Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ [c.273]

Метод непосредственного интегрирования, рассмотренный ранее, удобен при определении углов поворота 0 и прогибов f сечений балки, когда число участков балки незначительно (один—два). При интегрировании приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки каждый участок дает две постоянных интегрирования С и О, т. е. при числе участков балки пт имеем 2т постоянных интегрирования. [c.195]

Примеры определения перемещений интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси балки [c.293]

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование [c.98]

Как уже известно, при определении перемещений методом непосредственного интегрирования необходимо для каждого участка балки составлять выражения изгибающих моментов и производить интегрирование основного дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Поэтому при двух или большем числе участков балки применение изложенного метода становится затруднительным. [c.294]

Ниже рассмотрено определение линейных и угловых перемещений при изгибе балки постоянного сечения методом начальных параметров. Этот метод не требует составления выражений изгибающих моментов и интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Число постоянных, подлежащих определению, не превышает двух, независимо от числа участков балки. [c.294]

В предыдущем параграфе было упомянуто, что при определенном порядке составления и интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой оси балки можно достигнуть сокращения числа произвольных постоянных до двух С и D. [c.241]

При этом дифференциальное уравнение изогнутой оси балки становится нелинейным, что существенно усложняет его интегрирование. В дальнейшем будем использовать только приближенное уравнение (9.1), поскольку оно позволяет получать практически точные решения для большинства задач изгиба балок. [c.185]

Этот метод сводится к интегрированию дифференциального уравнения изогнутой оси балки (9.1) при известном законе изменения изгибающих моментов Считая жест- [c.186]

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки, защемленной одним концом [c.280]

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки на двух опорах [c.282]

Добавление к статически определимой балке одной шарнирной опоры делает балку один раз статически неопределимой и одновременно создает одно новое условие для определения неизвестных — прогиб балки на опоре равен нулю. Поэтому после двукратного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси общее число уравнений и неизвестных оказывается одинаковым. [c.334]

Расчет валов (осей) переменного сечения (ступенчатых) можно выполнить интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси балки. В упрощенных расчетах жесткость реального вала длиной / оценивают по условной эквивалентной модели постоянного сечения с диаметром [c.422]

Стальная балка прямоугольного поперечного сечения, защемленная одним концом, изгибается парой сил с моментом = 1 кгм, приложенным на другом свободном конце (см. рисунок). Длина балки /=1 м, размеры сечения = 6 см, А = 0,5 см. Путе i интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки определить величины наибольшего прогиба и угла поворота,концевого сечения и сравнить их с результатами точного решения. [c.173]

Выяснить смысл и размерность произвольных постоянных интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки, т. е. начальных параметров, входящих в уравнение упругой линии. Найти также по методу начальных параметров прогиб и угол поворота [c.178]

При двух уравнениях—три неизвестных. Применим при раскрытии статической неопределимости метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки с использованием приема уравнивания произвольных постоянных интегрирования (см. решения задач в 22). Начало координат примем в точке В, в защемлении балки, чтобы произвольные постоянные С и D оказались равными нулю. Составляем дифференциальное уравнение упругой линии и интегрируем его дважды [c.228]

Интегрирование дифференциальных уравнений изогнутой оси балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях приводит к таким выражениям для прогибов [c.269]

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки при двух участках. [c.361]

Метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси даёт уравнения прогибов и уравнения углов поворота, при помощи которых можно вычислить прогиб и угол поворота в любом сечении балки. [c.375]

Множитель (г — а) = 1 добавлен для того, чтобы постоянные интегрирования на обоих участках были одинаковые (аналогично тому, как это делается при интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси балки). [c.58]

Рассмотренный метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки сильно усложняется при увеличении числа участков, так как при этом быстро растет число произвольных постоянных интегрирования. Для примера возьмем балку, загруженную двумя сосредоточенными силами (рис. 10.10). [c.275]

При интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси балки по участкам не следует раскрывать скобок, а интегрировать каждый член уравнения, содержащий координату а,-точки приложения нагрузки, по новой переменной (х — а,). [c.276]

Отметим, что метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки 4-го порядка целесообразно использовать [c.286]

Отмеченная аналогия в дифференциальных уравнениях (10.61) и (10.62) позволяет распространить хорошо разработанные методы построения эпюр М и С на процесс определения прогибов и углов наклона. Суть этого метода состоит в том, что процесс явного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки заменяют более простым процессом построения эпюр про- [c.308]

Отмеченная аналогия в дифференциальных уравнениях (10.59) и (10.60), называемая аналогией Мора, позволяет сделать вывод при определении прогибов и углов наклона в балке нет необходимости интегрировать дифференциальное уравнение (10.59). Процесс непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки второго порядка целесообразно заменить численным процессом нахождения фиктивных изгибающих моментов М, вызываемых действием фиктивной нагрузки. Эти вычисления производят так же, как и при определении изгибающих моментов в обычной балке, находящейся под действием действительной нагрузки. [c.309]

Иначе дело обстоит в том случае, когда изгибаемый стержень имеет, к примеру, п грузовых участков. Наличие разрывов в функциях формально заставляет для каждого участка составлять свое приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси. Всего, таким образом, п уравнений. Интегрирование каждого из них в сумме для всей балки дает 2п неизвестных постоянных интегрирования. Отыскание последних выполняется с использованием условий закрепления балки и условий совместности деформаций по границам участков. Это, естественно, доставляет определенные технические трудности, делает решение излишне громоздким. [c.117]

Поэтому в сопротивлении материалов разработана специальная методика построения дифференциального уравнения изогнутой оси балки с несколькими участками и его интегрирования. Изложим содержание этой методики как последовательность строго регламентированных действий. Она заключается в следующем. [c.117]

Интегрирование полученного таким образом дифференциального уравнения изогнутой оси балки надо выполнять, не раскрывая скобки. К примеру, выражение (х - а,)" надо интегрировать не по йх, а по [c.117]

Видно, что найденное значение не совпадает с величиной прогиба 0q= тт который определяется путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки [c.231]

Получить уравнение изогнутой оси балки в форме метода начальных параметров можно также на основании дифференциального уравнения второго порядка (9.1). Для этого надо записать выражение для изгибающих моментов в произвольном сечении балки с учетом влияния статических начальных параметров Mq и go и заданных нагрузок и произвести интегрирование. [c.196]

Получили приближенное уравнение изогнутой оси балки при продольно-поперечном изгибе. Точное решение этого уравнения требует больших вычислений и преобразований. Задача особенно усложняется, если поперечная нагрузка делит балку на несколько участков, для каждого из которых следует составлять дифференциальное уравнение и производить его интегрирование. [c.288]

Нетрудно также получить прием, который позволит составлять уравнение оси изогнутой балки постоянного сечения, не выполняя процесса интегрирования дифференциальных уравнений. В самом деле, так как для балки постоянного сечения [c.199]

Этот метод является аналитическим и основан на непосредственном интегрировании дифференциального уравнения (10.6) изогнутой оси балки [c.270]

Уравнеш1 Г ( 1Т. 3 предстасляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии). Интегрирование этого нелинейного уравнс1 ия представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной (и ) = ig д ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь. [c.165]

При наличии мног их участков нагружения эта задача становится довольно сложной и связана с громоздкими вычислениями. Для упрощения задачи используются епецн альные приемы, позволяющие добиться равенства постоянных интегрирования на участках и свести задачу к определению лишь двух постоянных, К этим приема относятся 1) интегрирование дифференциальных уравнений изогнутой оси балки без раскрытия скобок 2) в выражении изгибающего момента слагаемое от сосредоточенной пары m записывается в виде т х — о) , где а — абсцисса сечения, в которой приложена сосредоточенная пара от 3) равномерно распределенную нагрузку, не доходящую до сечения, в котором определяется перемещение, продлевают до этого сечения, а для исключения ее действия на балку прокладывают нагрузку той же интенсивности, но противоположного направления. [c.95]

Как уже отмечалось, значительное упрощение в решение указанной задачи внесли приемы интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой оси балки, разработанные немецким ученым Клебшем (1833—1872) и позднее — русским ученым И. Г. Бубновым (1879—1919). Успешное же решение задачи было выполнено лишь в 1923 г. русским ученым Н. П. Пузыревским (1861—1934) в применении к балкам, лежащим на упругом основании, причем метод решения был назван методом начальных параметров . Академик А. И. Крылов (1863—1945) дал строгое обоснование указанного метода. [c.171]

А. МетоЪ уравнивания произвольных постоянных. Разобранные в 112 примеры показывают, что при определённом порядке составления и интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой оси балки можно достигнуть сокращения числа произвольных постоянных до двух Си/). [c.366]

Необходимо лишь отметить, что в этом случае ны будем иметь изби-точное число уравнений для определения постоянных интегрирования. Этот избыток равен числу лишних неизвестных. Избыточные уравнения при правильно найденных реакциях обратятся в тождества, ибо они уже и были использованы при нахождении лишних неизвестных. Так, для балки, изображенной на фиг. 356, получим следующее дифференциальное уравнение изогнутой оси [c.447]

В середине прошлого столетия немецкий ученый Клебш сделал два указания по интегрированию дифференциального уравнения изогнутой оси балки, которые существенно упрощают вычисления и сводят решение задачи к определению только двух постоянных интегрирования при любом количестве участков. [c.275]

Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки вместо произвольных постоянных Сх, С , и теперь содержит начальные параметры у , фо, Мц и (Зо, которые играют роль произвольных постоянных интегрирования, но в отличие от них наделены ясным физическим смыслом. Таким образом, 1/ , фд, Мо и Qo представляют собой прогиб, угол наклона, изгибающий момент и поперечную силу в начале координат. Если начало координат выбрано на левом конце балки, что обычно имеет место при проведении практических расчетов, то указанные величины представляют прогиб, угол наклона, изгибающий момент и по-леречную силу на левом конце балки. [c.292]

Выведем уравнение изогнутой оси балки в общем виде для случаев простых загружений балок сосредоточенными, равномерно распределенными нагрузками и сосредоточенными парами сил. При применении изложенных выше искусственных приемов отпадает необходимость составлять и интегрировать дифференциальные уравнения для каждого участка балки доста- точно ограничиться составлением и интегрированием только одного дифференциального уравнения для последнего (крайнего правого) участка и пользоваться этим уравнением для других участков. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...