Классы границ и пространства решений

КЛАССЫ ГРАНИЦ И ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИИ [c.24]

Для того чтобы поставленные выше задачи теории упругости и вязкоупругости имели решения определенной гладкости, необходимо наложить некоторые требования на гладкость границ тела, на гладкость граничных и начальных условий, а также объемных сил. Эти требования формулируются в терминах определенных классов границ и пространств функций. Необходимость в использовании тех или иных классов границ и пространств функций возникает и в рамках метода граничных элементов как при построении граничных интегральных уравнений, так и при исследовании сходимости дискретных методов решения этих уравнений. Ниже описываются используемые в последующих главах классы границ и пространства функций, причем для того, чтобы охватить одновременно различные мерности задач механики деформируемого твердого тела, рассмотрение ведется в пространстве Л ", m l. [c.24]

Как показывает предыдущий анализ, при больших величинах вязкости все течения с одинаковым распределением скорости на границе после достаточно долгого времени будут одинаковы. С другой стороны, при малых значениях вязкости (или, эквивалентно, при больших числах Рейнольдса) наблюдаемые течения уже не стремятся к единственному предельному течению. Указанные факты легко проиллюстрировать на простых примерах течений Куэтта и Пуазейля, для которых устойчивый ламинарный режим возможен только при малых числах Рейнольдса. Исходя из экспериментальных результатов, Хопф ) высказал предположение о существовании класса решений уравнений Навье — Стокса, соответствующих течениям, наблюдаемым после достаточно долгого промежутка времени, когда влияние начальных данных уже не сказывается. При больших величинах вязкости этот класс исчерпывается одним решением при уменьшении вязкости таких решений становится все больше и больше. При фиксированном V класс Хопфа выделяет устойчивое многообразие в фазовом пространстве всех возможных решений. В работе Хопфа, на которую мы ссылались выше, это предположение сформулировано более четко и подтверждено интересной математической моделью уравнений Навье — Стокса, решения которой можно выписать в замкнутом виде. [c.238]

Этот прием правомерен ввиду принятых ранее предположений о непрерывной дифференцируемости У, р, Т в области течения и кусочной гладкости границ рассматриваемых элементарных ограниченных подобластей. Строго говоря, переход к дифференциальным уравнениям возможен лишь в ограниченных подобластях течения, самое большее — во всем пространстве с выколотой бесконечно удаленной точкой. Если же область определения дополняется бесконечно удаленной точкой, применение дифференциальных уравнений в расширенной области становится, вообще говоря, неправомерным. В этом можно убедиться, проверив, удовлетворяют ли найденные решения дифференциальных уравнений балансовым соотношениям в окрестности бесконечно удаленной точки (т. е. сходятся ли несобственные интегралы), либо установив класс функций, для которого возможен предельный переход по монотонно расширяющейся последовательности подобластей, т. е. указав класс течений — с асимптотикой, заведомо допускающей этот предельный переход. [c.11]

Пространство наблюдений У существенно отличается от заданного пространства X. Этот случай обнаружения событий в условиях неопределенности является наиболее общим, требующим решения всех указанных выше частных задач. Однако наиболее важной и трудной здесь является задача нахождения границ событий в пространстве наблюдений, минимизирующих потери от ошибок при обнаружении событий. Методы обнаружения событий в этом случае определяются имеющейся исходной статистической информацией о частоте отдельных событий и связи точек пространств X п У, а также режимом обнаружения событий, принятым в конкретной системе контроля. В большинстве случаев работы систем контроля весь класс событий, требующих обнаружения, подразделяется на два подкласса, различающихся стратегией обнаружения основные нарушения и неисправности, выявляемые в ходе непрерывного изучения поступающей с производства информации, и вызывающие их причины, подвергающиеся анализу спорадически при наступлении какого-либо основного нарушения или неисправности. Если первый подкласс событий характеризует режим работы производства, то второй подкласс событий диагносцирует появление того или иного режима. [c.223]

В математическом плане задачи теории упругости для тел с разрезами родственны контактным задачам. В некоторых случаях существует прямая аналогия, которая позволяет при помощи известного решения контактной задачи сразу построить решение соответствующей задачи для тела с разрезом, и наоборот. Например, классическая задача о давлении гладкого штампа с плоским основанием произвольной формы в плане на границу полупространства с точностью до знака совпадает с задачей о растяжении и изгибе бесконечного упругого пространства с плоской щелью, занимающей внешность площадки контакта (естественно, в той же плоскости). Так," задача о давлении торца жесткого гладкого кругового цнлиидра на полупространстве аналогична задаче для пространства с плоским разрезом, расположенным вне кругового диска. Другие примеры прямой математической аналогии этих двух классов задач читатель легко составит самостоятельно. [c.261]

Единственность решения задачи Коши. Из этой теоремы вытекает ряд важных фактов. Прежде всего, надо заметить, что если дано решение V класса С1(/ 0), то для фиксированной области и>о, в пространстве Л (х) существует бесконечное множество областей с основанием и о типа той области И, которая рассматривается в теореме 2, т. е. таких, что на их границе Г выполнено неравенство (3). Пусть П(и о) есть объединение всех таких областей. Справедлива следующая теорша единственности решения задачи Коши. [c.68]

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51]

Независимо от того, имеет граница угол или нет, наличие поверхностей раздела основательно меняет наилучший выбор подходящего пространства метода конечных элементов S . Так как и обладает разрывными на Г производными, использование кусочных полиномов, принадлежащих классу при переходе через Г, обычно приводит к плохой аппроксимации. Более того, использование пробных функций, удовлетворяющих условию скачка (35), приводит к дополнительным трудностям в углах / = 1, 2, 3, 4. Если мы заставим пробные функции удовлетворять условиям скачка вдоль Р1Р2, то их влияние будет сказываться и на отрезке <51 1, где решение гладкое. [c.318]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...