Примитивная в обратной решетке

Рис. 2.22. Квадратная обратная решетка. Тонкими сплошными линиями показаны векторы обратной решетки. Пунктирные линии перпендикулярны к этим векторам и делят их пополам. Квадрат, расположенный в центре рисунка, имеет наименьшую площадь из всех квадратов, расположенных в окрестности начала координат, и полностью замкнут пунктирными линиями. Этот квадрат является примитивной ячейкой Вигнера — Зейтца в обратной решетке.

В качестве примитивной ячейки обратной решетки можно выбрать параллелепипед с ребрами Л, В, С, определяемыми соотношениями (2.48). Объем такой примитивной ячейки равен А-В X С = 2 2л а) . Примитивный параллелепипед содержит один узел обратной решетки, так как каждый из восьми узлов в его вершинах является общим для восьми соседних параллелепипедов, и, таким образом, на каждый параллелепипед приходится одна восьмая часть от каждого из восьми узлов. Однако в физике твердого тела принято выбирать примитивную ячейку [c.88]

Кп примитивная трансляция в обратной решетке [c.405]

Числа N1 очень большие, порядка корня кубического из полного числа атомов в кристалле, и каждому набору значений х, отвечают различные состояния. На самом деле, легко можно показать, что внутри зоны Бриллюэна имеется столько значений к (разрешенных периодическими граничными условиями), сколько существует примитивных ячеек в кристалле. Лучше всего это видно из следующего. Объем зоны Бриллюэна равен объему примитивной ячейки обратной решетки это вытекает из того факта, что если построить зоны Брил- [c.73]

В последнем выражении V — объем примитивной ячейки 1 прямой решетке, а интегрирование проводится по любой примитивной ячейке обратной решетки (например, по первой зове Бриллюэна). [c.377]

Чаще всего примитивные векторы элементарных трансляций а, Ь, с не ортогональны. Математический анализ явлений, связанных с кристаллическим состоянием, и в частности дифракции рентгеновских лучей и электронов в кристаллических решетках, сильно упрощается с помощью введенного Дж. В. Гиббсом понятия об обратной решетке. Векторы элементарных трансляций обратной решетки а, Ь, с выражаются через примитивные векторы элементарных трансляций прямой решетки посредством следующих уравнений (рис. 2.41, 2.42) [c.67]

Пусть а, Ь и с — примитивные векторы трансляций в реальной кристаллической решетке. Тогда основные векторы обратной решетки можно записать в следующем виде [c.58]

На рис 2.17 и 2.18 приведен пример фурье-анализа периодического распределения в кристалле. На рис. 2.17 показана отдельная прямоугольная примитивная ячейка с осями а и 6 и базисом, состоящим из двух одинаковых атомов. Контурными линиями соединены места с одинаковой электронной концентрацией. На рис. 2.18 заштрихована ячейка обратной решетки. Около каждого узла обратной решетки приводится значение гед для коэффициентов Фурье распределения заряда, показанного на рис. 2.17. [c.80]

Используя определение векторов примитивных трансляций Л, В, С обратной решетки (2,28) и соотношения (2.46) и (2.47), получаем [c.88]

По определению (2.28) векторы примитивных трансляций -А, В, С обратной решетки для ГЦК решетки таковы [c.90]

Рассмотрим двумерную квадратную решетку с периодом а. Можно показать, что векторы обратной решетки имеют величину 2п/а и лежат в направлениях примитивных трансляций решетки. Зона Бриллюэна представляет собой квадрат, и энергия в энергетической зоне есть функция двух компонент к. Таким образом, мы можем представить энергию в виде поверхности, откладывая ее в третьем измерении как функцию двумерной переменной к. Эго показано на фиг. 22 для двух возможных ситуаций. На фиг. 22, а изображены две зоны, которые отделены друг от друга при всех значениях волнового вектора. Здесь же вверху изображены зависимости энергии двух зон от волнового вектора, рассчитанные вдоль трех линий в зоне Бриллюэна линии, выходящей из угла зоны (обозначаемого через в центр (Г), из центра (Г) в середину стороны квадрата (X) и из X в. Результаты расчетов энергетических зон обычно традиционно изображаются в виде подобных кривых для линий симметрии в зоне Бриллюэна. [c.76]

Подставляя к и к из (2.3) и (2.4), мы найдем, что, если векторы к и к отличаются на вектор обратной решетки, то каждый из членов второй суммы есть единица, и вся сумма равна числу примитивных ячеек в кристалле. С другой стороны, если разность к — к не равна вектору обратной решетки, то вторая сумма выражается в виде произведения сумм трех геометрических прогрессий, из которых по крайней мере одна обращается в нуль. Отсюда мы заключаем, что величина (к V к) равна нулю, если к — к не есть вектор обратной решетки. Таким образом, для данного к в уравнении (2.15) остаются члены только с такими а , для которых к отличается от к на вектор обратной решетки. [c.98]

Первый член в этом выражении совпадает со структурным фактором при отсутствии искажений решетки. Для решеток с одним атомом на примитивную ячейку этот член равен единице, если я совпадает с одним из векторов обратной решетки, и равен нулю для остальных значений д. Члены первого порядка по определяют электрон-фононное взаимодействие. Их можно записать в виде [c.442]

Волновой вектор к, входящий в теорему Блоха, можно всегда считать относящимся к первой зоне Бриллюэна (или к любой другой примитивной элементарной ячейке обратной решетки, выбор которой оказывается более удобным). Это справедливо потому, что, если вектор к не лежит в первой зоне Бриллюэна, то его можно представить в виде [c.146]

Этот очень важный вывод иногда формулируют как утверждение о различии между нормальными процессами и процессами переброса. Нормальный процесс есть такое фононное столкновение, в котором суммарные начальный и конечный квазиимпульсы строго равны друг другу в процессе переброса они отличаются на ненулевой вектор обратной решетки. Очевидно, подобное различие зависит от того, какую примитивную ячейку мы выбрали для задания волнового вектора фонона (фиг. 25.4). В качестве такой ячейки почти всегда берут первую зону Бриллюэна ). Иногда влияние низких температур на сохранение квазиимпульса выражают вкратце утверждением, что при достаточно низких температурах единственными процессами рассеяния, происходящими с заметной частотой, являются нормальные процессы, поскольку процессы переброса вымерзают . [c.129]

Чтобы представление о вымерзании процессов переброса давало однозначное описание уменьшения при низких температурах частоты тех столкновений, в которых к суммарному квазиимпульсу добавляется вектор обратной решетки, выбранная примитивная ячейка должна удовлетворять определенным условиям. Именно, она должна содержать столь большую окрестность точки к = О, чтобы в нее попали все волновые векторы к, для которых значение йш, (к) велико по сравнению с к Т. Первая зона Бриллюэна, очевидно, обладает этим свойством. [c.129]

Первый шаг. Выберем тройку векторов трансляций а, Ь, с предполагаемой структуры, причем не обязательно, чтобы эти векторы были векторами примитивных трансляций. Исходя из векторов а, Ь, с, образуем векторы А, В, С — основные векторы обратной решетки. Строим ее узлы 6 = НАкВ1С, где /г, к, I — целые числа. Часть из них или все узлы должны совпасть с полученными на экспериментальной карте точками Ак. Если совпадающих точек нет, то, по всей вероятности, мы неверно выбрали векторы а, Ь, с. Можно подбирать а, Ь, с и, соответственно, А, В, С до тех пор, пока часть узлов С не совпадет с экспериментально наблюдаемыми точками Ак. Полученные векторы а, Ь, с будут определять кристаллическую решетку. [c.103]

Обрати я решетка и разрешенные отражения, а) Объяснить, почему, если элементарная я. гйка кр1 сталлической решетки является примитивной, то в Дйином объеме фурье-пространства содержится меньше узлов обратной решетки G, чем в случае непримитивной ячейки [c.110]

Если не нитересопат1>ся численными множителями, то нетрудно написать выражение для времени жизни. Каждая частичная вероятность содержит квлдрат матричного элемента перехода, помноженного на дельта-фупкцию, гарантирующую закон сохранения энергии. Второй закон сохранения дается множителем д Я -Я") которого следует, что сумма волновы.х векторов участвующих фопонов сохраняется с точностью до примитивной трансляции в пространстве обратной решетки. Поэтому необходимо с осторожност1.ю использовать часто употребляемое выражение закон сохранения импульса . [c.346]

Традиционный подход, который используется для описания зон в полупроводниках, имеет много общего с соответствующим подходом в случае металла (подробнее см. [25]). Мы снова считаем, что валентные электроны образуют свободный газ и имеют сферическую ферми-поверхность. Далее, как и в схеме расширенных зон, мы вводим брэгговские плоскости отражения и предполагаем, что некоторая группа плоскостей, образующая зону Джонса, играет доминирующую роль в зонной структуре, так что ферми-поверхность сливается с границами этой зоны ( исчезает ). Плоскостям, ограничивающим зону Джонса, отвечают большие значения структурного фактора (в то время, когда разрабатывался описываемый подход, ничего не было известно об относительных значениях формфактора псевдопотеициала) сама зона имеет довольно высокую симметрию, близкую к сферической, причем ее объем должен быть достаточен, чтобы принять соответствующее число электронов на примитивную ячейку, В структуре алмаза выбор зоны Джонса вполне естествен она образуется плоскостями, которые делят пополам вект( ы обратной решетки типа [220] 2п/а. Структурный фактор равен единице, и зона имеет точно такую же форму, как и зона Бриллюэна для объемноцентрированной кубической решетки (фиг. 21) симметрия ее действительно довольно близка к сферической и объем имеет требуемую величину. Однако теперь мы знаем и значения формфакторов псевдопотеициала они также характеризуют относительную важность различных плоскостей. Оказывается, что в кремнии формфактор обращается в нуль очень близко от этих плоскостей [24] это ставит под сомнение всю картину. [c.500]

Альтернативная процедура заключается в перенесении кусочков поверхности Ферми в п-й зоне на такие векторы обратной решетки, которые переводят эти кусочкп пз п-й зоны, где они содержатся, в первую зону Бриллюэна. (Такие трансляции существуют, поскольку п-я зона представляет собой примитивную ячейку.) Пример показан на фпг. 9.9. Чтобы, построить затем поверхность Ферми в схеме повторяющихся зон, необходимо по.тгучившпеся в первой зоне поверхности подвергнуть трансляциям на все векторы обратной решетки. [c.172]

Формулы (Г.1) и (Г.2) используются в разных целях. Их можво применять непосредственно для функций в реальном пространстве с периодичностью решетки Бравэ кристалла, а также для функций в -пространстве, которые имеют периодичность обратной решетки. В последнем случае, замечая, что обратной к обратной является прямая решетка и что объем примитивной ячейки оГ ратной решетки равен (2я) /у, мы можем записать (Г.1) и (Г.2) в виде " [c.377]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...