Алгебра г-чисел

Второй из результатов Йордана, фон Неймана и Вигнера, который мы хотели бы отметить, — это классификация всех реализаций предложенных ими аксиом. Для изложения этой классификации нам понадобятся некоторые предварительные определения. Говорят, что подпространства 23 и пространства 21 ортогональны, если 93о =0. Пространство 91 называется прямой суммой двух своих ортогональных подпространств (например, 23 и Щ, если каждый элемент Л е 51 можно однозначно представить в виде Л = В + С, где В е 23 и Се . Алгебра 51 простая, если она не содержит собственного идеала, т. е. собственного подпространства такого, что 91 о Опираясь на то обстоятельство, что их алгебры г-чисел обладают конечным линейным базисом, Йордан, фон Нейман и Вигнер доказали следующую лемму [c.68]

Лемма. Всякую алгебру г-чисел можно представить в виде конечной прямой суммы простых алгебр г-чисел. [c.68]

Теорема 6. Простая специальная алгебра г-чисел порядка у и линейной размерности N изоморфна-. [c.70]

С аксиоматической точки зрения мы могли бы заметить, что аксиома Сигала 11.4 (но не 11.5 ) излишняя. В то же время аксиомы непротиворечивы в том смысле, что мы уже располагаем некоторыми их реализациями. В частности, на каждой алгебре г-чисел (в том числе [366] и на исключительной [c.76]

Высказывание неразложимое в алгебре г-чисел 70 [c.416]

Неприводимость представления U1 Неразложимое высказывание в алгебре г-чисел 70 [c.418]

Остроградский Михаил Васильевич (1801-1862) — известный математик и механик. Учился в Харьковском университете (1816-1820 гг.) и в Париже (1822-1827 гг.). С 1828 г. — профессор в высших учебных заведениях Петербурга, академик. Сформулировал и развил общий вариационный принцип для консервативных систем, доказал теорему (1828 г.) о преобразовании интегралов (теорема Гаусса — Остроградского), построил теорию распространения тепла в твердых телах и жидкостях. Труды по математическому анализу, алгебре, теории чисел, аналитической и небесной механике, гидромеханике, теории упругости, баллистике, [c.95]

Матрица vy этого преобразования и числа Гь которые получаются в результате, определяются методами линейной алгебры. Эти п чисел Г являются корнями алгебраического уравнения rt-й степени [c.237]

В 1890 г. был утвержден список предметов, изучение которых являлось обязательным для студентов, занимавшихся но математической специальности. Сюда относились элементарная математика с упражнениями, введение в анализ, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, высшая алгебра, введение в теорию чисел, вариационное исчисление, теория вероятностей, дифференциальные уравнения и ряд спецкурсов, аналитическая и прикладная механика. [c.15]

Алгебраическая форма записи комплексного числа а (а, Р)= а + г Р позволяет производить операции сложения и умножения по обычным правилам алгебры для многочленов. Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению [c.52]

Таким образом, для выделения из всей совокупности алгебр Ли (к) интересующих нас здесь алгебр следует конкретизировать рассматриваемую алгебраическую конструкцию, наложив условия простоты (в виде обобщенного критерия Картана невырожденности 4 ормы) и конечности [Я )) роста алгебры. Это приводит к жестким ограничениям на вид матрицы к. Именно, все ее элементы вне (на) главной диагонали — неположительные (положительные) целые числа, причем из к, , — О следует /,==0. (Отметим, что если бы мы допустили возможность кц = Ь при некотором I, то в силу тождества Якоби и соотношений (2.8), это повлекло бы за собой обращение в нуль всей г -й строки и, соответственно, г-го столбца.) Кроме того, для любого набора натуральных чисел й,. .., г , не превосходящих г, справедливо равенство [c.24]

ТОЙ же С -алгебры 9io). Один из его результатов мы уже приводили. Пусть G — группа всех конечных перестановок положительных целых чисел из Z . Для каждого числа /г е Z выделим элемент g группы G, определяемый по формуле [c.386]

Теорема 4 (ЙНВ I). Пусть алгебра г-чисел. Тогда в 91 существует единичный элемент /, такой, что I ° А = А для всех Ле91. Кроме того, каждый элемент Л е 51 можно представить в виде Л = Ц Рь где Р = Рг е 21, Р ° Р/ = О при I ф /, X Р,- —I, а коэффициенты а,- — собственные значения эле- [c.67]

Таким образом, для классификации реализаций алгебры 51 достаточно знать все простые алгебры г-чисел. Классификация таких алгебр была проведена Йорданом, фон Нейманом и Вигнером. Если — асбоциативная (но не обязательно коммутативная алгебра), то на можно определить симметризованное (или антисимметризованное) произведение Л ° В = /г + В А) (или [Л, В = АВ — ВА), где АВ — обычное произведение элементов Л и В из Обозначим через (или векторное пространство наделенное только что определенным симметризованным (или антисимметризованным) произведением. Как [c.68]

Теорема 5 (ИНВ II). Всякая простая алгебра г-чисел изоморфна одной из специальных йордановых алгебр если из числа последних исключить ЗИз). [c.69]

Идеал, левый 100 Измеримая по Бэру функция 189 Изометрическое отображение 131 Изометрня частичная 172 Изоморфизм между простыми алгебрами г-чисел и специальными алгебрами Йордана 69 [c.416]

В математике Эйлер получил выдающиеся результаты по тригонометрии, алгебре, теории чисел, дифференциальному и интегральному исчислениям, теории бесконечных рядов, аналитической геометрии, дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению и многим другим разделам этой науки. Он впервые представил тригонометрические величины в виде отношения чисел и установил соотношение е — os0- -isin0. В его книгах, ставших классическими источниками для многих поколений ученых, можно найти как первое изложение основ вариационного исчисления, так и столь занимательные сообщения, как доказательство большой теоремы Ферма при п—З и /г=4. Им была решена знаменитая задача о семи кенигсбергских мостах, проблема топологии — другой области, где он также был пионеров. [c.558]

Предполагается, что читатель знаком с алгеброй комплексных чисел и их геометрическим представлением как точек в прямоугольной системе координат. Символ z, обычно применяемый для изображения комплексного числа, состоящего из действительной л и мнимой у частей, представляет точку на диаграмме Арганда (Argand), на которой действительная часть откладывается как абсцисса, а мнимая часть как ордината (рис. 44). Положение точки может быть определено прямоугольными х, у) или полярными (г, 0) координатами [c.136]

Гаусс (Gauss) Карл Фридрих 1777-1855) — выдающийся немецкий математик, астроном и физик. Закончил в 1789 г. Геттингенский университет, с 1807 г. — профессор этого университета и директор астрономической обсерватории. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой. Его труды оказали большое влияние на развитие алгебры основная теорема алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверхностей), математической физики и теории потенциала (принцип Гаусса, теорема Гаусса — Остроградского, метод наименьших квадратов), теории электромагнетизма и ряда разделов астрономии. [c.95]

Разложением единицы / алгебры 51 называется множество (PJ попарно ортогональных высказываний, сумма которых равна / (примером разложения единицы может служить множество Pi , о котором говорится в условии теоремы 4). В алгебре 51 г-чисел высказывание называется неразложимым, если его нельзя представить в виде суммы попарно ортогональных высказываний. Можно показать, что высказывание Р неразложимо в том и только в том случае, если линейная размерность подпространства jV, (Р) = (X 211Z о р = Z paBiia 1. Порядком у алгебры 21 называется (вполне определенное) число членов в разложении единицы на попарно ортогональные неразложимые высказывания. В этих обозначениях мы приходим к следующей классификации. [c.70]

Определим 5 как множество пар комплексных чисел (г,, г ) с условием )21р + 1г2[ = 1. Поставим в соответствие паре (21, 2а) число ш = 21/2 . Если 22 = О, то положим ш = со. Множество [и ] образует пополненную бесконечно удалённой точкой комплексную плоскость Сиоо 5 . Т. к. точки (г, г ) = (ехр(/ф)21, ехр(гср)22) и (21, 22) отображаются в одну и ту же точку ю, то слой Л = 51. С классич. расслоением Хопфа и его обобщениями связаны фундам. достижения в математике. Напр., доказано, что существование только четырёх алгебр с делением эквивалентно утверждению о существовании только четырёх главных Р. вида [c.284]

Лагранж (Lagrange) Жозеф Лг/ (1736-1813) — выдающийся французский математик и механик, В1754 г. стал профессором артиллерийской школы. Основатель знаменитой Туринской академии. В 1766-1787 гг. преподавал в Берлинской академии наук. В 1787 г. переехал в Париж, где до конца жизни был профессором Нормальной школы и Политехнической школы. В 1788 г, издал знаменитую книгу Аналитическая механика , которую У. Р. Гамильтон назвал научной поэмой . Развил основные понятия вариационного исчисления и предложил общий аналитический метод для решения вариационных задач. Придал уравнениям движения форму, названную его именем, В Аналитической механике значительное место занимают вопросы механики сплошной среды (гидростатика, гидродинамика, теория упругости). Автор ряда фундаментальных работ по математическому анализу, теории чисел, алгебре, астрономии, картографии и др. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...