Универсальность Фейгенбаума

Универсальность Фейгенбаума для диффеоморфизмов и потоков [c.79]

Ослабленное первое утверждение теоремы е = 0(6 ") немедленно следует из теории универсальности Фейгенбаума. Доказательство первого утверждения в его полном объеме выходит за рамки настоящего обзора наметим доказательство второго. [c.85]

Обратим внимание на явную аналогию между этим свойством последовательностей чисел Фибоначчи, универсальностью Фейгенбаума и золотым отношением. [c.154]

Закон универсальности Фейгенбаума относится к последовательным значениям [я,, Яг, Яз,. .., параметра а, при которых возникают неподвижные точки кратностей 2, 2 , 2 . .. Для этих последовательных значений параметра утверждается существование предела [c.173]

Эргодические свойства абсолютно непрерывных мер 3. Универсальность Фейгенбаума........ [c.114]

Следует отметить аналогию между золотым отношением, универсальным законом Фейгенбаума и последовательностью чисел Фибоначчи. Напомним, что числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, например [c.153]

Интересно, что значение 67, полученное Фейгенбаумом, относится не только к отображению (6), но и к любому отображению, имеющему подобную структуру, т.е. является универсальным. [c.56]

Отображения /(ж), имеющие плавный максимум, в котором вторая производная, подобно (19.16), отрицательна, подчиняются определенным закономерностям. Пусть А — значение параметра, при котором период удваивается 8-й раз. Тогда оказывается, что последовательность А геометрически сходится к Ас Ас — А Наиболее впечатляющей особенностью различных систем, испытывающих удвоение периода, явилось то, ЧТО значение 6, впервые вычисленное Фейгенбаумом, одинаково и равно универсальному числу 6 = 4,6692016. .. Аналогичный результат был получен и для процесса расщепления устойчивых точек расстояние от точки ж = 1/2 до ближайшей к ней неподвижной точки на 2 -цикле подчиняется закону ёд+г = —а с1з, где а —универсальное число, равное 2,503. .. [c.176]

Спектральные свойства. При экспериментальном исследовании сложного движения широко используется его спектр Фурье. Ниже мы следуем анализу Фейгенбаума [123], который получил универсальный спектр одномерного отображения вблизи точки сгущения Соо. [c.438]

Приведенный вывод (взятый из работы [123], см. также [524]) является ошибочным. Во-первых, в данном случае нельзя заменять сумму интегралом, а во-вторых, неявно предполагаемая плавная зависимость комплексной амплитуды от к явно несправедлива, хотя бы из-за фазового множителя в (7.2.41). Более естественным является предположение о плавной зависимости модуля амплитуды и случайности ее фазы ввиду перехода при -> оо к хаосу с непрерывным спектром. Тогда из (7.2.41) и (7.2.42) можно получить у = 2а (1 + л/2Р л 4,65 [см. (7.2.676)]. Точная теория с использованием универсального отображения Фейгенбаума дает для среднего по спектру параметра подобия значение у) = 4,578 . . [540]. Небольшое различие между этими значениями объясняется, по-видимому, приближенным характером исходного закона подобия (7.2.38). Соответственно изменяется и параметр Р = 3,2375. .. в (7.2.676). Последнее значение приведено без объяснений в работе [205].— Прим. ред. [c.440]

Универсальное свойство (универсальность) Свойство динамической системы, остающееся неизменным в пределах некоторого класса нелинейных задач. Например, число Фейгенбаума для последовательности бифуркационных параметров при удвоении периода является одним и тем же для некоторого класса нелинейных необратимых одномерных отображений. [c.274]

Параметр 6 называется числом Фейгенбаума и носит универсальный характер, поскольку существует целый класс отображений [c.82]

Нормальные формы локальных векторных полей и диффеоморфизмов (по отношению к аналитическим, гладким и, прежде всего, конечногладким заменам) исследованы в [26 18], [38, 39], [64], [77], [97], [202]. Об универсальности Фейгенбаума см. обзор [57 и книгу [135], где указана обширная библиография. [c.209]

Этот факт подтвержден многочисленными численными экспериментами, проведенными как Фейгепбаумом, так и многими другими авторами. Вместе с тем нолное теоретическое обоснование универсальности Фейгенбаума отсутствует, хотя пути его проведения ясны и мешают лишь вычислительные трудности . В 1984 г. вышел обзор работ по универсальности Фейгенбаума [115]. В пем упиворсальпость и ое изучение связывается с методом ренормализационной группы, хорошо известным в теории [c.173]

Для того чтобы объяснить явление универсальности Фейгенбаума, введем так называемое преобразование удвоения, состоящее в том, что мы рассматриваем композицию G°G, но не на. всей области определения G, а на меньшем интервале, а затем перенормируем этот интервал. А именно, рассмотрим множество %, состоящее из четных унимодальных отображений [—1, ]->-[—1, 13 класса гладкости С , удовлетворяющих следующим условиям (см. рис. 20) [c.217]

М. Фейгенбаум отметил общую черту различных процессов по мере изменения внешнего параметра поведение системы меняется от простого к хаотическому, при этом поведение системы упорядоченно и периодично. Упорядоченность заключается в том, что в каждый период времени Г поведение системы самовоспроизводится. Вне этого диапазона процесс перестает воспроизводится через Т (например, Т секунд). Удвоение периода отвечает 2-Т, следующий этап удвоения периода 4-Т. Процесс удвоения продолжается до тех пор, пока поведение системы перестает быть периодическим. Важным в решении Фейгенбаума явилось установление ранее неизвестной закономерности перехода системы от простого, периодического, к сложному, непериодическому, движению, связанной с тем, что в пределе хаотического непериодического движения имеется универсальное решение, общее для всех систем, испыты- [c.42]

ОТ значений параметра система может иметь 1, 2, 4,. . . неподвижных точек при большом кол-во неподвижных точек поведение системы не от гичается от хаотического см. Фейгенбаума универсальность). [c.225]

ФЁДОРОВСКИЕ ГРУППЫ — то же, что пространственные группы симметрии (см. Симметрия кристаллов). ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ—явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1—3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич, траектории у, зависящей от параметра ц, собственное значение А. (ц) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль Y на период, проходит через значение [c.276]

В дискретных отображениях стохдстич. движения обнаружены во мн. моделях. Классическим является универсальное отображение Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность). [c.402]

Создание в последние десятилетия теории катастроф [275] и открытие Фейгенбаумом [188, 276] скейлингового закона эволюции нелинейных динамических систем, испытывающих бифуркации, стимулировали новую волну исследований математической гармонии природы. Один из фундаментальных результатов теории катастроф состоит в доказательстве универсальности небольшого числа пространственных образов фазовых траекторий динамических систем самой различной природы. Это вместе с законом Фейгенбаума позволило выявить еще целый ряд важных математических закономерностей процессов эволюции. Все это дало возможность по-новому взглянуть на давно известные закономерности, и в частности на филлотаксис. [c.152]

Другими универсальными характеристиками перехода Фей-генбаума являются отношение интенсивностей появляющихся субгармоник при ге-й и (ге+ 1)-й бифуркациях удвоения периода и изменение формы сплошного спектра при обратных бифуркациях. В работе [446] Фейгенбаум получил, что при ге оо Sn+i 2k) = Sn(k), Sn+i(2k+i)=r S (k + i/2), где у = 2 = = 4aVV2(l + а ) 6,57, (А)—интенсивность к-ш гармоники основной частоты (й = 2я/Г вдали от п-ш бифуркации удвоения. Полученные соотношения означают, что огибающая спектра рожденных при (ге+1)-й бифуркации субгармоник (вдали от точки бифуркации) должна лежать ниже огибающей спектра рожденных при п-й бифуркации субгармоник на 20 Ig "К 16,35 дБ. Однако, как показано в [593], Фейгенбаум ошибся при вычислении величины Y. В действительности у = У2р = 4,5785. .., что соответствует разности между огибающими спектров в 13,214... дБ. Этот результат неоднократно подтвержден как в физических, так и в численных экспериментах (см., например, [535, 658]). Форма сплошного спектра после перехода к хаосу подчиняется аналогичным закономерностям. В работе [680] получено, что спектральная плотность при (ге+1)-й обратной бифуркации (Sn+iia)) связана со спектральной плотностью при п-й бифуркации 8 а)) соотношением [c.245]

Как уже отмечалось, кроме бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, в принципе возможна такая же последовательность бифуркаций утроения периода. Она также должна подчиняться ряду универсальных закономерностей [130, 516]. Для систем, описываемых одномерным точечным отображением с функцией последования вида (4.1), эти закономерности подобны закономерностям Фейгенбаума, но с другими константами. Зависимость констант б и а от показателя степени % в выражении (4.1) для последовательности бифуркаций утроения периода продемонстрирована в табл. 8.5 [516] [c.247]

Функциональные уравнения Фейгенбаума обобщаются и на случай N—1)-мерных отображений последования Пуанкаре Хп+1=П(Хп, ц) для Л -мерных диссипативных фазовых потоков если при некотором jii у них происходит бифуркация удвоения периода, то затем с ростом i происходит бесконечная последовательность таких бифуркаций, удовлетворяющая законам подобия с универсальными постоянными б и а и с некоторой точкой сгущения 1оо, в которой возникает стохастическое движение (вна- [c.137]

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. [Некоторые эксперименты по конвекции Рэлея—Бенара обнаруживают эти бифуркации, а также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого разрешения в эксперименте Рэлея—Бенара с водой, показанные на рис. 7.33 [155, 157], демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.26, отношение амплитуд развитых субгармоник должно быть равным у х 6,6. На рис. 7.33,г [c.482]

Свойства преобразования удвоения. Явление универсальности было обнаружено и исследовано Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 г. и стимулировало большое число экспериментальных и теоретических работ (библиографию см. в. Ш2]). [c.217]

Следующим толчком, пробудивишм больщой интерес к странным аттракторам, стало открытие Фейгенбаумом универсального перехода к стохастичности в динамических системах [c.294]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...