ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Градиентные потоки из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Эту формулу легко вывести, заметив, что направленный вниз единичный вектор, касательный к сфере в точке (ж, у, г), имеет вид (хг, уг, -(ж° -Ь г/ ))/ /ж + у . Абсолютная величина его координаты г, равная д/ж + у , есть в точности норма градиентного вектора, который, следовательно, имеет вид (1.6.1). Единственными нулями этого векторного поля являются два полюса, и, таким образом, они являются неподвижными точками потока. Почти очевидно, что каждая точка, кроме северного полюса, асимптотически приближается к южному полюсу при устремлении времени к -Ьоо. На самом деле эта сходимость экспоненциальна. Аналогично каждая точка, кроме южного полюса, экспоненциально быстро приближается к северному полюсу при устремлении времени к —оо. [c.50] Из курса математического анализа известно, что градиент ортогонален к линиям уровня функции. Вычисления в локальных координатах показывают, что это также верно и в более общей ситуации. [c.50] Лемма 1.6.1. На гладком римановом многообразии М любое градиентное векторное поле ортогонально к линиям уровня функции. [c.50] Поток из нашего первого примера может теперь рассматриваться как градиентный поток функции F(x, у, z) — -z на двумерной сфере, снабженной римановой метрикой, индуцированной стандартной евклидовой метрикой R . Рассмотрим еще два примера. [c.51] Пусть двумерный тор вложен в как бублик , поставленный вертикально, и F, как и прежде, — отрицательная величина функции высоты г, F(x, у, z) = —z. Функция F имеет четыре критические точки на торе максимум А, два седла В и С и минимум D. Все орбиты градиентного потока, отличные от этих неподвижных точек и шести специальных орбит, которые описаны ниже, стремятся к минимуму функции F — точке D — при устремлении времени к -foo и к максимуму — точке А — при устремлении времени к -оо. Две особых орбиты соединяют точки А я В, еще две соединяют точки В и С а последние две соединяют С и D. [c.51] Теперь немного наклоним этот тор, т. е. изменим вложение тора в не изменяя функцию F, или можно рассматривать то же самое вложение, но заменить naniy функцию на F = - г-f еж при некотором малом е 0. Рассматриваемая система будет по-прежнему иметь четыре критические точки и специальные орбиты, соединяющие максимум с верхним седлом и нижнее седло с минимумом. Однако орбиты, соединяющие два седла, исчезают. Вместо этих двух орбит мы получаем другие четыре две из них соединяют максимум с нижним седлом, две другие соединяют верхнее седло с минимумом. [c.51] Некоторое особенности асимптотического поведения, которые мы наблюдали в трех приведенных примерах, имеют место для произвольных градиентных потоков. Чтобы описать эти особенности, нам понадобятся некоторые общие понятия топологической динамики. Рассмотрим топологическую динамическую систему с дискретным или непрерывным временем, определенную на фазовом пространстве X. [c.51] Определение 1.6.2. Точка уеХ называется ш-предельной точкой (соответственно а -предельной точкой) для точки хЕХ, если существует такая последовательность моментов времени, стремящаяся к -Ьоо (соответственно к —оо), что образы ж сходятся к у. Набор всех -предельных точек (а-предельных точек) для ж обозначается ш(х) (соответственно а(ж)) и называется ш-предельным (а-предельным) множеством. [c.51] Гаким образом, если пространство X компактно, то множества ш х) и а х) непусты и каждая точка рано или поздно приходит в любую заранее заданную окрестность своего w-предельного множества и остается там. [c.52] Обозначим через uip(x) (соответственно через Q (ж)) w-предельное множество (а-предельное множество) точки х е М для градиентного потока функции F. [c.52] Предложение 1.6.3. Множества Шр х) и ар х) состоят из критических точек F, т. е. из неподвижных точек градиентного потока. [c.52] Доказательство. Пусть — градиентный поток функции F. [c.52] Предложение 1.6.4. Для любого хеМ и любой функции F множество .(ж) либо состоит из одной точки, либо бесконечно. [c.52] Следствие 1.6.5. Если функция F имеет только изолированные критические точки, то каждая орбита градиентного потока F стремится к критической точке F при t +оо. [c.52] 3 мы увидим, как это свойство градиентного потока, рассматривае- лого в некотором вспомогательном пространстве, используется для нахождения специальных орбит некоторых динамических систем. [c.52] Вернуться к основной статье