Аксиомы Сигала

С аксиоматической точки зрения мы могли бы заметить, что аксиома Сигала 11.4 (но не 11.5 ) излишняя. В то же время аксиомы непротиворечивы в том смысле, что мы уже располагаем некоторыми их реализациями. В частности, на каждой алгебре г-чисел (в том числе [366] и на исключительной [c.76]

Математический объект 91, определяемый аксиомами Сигала, мы будем в дальнейшем называть алгеброй Сигала. Проанализировав полученные нами до сих пор результаты, можно заметить, что изложенная выше теория (определяемая семью аксиомами о структуре) наделяет множество 91 всех наблюдаемых структурой алгебры Сигала. Отметим некоторые различия между системами аксиом Сигала и принятой нами. Прежде всего в нашем подходе особо подчеркивается та роль, которую мы хотим отвести состояниям в формулировке как алгебраической, так и топологической структуры теории. Однако необходимо ясно сознавать, что и в большей части проводимого Сигалом обоснования его системы аксиом в действительности неявно используется понятие состояния. Различие между нашими подходами заключается главным образом в том, что на более раннем этапе обоснования мы уделяли большее внимание понятию состояний с нулевой дисперсией. Это было необходимо для надлежащего обоснования степенной структуры на 91 (5-я аксиома) и, кроме того, позволило нам значительно раньше ввести понятие совместности наблюдаемых. Последнее понятие в свою очередь было использовано в нашей 6-й аксиоме, предопределяющей характер того обобщения классической механики, которое мы намереваемся рассматривать. Основное следствие из 6-й аксиомы состоит в том, что после ее введения симметризованное произведение А°В становится дистрибутивным (относительно сложения) и однородным (относительно умножения на скаляр). В работе Сигала также фигурирует формальное произведение , которое он определяет аналогично нашему симметризованному произведению и которое действительно совпадает с симметризованным произведением, когда алгебра 91 дистрибутивна. Однако Сигал не постулирует дистрибутивность в общем случае, и, более того, Шерману [366 удалось построить класс [c.76]

Идея введения на Й сильной топологии вместо подражания слабой операторной топологии получила сильную поддержку в работе Сигала [356], и, по-видимому, уместно привести здесь весьма четко сформулированные Сигалом аксиомы. [c.75]

Нашими аксиомами можно воспользоваться, чтобы несколько уточнить один результат Шермана [365], согласно которому в алгебре Сигала 91 сумму квадратов элементов из й можно представить в виде квадрата некоторого элемента алгебры В свою очередь этот результат позволит нам получить больше информации относительно множества < . [c.82]

Сделаем попутно одно замечание. Доказанная только что теорема (как явствует из самого хода доказательства) дает основания полагать, что наши 4-я и 5-я аксиомы о структуре не являются математически независимыми от аксиом Сигала. В пользу такого мнения можно было бы привести те же рассуждения, которые мы изложили вслед за теоремой 10. [c.88]

Примечание. Данное обстоятельство (по-видимому, не слишком хорошо известное среди физиков) нельзя целиком объяснить особым характером принятых нами допущений (и, в частности, излишне жесткой формулировкой нашей 4-й аксиомы о структуре). Отказ от состояний того типа, о котором говорится в теореме II, привел бы к довольно крутому расхождению (если оценивать его с математической точки зрения) с существующим формализмом, поскольку Сигал [356] доказал это следствие в рамках предложенной им системы аксиом (в которую входит и предположение о том, что сумма квадратов наблюдаемых есть квадрат некоторой наблюдаемой — положение, остающееся в силе, как доказал Шерман [365] и как мы уже отмечали, для любой алгебры Сигала). Кроме того, с физической точки зрения состояния, о которых идет речь в теореме И (и которые не являются нормальными в том смысле, в каком это принято понимать в теории С -алгебр), по-видимому, не вызывают серьезных физических возражений. В дальнейшем мы убедимся, что некоторые ненормальные состояния действительно возникают в теории рассеяния и при переходе к термодинамическому пределу в статистической механике. [c.89]

Для полноты отметим, что наша 8-я аксиома о структуре неявно содержится в семантике Сигала. Действительно, Сигал [356] определяет набор 93 одновременно наблюдаемых" [c.89]

Сечення времени аксиома 370 Сигала аксиомы 75 [c.419]

Этот результат был обобщен Сигалом [356] на случай произвольной алгебры Сигала 21. Основная трудность, которую пришлось преодолеть Сигалу, состояла в том, чтобы доказать следующее свойство множества определяемого как множество всех (действительных) линейных функционалов ф на 21 (рассматриваемой алгебре Сигала), которые удовлетворяют условиям (ф Л ) О для всех Л е и (ф /) = 1 если (ф Л) = О при всех ф е , то Л = 0. Иначе говоря, необходимо было доказать по линейности, что две наблюдаемые, совпадающие на всех состояниях, тождественны. Этот результат с физической точки зрения столь естествен, что мы приняли его в качестве нашей 2-й аксиомы. Нам неоднократно пришлось пользоваться этой аксиомой, когда мы проводили феноменологическое обоснование степенной структуры на 21. Следовательно, коль скоро известно, что 21 — алгебра Сигала, наша 2-я аксиома о структуре математически становится излишней, хотя с физической точки зрения она необходима для того, чтобы мы могли [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...