельда. Построение этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Галгильтона. Затем надо установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.827]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Теорема 12 отмечена Пуанкаре в п. 19 его Новых методов небесной механики (1892) [51]. Там же дано общее определение инвариантных соотношений, занимающих промежуточное положение между решениями и интегралами. Теорема Пуанкаре переоткрыва-лась разными авторами (см., например, трактат Т. Леви-Чивита и У. Амальди [43], гл.Х). На самом деле теорема 12 фактически содержится в теории характеристик Монжа дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В отличие от уравнения Гамильтона—Якоби, в теории Монжа рассматриваются уравнения, которые могут явно содержать неизвестную функцию. Поэтому в общем случае теорему 12 формулируют в несколько иной форме (см. по этому поводу [41]). [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...